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tarea a calculo integral literal a...

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Unidad 2 - Tarea 2 - El Concepto de Integral

Sergio Manuel Marin Restrepo- Ejercicios A Yeison Jesús Vides Urdaneta – Ejercicios B Bleidys Beatriz Ochoa- Ejercicios D Calculo Integral Código: 100411A_951

Tutor Faiber Robayo

Universidad Nacional abierta y a distancia-UNAD CEAD Santa Marta Ingeniería Industrial Santa Marta 11 de abril de 2021

BLOQUE DE EJERCICIOS A EJERCICIOS PARA SUSTENTACIÓN TAREA 2 CÁLCULO INTEGRAL Link de sustentación: https://youtu.be/HyUaArHxYCA Ejercicio 5. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por fracciones impropias, compruebe su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) 1

∫ √dxx 0

Por definición, reescribimos la integral impropia usando un límite unilateral y una integral definida.

(∫ √ ) 1

a→0

+¿

a

1 dx x

lim ¿ ¿

Calculamos la integra definida, para eso debemos calcular la integral indefinida 1

∫ √ x dx Usando

1

∫ √ x dx=2∗√ x

, resolvemos la integral

2 √x Sustituimos los límites de integración

|

1

2 √x

a

|

b

Usando f ( x ) =f ( b ) −f ( a ) , calculamos la expresión a

2 √ 1− 2√ a Simplificamos y evaluamos el limite

a → 0+¿ (2−2 √ a) a → 0+¿ (2−2 √ 0) = lim ¿ lim ¿ ¿

¿

Solución 2

Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio a. e3 x ∫ dx 3x 9+e Transformamos la expresión utilizando el método de integración por sustitución 1 Sustituimos el diferencias usando dx= ∗dt , donde t=9+ e3 x t e3 x ∗1 3x 9+e ∫ dt 3x e ∗3 Simplificamos

y t ' =e3 x∗3

∫

1 dt 3t

Utilizando las propiedades de las integrales 1 1 ∗∫ dt t 3 Evaluamos la integral

1 ∗ln (|t|) 3 Hacemos el reemplazo de la sustitución 1 3x ∗ln (|9+e |) 3 Calculamos el valor absoluto teniendo en cuenta que cuando la expresión dentro de las barras es positivo, se eliminan las barras 1 ∗ln (9+e3 x ) 3 Le agregamos la contante de integración 1 ∗ln (9+e3 x ) +C 3

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra)

Ejercicio a. 7

∫ x 3 lnxdx

Usando la propiedad conmutativa reorganizamos los términos 7

∫ ln ( x )∗x 3 dx Preparamos para integrar por partes, definiendo u y dv u=ln (x ) 7

dv = x 3 dx

Calculamos el diferencial usando

du=u ' dx

1 du= dx x v=

3 x 3 √3 x 10

Sustituimos los valores en la fórmula 3 x √x ∗1 x x ( ) ∗3 x √ 10 dx −∫ ln x 10 Reducimos la expresión 33

33

(x ) ∗3 x3 √3 x 3 x2 √3 x dx −∫ 10 10 Transformamos la expresión ln

y determinamos v al evaluar la integral

1

(x ) ∗3 x √ x 3 x2∗ x3 ln −∫ dx 10 10 33

Calculamos 7

(x ) ∗3 x √ x 3 x3 −∫ ln dx 10 10 Utilizamos las propiedades de las integrales 33

(x ) ∗3 x √ x −3 /10 ∫ x 3 dx 10 33

ln

7

Evaluamos la integral 3 33 ∗3 x √ x 33 (x ) ∗3 x √ x 10 − ln 10 10 Simplificamos 3 x 3 3√ x∗ln(x ) 9 x 3 √3 x − +C 10 100

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio a. 3 x 2−2 ∫ x3 −2 x 2−24 x dx Factorizamos la expresión 2

3 x −2 2 x∗( x −2 x−24 x )

3 x 2−2 x∗( x+4 )∗( x −6 ) Para cada factor en el denominador escribimos una nueva fracción usando factores como nuevos denominadores. A B C + + x x+ 4 x−6 Establecemos la suma de fracciones igual a la fracción original C B A 3 x 2−2 = + + x+4 x x −6 x∗( x+4 )∗(x −6) Multiplicamos y simplificamos los términos 3 x −2= ( A + B +C ) x + (−2 A−6 B+ 4 C ) x−24 A 2

