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Notas de aula....

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Métodos Experimentais em Engenharia

Tutorial sobre ajuste de curvas no software LAB Fit

Projeto: Métodos Experimentais em Engenharia - A Interdisciplinaridade na Prática da Engenharia Agosto de 2018

0

ÍNDICE

1.

Introdução…………………………………………………………………...

2

2.

Inserindo os dados.………………………………………………………….

3

2.1 Inserindo os dados manualmente…………………………....…………..

4

2.2 Inserindo os dados a partir do Excel……………..………………………

5

Inserindo as incertezas……………………………………………………...

6

3.1 Inserindo as incertezas manualmente…...………………………………..

8

3.2 Inserindo as incertezas a partir do Excel…………....……………………

9

Ajuste da curva……………………………………………………………...

10

4.1 Ajuste de curva com a função na biblioteca do software……...…………

11

4.2 Ajuste de curva Inserindo a função por digitação....……………………..

16

Interpretação dos resultados....…………………………………………….

16

Apêndice 1…………………………………………………………………...

20

6.

Referências…………………………………………………………………..

21

7.

Créditos……………………………………………………………………...

21

3.

4.

5.

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1. Introdução O LAB Fit é um programa computacional e pode ser baixado a partir do site [1]: http://zeus.df.ufcg.edu.br/labfit/index_p.htm Informações sobre o software podem ser encontradas em [2]. Depois de ser baixado e instalado, o LAB Fit apresenta a seguinte tela inicial:

Neste tutorial será feito um exemplo de ajuste de curva com dados experimentais obtidos ao realizar-se a parte 1 do Experimento 2 - Determinação da constante elástica da mola de compressão. Os objetivos deste tutorial (também disponível em vídeo [3]) são mostrar como utilizar o LAB Fit para: - Inserir os dados experimentais e suas incertezas; - Observar o gráfico gerado pelos dados experimentais; - Fazer o ajuste destes dados a uma reta do tipo y = Ax; - Estimar a constante elástica da mola (parâmetro A) e sua incerteza; - Obter a expressão analítica e o gráfico do ajuste. Com os mesmos procedimentos realizados neste tutorial pode-se fazer o ajuste de dados a diversas curvas e obter diversos parâmetros e suas incertezas pelo LAB Fit. ESTO017-17 Métodos Experimentais em Engenharia

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A tabela a seguir contém os dados que serão utilizados neste tutorial. Tabela 1 - Dados de massa, deslocamento e força obtidos em uma realização da parte 1 do Experimento 2.

Ponto

Massa (g)

Deslocamento (mm)

Força (N)

1

0,00 ± 0,01

0,0 ± 0,5

0,000 ± 0,098

2

0,22 ± 0,01

3,0 ± 0,5

2,156 ± 0,099

3

0,44 ± 0,01

6,0 ± 0,5

4,31 ± 0,10

4

0,71 ± 0,01

11,0 ± 0,5

6,96 ± 0,11

5

0,93 ± 0,01

14,0 ± 0,5

9,11 ± 0,11

6

1,15 ± 0,01

17,0 ± 0,5

11,27 ± 0,12

2. Inserindo os dados Para criar um novo arquivo de dados a serem ajustados, primeiramente deve-se criar um novo arquivo clicando em File → New, no menu superior esquerdo.

Será aberta uma caixa de diálogo chamada Data: general information. Selecione 1 - informando que haverá apenas uma variável independente - e deixe todas as outras opções desmarcadas pois em primeiro momento não serão abordadas as incertezas.

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Neste momento deve-se escolher como os dados serão inseridos. Isso pode ser feito de duas maneiras: digitando os dados manualmente no programa ou colando dados em colunas a partir do Excel - ou algum software semelhante.

