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Tutorium 10 - Lösungen...

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Mathematik Tutorium 10 – 05.-09. Januar 2015 Aufgabe 1: Welche der folgenden Funktionen sind homogen? Geben Sie in diesem Falle auch den Homogenitätsgrad r an. 1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥² + 8𝑥𝑦 + 4𝑦² 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦² + 𝑦𝑥

Homogenität:

𝑓(𝜆𝑥) = 𝑓(𝜆𝑥1 , … , 𝜆𝑥𝑛 ) = 𝜆𝑟 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝜆𝑟 ∗ 𝑓(𝑥)

Eine Funktion ist homogen, wenn alle Faktoren mit dem gleichen Faktor 𝜆 erhöht werden, sodass die Funktion sich um 𝜆𝑟 erhöht (mit r = Homogenitätsgrad (r = 1, dann linear homogen). 1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑥² + 8𝑥𝑦 + 4𝑦²

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = 4(𝜆𝑥)2 + 8(𝜆𝑥)(𝑦) + 4(𝑦)²

= 4𝜆2 𝑥 2 + 8𝑥 2 𝑥𝑦 + 4𝜆2 𝑦 2 = 𝜆2 (4𝑥 2 + 8𝑥𝑦 + 4𝑦 2 ) 𝜆² ∗ 𝑓(𝑥, 𝑦)

Homogenitätsgrad = 2 2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦² + 𝑦𝑥

𝑓(𝜆𝑥, 𝜆𝑦 ) = (𝜆𝑥)(𝜆𝑦)2 + (𝜆𝑦)(𝜆𝑥) = 𝜆3 𝑥𝑦² + 𝜆2 𝑦𝑥

Nicht homogen, da unterschiedliche Grade

Aufgabe 2: Gegeben ist die Produktionsfunktion 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦 ) = 5𝑥√𝑦 + (𝑥 + 𝑦 )2 +𝑦 3

𝑥

Differential: 𝐷𝑓 entspricht dem Gradienten und ist somit eine Zusammenfassung der partiellen Ableitungen nach allen Faktoren in Vektorform.

Mathematik Tutorium 10 Seite 1

a) Berechnen Sie das totale Differential. 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦 ) = 5𝑥√𝑦 + (𝑥 + 𝑦)2 +𝑦 3𝑥 𝛿𝑓 3 = 5√𝑦 + 2(𝑥 + 𝑦) + 𝑦 𝛿𝑥 𝛿𝑓 1 3𝑥 = 5𝑥 ∗ + 2(𝑥 + 𝑦 ) + (− 2 ) 𝑦 𝛿𝑦 2√𝑦 =

3

𝑥

𝑦

=

3 3 (𝐴𝑏𝑙. ) ∗𝑥 →𝑦 𝑦

Durch Quotientenregel

3𝑥 + 2(𝑥 + 𝑦) − 𝑦² 2√𝑦 5𝑥

𝐷𝑓 =

3 5√𝑦 + 2(𝑥 + 𝑦) + 𝑦

5𝑥 3𝑥 + 2(𝑥 + 𝑦) − 𝑦² 2√𝑦 ( )

b) x werde von 50 auf 51 erhöht und y von 100 auf 101,5 erhöht. Berechnen sie näherungsweise, um wieviel sich z=f(x,y) ändert. 𝑓(𝑥 + 𝑑1, 𝑦 + 𝑑2) = 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝐷1𝑓 (𝑥, 𝑦) ∗ 𝑑1 + 𝐷2𝑓 (𝑥, 𝑦) ∗ 𝑑2

𝑑𝑓 =

𝛿𝑓 𝛿𝑓 ∗ 𝑑2 ∗ 𝑑1 + 𝛿𝑦 𝛿𝑥

3 5𝑥 3𝑥 = (5√𝑦 + 2(𝑥 + 𝑦 ) + ) ∗ (51 − 50) + ( + 2(𝑥 + 𝑦 ) − 2 ) ∗ (101,5 − 100) 𝑦 𝑦 2√𝑦 Einsetzen von x=50 und y=100:

350,03 ∗ 1 + 312,485 ∗ 1,5 = 818,7575

Aufgabe 3: Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung und bestimmen Sie die Gradienten. a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³𝑦 − 𝑥𝑦 2 − 2(𝑥 − 2𝑦 ) + 1 𝛿𝑓 3𝑥2 𝑦 − 𝑦 2 − 2 𝛿𝑥 𝐷𝑓 = ) = ( 𝛿𝑓 𝑥 3 − 2𝑥𝑦 + 4 ( 𝛿𝑦)

Mathematik Tutorium 10 Seite 2

b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐷𝑓 =

(2𝑥 − 1)(3𝑦 − 2) 4𝑧 − 3 2(3𝑦 − 2) 4𝑧 − 3 (2𝑥 − 1) ∗ 3

4𝑧 − 3 (2𝑥 − 1)(3𝑦 − 2) ∗ (−4) ( ) (4𝑧 − 3)2

Aufgabe 4: Sei 𝑓: ℝ² → ℝ² eine vektorwertige Funktion, also 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓1 (𝑥, 𝑦 ), 𝑓2 (𝑥, 𝑦 )), wobei 𝑓1 die erste bzw. 𝑓2 die zweite Komponente der Funktion ist. Die Ableitung einer solchen Funktion ist die Jacobi-Matrix, die definiert ist durch: 𝑑𝑓1 𝑑𝑓1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐽𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑑𝑓2 𝑑𝑓2 [ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 ]

Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix der Funktion 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 𝑦 + 2𝑥𝑦, 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦). f1

2𝑥𝑦 + 2𝑦 𝑥 2 + 2𝑥 𝐽𝑓 (𝑥, 𝑦) = [𝑥𝑦 ] 𝑥𝑦 𝑒 ∗𝑦+1 𝑒 𝑥+1

f2

Aufgabe 5: Bestimmen Sie die partiellen Elastizitäten folgender Funktionen. Elastizitäten: Relative Veränderung von f(x) bei einer Veränderung von xi um 1 𝜀𝑓,𝑥𝑖 =

𝑓′𝑥𝑖(𝑥) 𝑓(𝑥)

a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥³ − 2𝑦²

3𝑥 3 3𝑥 2 𝜀𝑓,𝑥 (𝑥) = 3 (= 3 ∗ 𝑥) 2 𝑥 − 2𝑦 𝑥 − 2𝑦 2 −4𝑦² 𝜀(𝑓, 𝑦) = 𝑥³ − 2𝑦²

Mathematik Tutorium 10 Seite 3

b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2√𝑥𝑦 √𝑦(𝑦 + 𝑧)² 𝜀𝑓,𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜀𝑓,𝑦 = 𝜀𝑓,𝑧 =

2𝑦 √𝑦(𝑦 + 𝑧)22∗√𝑥

7𝑦 + 3𝑧 2(𝑦 + 𝑧)

1∗ 𝑥

2√𝑥𝑦√𝑦(𝑦 + 𝑧)²

2√𝑥 𝑥

= √𝑥

1 𝑥 = 2𝑥 = 2

2𝑧 𝑦+𝑧

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