2

Según la regla cuando 2 polinomios son iguales, sus coeficientes correspondientes deben ser iguales

{

−2=− 24 A 0=−2 A−6 B∗4 C 3= A+ B+C

Resolvemos el sistema de ecuaciones

(

( A , B , C ) = 1 , 23 , 53 12 20 30

)

Sustituimos de vuelta dados en la descomposición de fracción parcial formada

1 23 53 + + 12 20 30 x x +4 x−6 Reescribimos la fracción usando la descomposición de fracción parcial 1

53

23

∫ 12 x + 20 ( x +4 ) + 30 ( x−6 ) dx Utilizamos las propiedades de las integrales 1

∫ f ( x ) ± g ( x ) dx=∫ f ( x ) dx± ∫ g ( x ) dx

23

dx ∫ 12 x dx+∫ 20 ( x+4) dx+∫ 30 (53 x−6 ) Evaluamos las integrales 1 23 53 ∗ln ( |x| ) + ∗ln( |x +4|) + ∗ln (|x −6|) 12 20 30 Añadimos la contante de integración 1 23 53 ∗ln ( |x| ) + ∗ln( |x +4|) + ∗ln (|x −6|) + c 12 20 30

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia y determine si convergen o divergen y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio a.

∫ √ 4 xx + 3 dx ∞

2

1

b

lim ∫ b→∞ 1

√ 4 x2 +3 dx x

Aplicamos sustitucion que para x= √

dx=

b x 2 ± a debemos sutituir x=

√a u √b

3 tanθ 2

√3 sec2 ( θ) 2

dθ

( 2√3x )

θ=tan−1

Se realiza un cambio de variable y reducimos la función mediante identidades trigonométricas.

√3 ta n2 θ+3 tanθ 3 (¿¿ √ sec 2 θ)dθ 2

√∫ ( 4

∫ √ 4 xx + 3 dx= 2

2

)

√ 3 tanθ +3 2 √ 3 tanθ 2

∗√ 3 sec2 ( θ ) dθ=2/ √ 3∫ ¿

2

2 2 3 ( ta n θ+1) ∗sec 2 θ) dθ ∫ √ 4 xx + 3 dx=∫ √ tanθ sec 2 θ dθ= √3∫ ( secθ tanθ

(

θ 2 cscθ∗ sec ¿ dθ ¿ ¿ ¿ √3 ∫ ¿ tan ¿ cscθ∗(θ+1¿ 2 ¿) dθ ¿ ¿ √ 3∫ ¿ θ tanθ∗ sec ¿ dθ ¿ ¿ ¿ √ 3∫ ¿

)

¿ √ 3∫

(cos θ )dθ+ √3∫ ( cscθ) dθ senθ 2

Se sustitulle u= cosθ ; du =−senθ dθ . Y obtemos 1 du+ √3 ∫ (cscθ ) dθ u2 Halamos la integral indefinida −√ 3∗∫

−√ 3

( |√ 1 ln 2

| |√

4 x 2+3 1 +1 − ln 2 x

Le podemos aplicar fracción √ 3 ln −2√ 3 + √ 7 + √ 7 2

(

)

El valor en decimal es 1.288 Y obtenemmos que Es divergente

|√

)

4 x 2+3 1 −1 − ( 4 x2 +3 ) + c x 3

BLOQUE DE EJERCICIOS B Tipo de ejercicios 1 - Integración por Sustitución. Enlace de video: https://screencast-o-matic.com/watch/crf6YnVn3Bz

∫

2

x dx √ 2 x 3 +1

Sustituir por u

u=2 x 3 +1 2

du =6 x dx

Simplificamos

x2 1 ∫ √u . 6 x 2 du

Eliminamos términos comunes

x2 ∗1 √u 6 x2 1

∫ 6 √ u du Sacamos la constante

1 1 ∫ du 6 √u

Aplicamos leyes de exponentes

1 1 du 6 ∫ 12 u

1 ∫u 6

−1 2

Aplicamos regla de la potencia −1

+1 1 ∗u 2 6 −1 +1 2

Sustituimos u −1 + 1 2

1 3 ∗( 2 x +1 ) 6 −1 +1 2

1

3 2 1 ∗( 2 x +1 ) 6 1 2 1

1 3 2 ∗2 ( 2 x +1 ) 6 1

2 ( 2 x 3+1 ) 2 6 1

1 ( 2 x3 +1) 2 3 La solución es: 1 3 2 x +1+c √ 3

Comprobación en GeoGebra

Ejercicio 2B – Integración por Partes x

∫ e 4 cos 4 xdx Formula a usar u . v−∫ v . du Solución Obtenemos los valores de (du, v) x