2.1. Inserindo os dados manualmente Para informar manualmente os dados (até 500 pontos), clique em OK para abrir a caixa de aquisição LAB Fit - Data e preencha os espaços da janela Enter Data: X com os valores de X - que são os valores de deslocamento, em milímetro:

Ao terminar clique em OK e coloque os valores de Y - que são os valores de força, em newton - na janela Enter Data: Y.

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Ao terminar clique novamente em OK e aparecerá o navegador para salvar o arquivo: dê ao arquivo um nome (sem espaços em branco), selecione um destino conveniente e clique em Salvar. Assim que o arquivo for salvo aparecerá o gráfico com os pontos plotados. Note que acima do gráfico é dado o coeficiente de correlação (sem peso) entre os pontos.

2.2. Inserindo os dados a partir do Excel Para colar dados em colunas a partir do Excel ou outro software semelhante (no máximo 300 pontos): 1 - Na caixa Data: general information clique em Paste para abrir a caixa LAB Fit - Paste Data in Columns. 2 - Abra a planilha do Excel com os dados e copie as duas colunas de dados (de deslocamento e de força). Observação: A última coluna deve ser a variável y - que neste caso é a Força. 3 - Volte para o LAB Fit e cole os dados na área branca da caixa Paste Data in Columns clicando com o botão direito do mouse e selecionando Colar.

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O resultado será este:

Clique em OK na caixa Paste Data in Columns e nas duas próximas caixas de diálogo que aparecem na sequência. Aparecerá o navegador para salvar o arquivo, então faça o mesmo procedimento explicado em 2.1. Será mostrado o mesmo gráfico que foi mostrado em 2.1 porque o arquivo de dados é o mesmo.

3. Inserindo as incertezas O LAB Fit permite fazer o ajuste de curvas levando em contas as incertezas nos dados das variáveis dependente e independente (até 6 variáveis independentes). O Apêndice 1 apresenta mais informações sobre como o LAB Fit lida com a entrada e o cálculo das incertezas. Mas, antes de inserir as incertezas de X e Y, deve-se determinálas. 1) A incerteza de X é a metade da menor divisão da escala milimétrica do

paquímetro: 𝑢𝑥 = 0,5𝑚𝑚. Levou-se em conta apenas a incerteza do instrumento de medida.

2) A incerteza de Y pode ser calculada com uma propagação de incertezas, levando em conta as incertezas da massa (m) e da aceleração da gravidade (g). Adotouse 𝑢𝑚 = 0,01 𝑔 e 𝑔 = (9,80 ± 0,05) 𝑚/𝑠 2 .

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𝐹 = 𝑚𝑔

2 𝜕𝐹 2 𝜕𝐹 𝑢 𝐹 = √( 𝑢 ) 𝑢 ) + ( 𝜕𝑔 𝑔 𝜕𝑚 𝑚

𝑢𝐹 = √(𝑔 𝑢𝑚 )2 + (𝑚 𝑢𝑔 )

2

uF = √(9,80.0,01)2 + (m. 0,05)2

(1)

Substituindo as massas da Tabela 1 na Eq. 1 encontra-se as incertezas de Y, mostradas na Tabela 2. Tabela 2 – Incertezas para as medidas de força, em newton.

Ponto

𝑢𝐹 (N)

1

2

3

4

5

6

0,098

0,099

0,10

0,11

0,11

0,12

Agora, tendo determinado as incertezas de X e Y, insira-as no LAB Fit junto com os dados que já foram inseridos na seção 2. Para isso, como foi feito em 2 crie um novo arquivo clicando em File → New, no menu superior esquerdo. Na caixa Data: general information selecione 1 e selecione também as opções Inform uncertainties of X e Inform uncertainties of Y.

Como na seção 2, neste momento deve-se escolher como os dados serão inseridos: digitando os dados manualmente no programa ou colando dados em colunas a partir do Excel - ou algum software semelhante.

