Tutorium 10 - Relationen - Loesungen PDF

Preview

Summary

Sommersemester
Tutorium zum zehnten Thema in Lineare Algebra
Aufgaben mit Lösungen...

Description

Fachbereich Informatik Lehrveranstaltung Lineare Algebra Sommersemester 2018

Tutorium 10 - Lösungen Thema: Relationen 1.) Eigenschaften von Relationen: Geben Sie für die folgenden Relationen an, ob diese linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig, rechtseindeutig, reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und / oder transitiv sind: a)

b)

c)

• linkstotal

d)

• linkstotal

• rechtstotal

• rechtstotal

• nicht linkseindeutig

• linkseindeutig

• nicht rechtseindeutig

• rechtseindeutig

• nicht reflexiv

• reflexiv

• symmetrisch

• symmetrisch

• nicht antisymmetrisch

• antisymmetrisch

• nicht transitiv

• transitiv

• linkstotal

e)

• linkstotal

• rechtstotal

• rechtstotal

• linkseindeutig

• nicht linkseindeutig

• rechtseindeutig

• nicht rechtseindeutig

• nicht reflexiv

• reflexiv

• symmetrisch

• symmetrisch

• nicht antisymmetrisch

• nicht antisymmetrisch

• nicht transitiv

• transitiv

• linkstotal

f)

• linkstotal

• nicht rechtstotal

• rechtstotal

• nicht linkseindeutig

• nicht linkseindeutig

• nicht rechtseindeutig

• nicht rechtseindeutig

• nicht reflexiv

• nicht reflexiv

• nicht symmetrisch

• symmetrisch

• antisymmetrisch

• nicht antisymmetrisch

• transitiv

• nicht transitiv

1

Fachbereich Informatik Lehrveranstaltung Lineare Algebra Sommersemester 2018

2.) Ordnungs- und Äquivalenzrelationen: Geben Sie für die folgenden Relationen an, ob diese eine partielle oder totale Ordnung oder eine Äquivalenzrelation sind. Liegt eine Äquivalenzrelation vor, so geben Sie sämtliche Äquivalenzklassen an. a) Äquivalenzrelation [1] R A = {1, 2} [2] R A = {1, 2}

c) Äquivalenzrelation [ 1 ] RC = { 1 } d) keine Ordnung

b) Äquivalenzrelation [1] RB = {1, 2} [2] RB = {1, 2} [ 3] RB = {3}

e) partielle Ordnung f) totale Ordnung

3.) Beispielhafte Klausuraufgabe

a)

z

u

w

v

y

x

b) Ja, die Relation R ist reflexiv, da für alle a ∈ A gilt ( a, a ) ∈ R. c) antisymmetrisch d) Nein, bei der Relation R handelt es sich nicht um eine Ordnung, da sie nicht transitiv ist. e) Damit sich eine partielle Ordnung ergibt, müssten zur Relation R folgende Tupel hinzugefügt werden:

( u, x ), ( u, w), ( u, y), ( v, w), ( v, y), ( x, w)

2

Fachbereich Informatik Lehrveranstaltung Lineare Algebra Sommersemester 2018

4.) Beispielhafte Klausuraufgabe u

v

w

x

y

z

a)

b) Die Relation R ist nicht reflexiv, da nicht für alle a ∈ A gilt ( a, a ) ∈ R. c) Die Relation R ist sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch. d) Nein, bei der Relation R handelt es sich nicht um eine Ordnung, da die Relation R nicht reflexiv ist. e) Damit sich eine Äquivalenzrelation ergibt, müssten zur Relation R folgende Tupel hinzugefügt werden: ( z, z) 5.) Beispielhafte Klausuraufgabe

a)

1

2

3

4

5

6

b) Kreuzen Sie in der folgenden Auflistung an, welche Eigenschaften R erfüllt: reflexiv symmetrisch antisymmetrisch transitiv linkstotal rechtstotal linkseindeutig rechtseindeutig Äquivalenzrelation Ordnungsrelation

trifft zu: [ ] trifft zu: [ ] trifft zu: [ x ] trifft zu: [ x ] trifft zu: [ x ] trifft zu: [ ] trifft zu: [ ] trifft zu: [ x ] trifft zu: [ ] trifft zu: [ ]

trifft nicht zu: [ x ] trifft nicht zu: [ x ] trifft nicht zu: [ ] trifft nicht zu: [ ] trifft nicht zu: [ ] trifft nicht zu: [ x ] trifft nicht zu: [ x ] trifft nicht zu: [ ] trifft nicht zu: [ x ] trifft nicht zu: [ x ]

3...