u=cos 4 x

dv = e4 x

du=−4 sin 4 x dx

v =4 e4

Reemplazamos x

x

cos 4 x .4 e 4 −∫ 4 e4 .−4 sin 4 x dx x

x

cos 4 x .4 e 4 −(−16)∫ e 4 .sin 4 x dx Integramos nuevamente Obtenemos los valores de (du, v) u=−4 sin 4 x

du=−16 cos 4 x dx

Reemplazamos

x

dv =4 e 4

v =16 e

x 4

x

x

x

4 cos 4 x .4 e 4 −(−4 sin 4 x .16 e −∫ 16 e 4 .−16 cos 4 x dx) x

x

x

cos 4 x .4 e 4 −(−64 sin 4 x . e 4 + 256∫ e4 . cos 4 x dx)

Resolvemos x 4

x

e 4 cos 4 x 4 e sin 4 x+ 4 16( ) 257 Reescribimos el resultado x

4 e4 (16 sin 4 x+ cos 4 x ) +C 257

Comprobación en GeoGebra

Ejercicio 3B – Integración por Sustitución Trigonométrica y Fracciones Parciales

∫

2 x−3 dx x 3+ x

Método para usar – Fracciones parciales

Obtenemos la fracción parcial factorizando el denominador x 3=x 2 x =x ( x 2+1) 2 x−3 x (x 2 +1) Sumamos fracciones parciales para x x=

a0 x

x 2+1=

y

2

x +1

a2 x +a 1 x 2+ 1

2 x−3 = a 0 a2 x+a1 + 2 x +1 x (x 2 +1) x Multiplicar la ecuación por el denominador 2

2 2 x (2 x −3)( x + 1) a0 x (x +1) x (a2 x+ a1 )( x +1 ) + = 2 2 x x +1 x (x +1)

2 x −3=a0 ( x 2 +1) +x (a 2 x +a1 ) Hallamos el valor de

a0 y reemplazamos en

2.0−3=−3 2 x −3=( −3 ) ( x 2 +1 )+ x (a 2 x + a1 ) 2

2

2 x −3=−3 x −3+ a2 x +a1 x Agrupamos los elementos 2 x −3=x 2 ( a2−3 )+a1 x−3 Hallamos los valores de a1

[

a 1=0 −3+a2=0

y a2

]

−3+ a 2+ 3 =0+3

a2=3 Sustituimos valores en la fracción parcial −3 3 x+ 2 + 2 x x +1

∫

−3 3 x +2 dx + 2 x x +1

x

−∫

3 3 x +2 dx + x x 2+1

Aplicamos regla de la suma −∫

3 x+2 3 dx+∫ 2 dx x x +1 Resolver

1 3∫ dx x 3 ln|x|

3

∫ x dx

Resolver 3x

∫ x2 +1 +

2

3 x +2

∫ x 2 +1 dx

dx x +1 Aplicamos regla de la suma 2 3x ∫ x2 +1 dx+∫ x 2+1 dx 3x Resolvemos ∫ 2 dx x +1 x 3∫ 2 dx x +1 Integración por sustitución 2 u=x +1 du =(x 2 +1) dx d 2 d (x )+ (1) dx dx d d =2 x =0 dx dx x 1 ∫ u . 2 x du 1 ∫ 2u du 1 1 1 du 3∫ 3. ∫ du 2u 2 u 3 u 3 2 ln | | ln|x + 1| 2 2 2 Resolvemos ∫ 2 dx x +1 1 2∫ 2 dx x +1 −1 2 tan x 2

Unimos resultados 3 −1 2 −3 ln| x|+ ln |x +1|+2 tan x+ C 2

Comprobación en GeoGebra

Ejercicios 4B – Integral impropias. Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia y determine si convergen o divergen y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en GeoGebra) Ejercicio B: 2

∫ x ln xdx 0

Se reescribe la integral impropia usando un límite:

(∫ 2

lim a→0

x ln x dx

a

)

Se calcula la integral definida

∫ x ln xdx Se utiliza la fórmula de integración parcial

( ) 2

ln x

()