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3.1 Inserindo as incertezas manualmente Para informar manualmente os dados com as incertezas (até 500 pontos), clique em OK para abrir a caixa de aquisição LAB Fit - Data e preencha os espaços na janela Enter Data: X, como feito na seção 2.1. Clique em OK. Então será aberta a janela Enter Data: SIGMAX para entrar com os valores da incerteza de X. Insira estas incertezas respeitando a ordem dos pontos inseridos em Enter Data: X e clique em OK.

Preencha a janela Enter Data: Y como foi feito na seção 2.1 e clique em OK. Insira na janela Enter Data: SIGMAY as incertezas de Y calculadas no início da seção 3, respeitando a ordem dos pontos inseridos em Enter Data: Y.

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Ao terminar clique em OK. Aparecerá o navegador para salvar o arquivo, então faça o mesmo procedimento explicado em 2.1. Será mostrado o mesmo gráfico que foi mostrado em 2.1 e 2.2 porque se as incertezas não forem consideradas, o arquivo de dados é o mesmo e neste momento as incertezas ainda não são mostradas no gráfico. 3.2 Inserindo as incertezas a partir do Excel Para colar dados e suas incertezas em colunas a partir do Excel ou outro software semelhante (no máximo 300 pontos): 1 - Na caixa Data: general information clique em Paste para abrir a caixa LAB Fit - Paste Data in Columns. 2 - Abra a planilha do Excel com os dados e copie as quatro colunas, atentando-

se à ordem: a primeira coluna deve ser o deslocamento, a segunda a 𝑢𝑥 , a terceira a

força e a quarta a 𝑢𝐹 .

3 - Volte para o LAB Fit e cole os dados na área branca da caixa Paste Data in Columns clicando com o botão direito do mouse e selecionando Colar. O resultado será este:

Note que como foram selecionadas as opções Inform uncertainties of X e Inform uncertainties of Y na caixa Data: general information, aparecem marcadas com Yes as opções Are there uncertainties in X? e Are there uncertainties in Y?.

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Então clique em OK na caixa Paste Data in Columns e nas duas próximas caixas de diálogo que aparecem na sequência. Aparecerá o navegador para salvar o arquivo, então faça o mesmo procedimento explicado em 2.1. Como foi explicado em 3.1, será mostrado o mesmo gráfico que foi mostrado em 2.1 e 2.2.

4. Ajuste de curva Com os dados experimentais inseridos e salvos, com a tela do gráfico dos pontos plotados aberta, o próximo passo é ajustar uma curva a esses dados. Também é possível abrir um arquivo de dados já salvo anteriormente para a realização do ajuste. Se isso for necessário, clique no menu superior esquerdo em File → Open e selecione esse arquivo no navegador.

Admitindo que o usuário conhece o modelo matemático do ajuste, o ajuste pode ser feito de duas maneiras: utilizando uma função que já está na biblioteca do LAB Fit (208 disponíveis) ou inserindo (por digitação) uma função de interesse.

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4.1 Ajuste de curva com a função na biblioteca do software Se a função desejada para o ajuste já está na biblioteca do LAB Fit: 1 - Clique em Curve Fit → 2: Fit: functions of the library, no menu superior esquerdo.

2 - Será aberta a caixa Functions with 1 independent variable. Nesta caixa selecione a função adequada para o ajuste deste tutorial que é a função 2. Y=A*X Straight line (origin).

Note que clicando em More tem-se acesso a mais funções. Clique em OK.

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3 - Será aberta a caixa Settings com os valores iniciais dos parâmetros a serem determinados, o número máximo de iterações e a tolerância. Não é necessário alterar esses valores, clique em OK.

4 - Será aberta a caixa Power, também não faça alterações nela, clique em Fit. 5 - Será aberta a caixa Decision, clique em Yes. 6 - Será aberta a caixa Results com o valor médio e a incerteza do parâmetro A.