2 x x 1 dx −∫ 2 x 2

Se reducen las expresiones usando máximo común divisor

( ) 2

ln x

x x −∫ dx 2 2

Se aplican las propiedades de integración y se resuelve la integral ln x

( )

x 2 1 x dx − ∫ 2 2

( ) ( ) 2

2

1 ln x x − x 2 2 2

ln x x 2 x 2 − 4 2

(

2 2 ln 222 22 ln a(a ) a − − − 2 2 4 4

)

Se simplifica lo que hay dentro del límite quedando así:

(

2

)

lna (a ) a2 lim 2 ln 2−1− + 4 a→0 2

2 ln 2−1=0,386294 Teniendo en cuenta el resultado la integral converge. Pantallazo en Geogebra:

BLOQUE DE EJERCICIOS D Tipo de ejercicios 1 - Integrales inmediatas. Enlace de video: https://youtu.be/6_sBNkxxuGE Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución.

∫ √1+ √ x dx √x

Vamos a llamar

a=1+ √ x y derivamos a=1+ √ x da 1 = x dx 2

−1 2

1 da = dx 2 √ x 2 √ x da= dx Sustituimos en la integral

∫ √√ ax × 2 √ x da=2 ∫√ a da =2∫ a 2 da 1

Integramos

() 3 2

2

a 4 3 +C= √ a +C Sustituimos a 3 3 2 4 (1+ √ x ) √ 1+√ x +C 3

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.

∫ e (2 t +2) sen (3 t +2 ) dt Aplicamos integracion por partes dv = e( 2t +2 )dt

u= sen ( 3 t+ 2 ) du = ( 3 cos ( 3 t+2 ) ) dt

a=2t +2

du =3 cos(3 t +2) dt

da da =2 =dt 2 dt

∫ dv=∫ e (2 t+ 2) dt v =∫ e( 2 t+ 2) dt v =∫ v=

(a ) e ∗da 2

1 e( a) da 2∫

1 v = e ( a) 2 1 v = e ( 2t +2) 2

Aplicamos integración por partes uv−∫ v du

∫ e( 2 t +2) sen (3 t +2 ) dt=( sen ( 3t +2 ) )( 12 e ( 2 t +2) )−∫ 21 e (2 t +2 )∗3 cos(3 t +2)dt No queda por ahora la integral asi:

∫ e(2 t +2) sen (3 t +2 ) dt=

e(

2t +2)

sen (3 t+2 ) 3 (2 t +2 ) cos (3 t+2)dt − ∫e 2 2

Volvemos aplicar integración por partes

∫ e(2 t +2) cos (3 t+2)dt u=cos ( 3 t+2) du = (−3 sen ( 3t +2 )) dt

dv = e( 2t +2 )dt

a=2t +2

du=−3 sen(3 t+2)dt

da da =2 =dt 2 dt

∫ dv=∫ e (2 t+ 2) dt v =∫ e( 2 t+ 2) dt v =∫ v=

(a ) e ∗da 2

1 e( a) da 2∫

1 v = e ( a) 2 1 v = e ( 2t +2) 2

Aplicamos la integral por partes 1 ( cos ( 3 t +2 ) ) e (2 t +2 ) −∫ 1 e (2 t +2) ∗(−3 sen ( 3 t+2 ) dt ) 2 2

(

e(

2t +2 )

)

cos ( 3 t +2) 3 ( 2t +2) sen ( 3 t+2 ) dt + ∫e 2 2

Unimos las integrales hasta donde las llevamos

∫e

(2 t +2)

∫e

[

e( 2t +2) sen (3 t+2 ) 3 e( 2 t+ 2) cos (3t +2 ) 3 2 t+ 2 + + ∫ e( ) sen ( 3 t+2 ) dt sen (3 t +2 ) dt= 2 2 2 2

( 2 t +2)

sen (3 t +2 ) dt=

e

( 2t +2)

(2 t +2 )

sen ( 3 t+2) 3 e + 2

cos( 3 t+ 2 ) 9 ( 2t +2) sen (3 t+2 ) dt − ∫e 4 4

Aplicamos propiedades de las igualdades

∫ e ( 2 t +2) sen (3 t +2 ) dt+

( 2t +2)

e 9 ∫ e (2 t +2 ) sen (3 t +2 ) dt= 4

e 13 e ( 2 t +2) sen ( 3 t+ 2) dt= ∫ 4 e

( 2 t +2)

(2 t +2 )

∫ e(2 t +2) sen (3 t +2 ) dt=

sen ( 3 t +2 ) 3 e( + 2

2 t +2)

( 2 t +2)

sen ( 3 t +2 ) 3 e + 2 13 4

( 2 t +2 )