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No exemplo deste tutorial o parâmetro A representa o valor da constante da mola (k) e o SIGMAA representa a incerteza no valor da constante (menor que a incerteza padrão, vide seção 5). Essa incerteza foi determinada com base nas incertezas inseridas para as variáveis X e Y. Se for interessante, anote neste momento os valores de A e de SIGMAA. Na parte superior da caixa Results encontram-se informações sobre o ajuste, como o número de iterações necessárias para atingir a tolerância que foi determinada na caixa Settings. Na parte inferior da caixa Results encontram-se diversas opções que podem ser exploradas. Clicando em Details, por exemplo, tem-se acesso ao documento SAIDA.LST que pode ser salvo no formato “bloco de notas” e possui os resultados e os dados de todo o ajuste (incluindo matriz de covariância). O valor da função de ajuste para valores desejados de X é calculado clicando-se em Evaluate e a rejeição de alguns pontos experimentais poderá ser realizada através do botão Rejection. Para continuar o ajuste e obter a expressão analítica e o gráfico, clique em OK. 7- Será aberta uma nova janela chamada GRAPH2D. No menu superior clique em Graph → Graph 2D.

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8 - Será aberta a caixa 2D Graph (Settings). Marque as opções desejadas, como Include error bar e Show Grid e clique em OK.

9 - Será aberto o gráfico do ajuste e a caixa 2D Graph (Caption). Nesta caixa há a possibilidade de colocar um título, uma legenda e nomear os eixos dos gráfico.

Em geral, não altere a linha da função para que fique claro o modelo escolhido para o ajuste. Tendo feito essas alterações, clique em OK.

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10 - Será mostrado, ainda na janela GRAPH2D, o gráfico resultante de todo o processo de ajuste.

Para salvar o gráfico fora do LAB Fit, clique em File, no menu superior e escolha entre uma das duas opções dadas: Print window ou Save.

Dentre os formatos possíveis para salvar o gráfico tem-se PDF na opção Print window e Bitmap em Save. Clicando em Main menu a janela GRAPH2D é fechada e o LAB Fit volta para a tela inicial.

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4.2 Ajuste de curva inserindo a função por digitação Se a função não estiver na biblioteca do LAB Fit ou for interessante inserir (por digitação) uma função: 1 - Clique em Curve Fit → 3: Fit: User writes function, no menu superior esquerdo. 2 - Será aberta a caixa Function (User Function). Na caixa de texto de cima, escreva qual a função desejada (máximo de 150 caracteres) e na caixa de texto de baixo indique a quantidade de parâmetros. Clique em OK.

3 - Será aberta a caixa General. Clique em OK. Essa ação é análoga à feita na caixa Settings da seção 4.1 (passo 3). 4 - Siga os passos 4 a 10 da seção 4.1 para terminar o ajuste e salvar os resultados e o gráfico.

5. Interpretação dos resultados Com o gráfico salvo, é necessário obter os valores da constante elástica da mola, sua incerteza e ainda pode ser interessante ter acesso a mais informação sobre o ajuste. No passo 6 da seção 4.1 esses valores e informações já podem ter sido obtidos quando mostrados na caixa Results e ao salvar por exemplo o arquivo SAIDA.LST. Mas, caso essas informações não tenham sido obtidas no passo 6, ainda é possível ter acesso a elas.

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Para isso: 1 - Sem fechar o gráfico resultante do processo de ajuste, abra a pasta de instalação do LAB Fit. O caminho mais comum é Meu computador → C: → LAB Fit . 2 - Nesta pasta, encontre o arquivo RESULTS.TXT e clique duas vezes sobre ele para abrir. Na última linha deste arquivo, o primeiro número corresponde à constante da mola (k = parâmetro A) e o segundo à incerteza da constante da mola (menor que a padrão, vide final desta seção). Obs.: Os valores da constante da mola (k) e sua incerteza gerados pelo LAB Fit levam em conta as incertezas de X e Y e a incerteza devido ao processo de ajuste. 3- Na pasta LAB Fit tem-se acesso também ao arquivo SAIDA.LST.