∫ e( 2 t +2) sen (3 t +2 ) dt= 4 e

sen (3 t+2 ) 3 e ( 2 t +2 ) cos ( 3 t+2 ) + 2 4 cos (3 t+2 ) 4

cos (3 t+2 ) 4

+C

sen ( 3 t +2) 12 e( 2 t+2) cos ( 3t +2) + +C 26 52

Simplificamos ( 2 t +2)

∫ e( 2 t +2) sen (3 t +2 ) dt= 2 e

sen (3 t +2 ) 3 e + 13

( 2 t +2)

cos ( 3 t+2 ) +C 13

( 2 sen13( 3 t +2) + 3 cos13(3 t+ 2 ) )e

∫ e(2 t +2) sen (3 t +2 ) dt=

(2t +2)

+C

]

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. 1

∫

3 2 2

dt

(4−3 t ) Aplicamos que para

√ a−b t2 debemos sutituir t= √ a sen(u) √b

Entonces tenemos t=

t=

2 3

1 2

√ 4 sen ( u ) = 2 senu √3 √3

senu derivamnos

dt 2 2 = 1 cos u dt= 1 cos u du du 32 32

Sustituimos en la integral

∫

1

( ( )) 2

4−3

1 2

3

∫

2 cos u

( ( 4−3

))

3 2

4 sen2 u 3

sen u

×

2 3 2

du 1 2

2

×

3

1 2

cos u du

2 cos u

=∫

3 2

( 4−4 sen2 u )

3

×

du 1

32

Aplicamos factorización 2

1−sen u 4(¿) ¿ 3 ¿ 2 ¿ 1 2

3 ¿ 2 cos u ¿ ∫¿ Aplicamos propiedades de los radicales e identidades trigonométricas cos u 2 du 1∫ 3 2 8 ( cos u ) 2

32 2 1 2

3 ∗8

∫

3

cos u

2 du →( cos u) =√ cos u=cos u 2

( cos2 u)

3 2

1 1 2

3 ∗4 1 1 2

3 ∗4

6

cos u

∫ cos3 u du 1

∫ cos2 u du

Aplicamos regla de integración

3

1

tanu+ C

1 2

3 ∗4 t=

Como

2

sen u

1 2

3 1

( )

t√3 32t =senu → u= ArcSen 2 2

Reemplazamos en la respuesta encontrada

(

1

tan ArcSen

4√ 3

(t 2√3 ))+C

Vamos a utilizar una identidad trigonometría t

tan ( ArcSen ( t ) ) =

1

( 1−x 2) 2

(

( ))

t √3 tan ArcSen = 2

t √3 2

=

t √3 2 3t 2 1− 4

( ( √ )) ( 1−

t 3 2

2 1 2

(

tan ArcSen

=

t√ 3 t √3 t √3 = = 2 1 2( 4−3 t 2 4−3t 2 √ 4−3 t2 ) 2 2 √ 2 4 √4

) (

) ( 1 2

t√ 3 (t 2√3 ))= √ 4−3 t

2

Tomamos la antiderivada y reemplazamos 1 4√ 3

(√

)

t√3 +C 4−3 t2

t 4 √ 4−3 t

2

+C

)

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. 1

∫ 4 x42 +1 dx −∞

1

∫ a →−∞ lim

a

4 dx 2 4 x +1

Vamos hallar la integral definida 4 ∫ 4 x 2 +1 dx b x 2 ± a debemos sutituir x=

Aplicamos sustitucion que para

√a u √b

1 dx 1 1 1 a=1b=4 entoces x= √ u= u derivamos = dx= du 2 du 2 √4 2 Sustituimos 4

∫

( 12 u) +1 2

4

2∫

1 × du 2

1

( )

u2 4 +1 4

du

2∫

1 du u +1 2

Aplicamos reglas de integración 2 arctan u+C

1 Como x= u →2 x=u 2 Sustituimos 2 arctan (2 x ) +C

Entonces tenemos que:

[

lim 2 arctan( 2 x)|a

a →−∞

1

]

Evaluamos los limites de la integral lim [( 2 arctan ( 2) ) − ( 2 arctan ( 2 a ) ) ]

a →−∞

Evaluamos el limite 2 arctan (2 ) −( −π ) 1

∫ 4 x42 +1 dx=2 arctan (2 ) −( −π ) −∞

Convergente

Ejercicio 4. Sustentación Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por fracciones parciales, compruebe su r...