Ou, alternativamente: 1- Depois que o gráfico final do ajuste foi salvo, vá para a tela inicial do LAB Fit, clicando por exemplo em File → Main menu (no menu da janela GRAPH2D). Note que na tela inicial do LAB Fit o gráfico dos pontos plotados deve estar aberto. 2 - No menu superior esquerdo da tela inicial do programa clique em Curve Fit → 5 - Results: Fit - library or use model.

3 - Será aberta a caixa Results (Fitting) com todas as opções descritas para a caixa Results no passo 6 da seção 4.1, inclusive o acesso ao arquivo SAIDA.LST clicando no botão Details.

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O arquivo SAIDA.LST possui os resultados estatísticos e os dados de todo o ajuste, dando inclusive detalhes sobre cada uma das 8 iterações feitas. Descendo a barra de rolagem até o final do documento encontram-se as informações sobre a oitava (última) iteração:

******************************************************************** RESULTS AFTER THE TRANSFERS OF UNCERTAINTIES FROM X TO Y ******************************************************************** THE CONVERGENCE HAPPENED IN THE ITERATION

8

Arquivo principal.txt N. 2: Y = A*X P(Red. ChiSq.)=0.416 Standard Deviation of the Fitting: 0.227982E+00 Correlation Coeficient: R²yy(x) = 0.9975658E+00 adjR²yy(x) = 0.9975658E+00 Ryy(x) = 0.998782E+00 => P(NP,|R|) = 0.000E+00 Average Absolute Residual: Res_av = Sum of Absolute Residuals / Number of points => Res_av = 0.100849E+01 / 6 => Res_av = 0.168082E+00 Y(Xi) (THROUGH THE FIT FUNCTION) 0.000000E+00 0.197253E+01 0.394505E+01 0.723260E+01 0.920512E+01 0.111776E+02 UNCERTAINTIES OF Y(Xi) (THROUGH ERROR PROPAGATION, 95.4%) 0.000000E+00 0.715707E-01 0.143141E+00 0.262426E+00 0.333997E+00 0.405567E+00

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Dessas informações tem-se por exemplo que após ter sido atingida a convergência do processo (na oitava iteração): - Pela linha em vermelho: A = k = 0.658 N/mm e SIGMAA = 0.009 N/mm Obs.: SIGMAA = 0.009 é uma incerteza menor do que a incerteza padrão. - Pode-se obter a incerteza padrão (68,3% de confiança, ou seja, probabilidade de encontrar o valor de k no intervalo) e incertezas expandidas a partir de SIGMAA. As linhas em azul podem ser traduzidas pela Tabela 3 que mostra como encontrar essas incertezas:

Tabela 3 - Encontrando a incerteza padrão e incertezas expandidas a partir de SIGMAA

Confiança

Fator de multiplicação

Operação

Incerteza para cada confiança

68, 3%

1,11

SIGMAA*1,11

0,01 N/mm

90,0%

2,01

SIGMAA*2,01

0,02 N/mm

95,4%

2,65

SIGMAA*2,65

0,03 N/mm

99,0%

3,99

SIGMAA*3,99

0,04 N/mm

Ou seja, com 68,3% de confiança tem-se que A = k = (0,66 ± 0,01) N/mm. Nota: Quando se considera uma população com distribuição normal, tem-se que o fator de abrangência k assume os valores 1, 2 e 3 para as probabilidades de 68,3%; 95,5% e 99,7% respectivamente, conforme se utiliza em aula. Os cálculos realizados pelo LAB Fit consideram uma distribuição amostral de uma população normal e levam em conta o número de amostras (número de pontos experimentais) utilizados no ajuste da função. Isso justifica os valores do fator de multiplicação que aparecem na Tabela 3 para o cálculo das incertezas para cada grau de confiança. Quanto maior o número de amostras, mais aproxima-se da população, e portanto, da distribuição normal. Maiores detalhes sobre esse assunto podem ser encontrados em [4].
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