Unidad I Leyes de Composición PDF

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Índice

Introducción .................................................................................................................................. 1 UNIDAD 1. LEYES DE COMPOSICIÓN ................................................................................. 3 Leyes de composición interna................................................................................................... 3 Propiedades y elementos distinguidos .................................................................................... 5 Demostración de las propiedades de las leyes de composición interna ................................ 8 Homomorfismos ...................................................................................................................... 13 Homomorfismo entre conjuntos........................................................................................... 13 Homomorfismos especiales .................................................................................................. 16 Compatibilidad de una relación de equivalencia con una ley interna................................ 17 Teorema fundamental de Compatibilidad ........................................................................... 18 Leyes de composición externa ................................................................................................ 21 Propiedades Eventuales de una Ley de Composición Externa. .......................................... 23 Homomorfismo entre conjuntos dotados de Leyes Externas. ............................................. 27

Álgebra IV – 4to año de Física Matemática

Introducción “Las matemáticas constituyen la ciencia de la forma y la cantidad; el razonamiento matemático es simplemente lógica aplicada a la observación de la forma y la cantidad. El gran error está en suponer que incluso las verdades de lo que se denomina álgebra pura constituyen verdades abstractas o generales.” -

Edgar Allan Poe

Estimados estudiantes, sean bienvenidos al curso de Álgebra IV, me da gusto poder compartir con ustedes esta asignatura de matemática en donde espero que todos obtengamos nuevas experiencias de aprendizaje y logremos alcanzar los objetivos propuestos. La asignatura Álgebra IV contribuye a desarrollar las siguientes capacidades: poder utilizar estrategias y acciones didácticas en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, dominar la teoría psicopedagógica a nivel de educación media, formular, organizar, planificar y proponer acciones didácticas y metodológicas innovadoras. El álgebra IV tiene como antecedentes las asignaturas Álgebra I, II, y como requisito el Álgebra III. Su ubicación en el octavo semestre obedece a que complementa las técnicas y procedimientos algebraicos adquiridos en semestres anteriores y actúa como fundamento para adquirir el rigor matemático y didáctico deseado. Tendrán la oportunidad de seguir descubriendo la amplia aplicabilidad de los conceptos del álgebra y la funcionalidad del lenguaje simbólico, consolidando muchos aspectos necesarios para la vida como docentes de secundaria como el dedicar un especial cuidado a la formulación exacta de los enunciados matemáticos y su contextualización. En este curso se desarrollarán 4 unidades las cuales se mencionan a continuación:

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Unidad 1: Leyes de Composición

Unidad 2: Estructuras de monoide, semi grupo y grupo

Unidad 3: Estructura de anillo

Unidad 4: Estructura de cuerpo

El éxito en el curso estará en dependencia del buen desempeño a nivel individual y grupal, donde la dedicación y el entusiasmo son elementos fundamentales para lograrlo. ¡¡Así que ánimo y mucho éxito en esta experiencia que está por iniciar!!

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Álgebra IV – 4to año de Física Matemática

UNIDAD 1. LEYES DE COMPOSICIÓN Objetivos procedimentales 

Demostrar las propiedades principales de leyes de composición internas y el Teorema Fundamental de Compatibilidad.



Construir leyes de composición externa en situaciones concretas y ejercicios prácticos.

En cursos anteriores se han analizado el conjunto de los números reales, y claro que se han estudiado sus propiedades, tales como: la propiedad de cerradura, conmutativa, asociativa, entre otras, en esta asignatura se profundiza sobre estas propiedades. Leyes de composición interna Definición: Sea 𝐴 un conjunto no vacío. Una ley de composición interna (abreviado l.c.i.) en 𝐴 es una función de 𝐴 × 𝐴 en 𝐴. Estas funciones también se llaman operaciones binarias (o, simplemente operaciones), y la notación que se usa para indicar el resultado de la ley de composición interna sobre (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐴 × 𝐴 es 𝑎 ∗ 𝑏, 𝑎 + 𝑏 , 𝑎 . 𝑏, etc. El ente 𝑎 ∗ 𝑏 se lee “𝑎 operado con 𝑏 por la operación ∗", por ejemplo. Se usa la notación (𝐴,∗) para indicar que el conjunto 𝐴 está dotado de la ley de composición interna. También decimos que (𝐴,∗) es una estructura algebraica. Ejemplos típicos de operaciones internas son el conjunto ℤ de los números enteros, ℤ = {. . . , −3, −2, −1, 0, +1, + 2, +3, . . . } , y la suma: 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 Si se suman dos números enteros su resultado es otro número entero, por tanto se dice que la operación suma es una operación interna. Sin embargo no sucede esto con la operación división en ℤ, la división de los enteros 3 y 5: 3

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3 : 5 = 0,6 que es un número no-entero, por tanto en ℤ la división no es una operación interna. A las operaciones internas también se las llama leyes de composición. Otros ejemplos sencillos son: 1. En 𝐴 = {0,1} definimos la ley de composición interna suma módulo 2 por la siguiente tabla +2

0

1

0

0

1

1

1

0

(se lee por ejemplo 0+2 1 = 1). También se define la multiplicación módulo 2 por .2

0

1

0

0

1

1

1

0

2. En 𝐴 = {0,1,2,3} se define la ley de composición interna suma módulo 4 por la siguiente tabla +4

0

1

2

3

0

0

1

2

3

1

1

2

3

0

2

2

3

0

1

3

3

0

1

2

4

Estas

tablas

se

conocen como tablas de Cayley

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Propiedades y elementos distinguidos Sea (𝐴,∗) una estructura algebraica. 1. Elementos Neutros: Se dice que 𝑒 es un elemento neutro para una ley de composición interna ∗ si se cumple (∀𝑎 ∈ 𝐴) 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 Propiedad: El neutro, cuando existe, es único (y se tiene entonces derecho a hablar del neutro). En efecto, se supone que existen neutros 𝑒 y 𝑒 ′ . Luego 𝑒 ′ = 𝑒 ∗ 𝑒 ′ = 𝑒 2. Asociatividad: Se dice que la l.c.i. en 𝐴 es asociativa si (∀𝑎 ∈ 𝐴)

(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)

3. Elementos inversos: Si existe neutro 𝑒, se dice que 𝑎 ∈ 𝐴 tiene a 𝑏 ∈ 𝐴 como inverso, o que 𝑏 es un inverso para 𝑎 si 𝑎∗𝑏 =𝑏∗𝑎 =𝑒 En general, un inverso 𝑏 para 𝑎 ∈ 𝐴 no es único. Cuando sea único lo denotaremos 𝑎−1. Una condición de unicidad es la siguiente, Propiedad: Si ∗ tiene neutro y es asociativa entonces los inversos son únicos. En efecto, sean 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏1 𝑏2 ∈ 𝐴 tales que 𝑎 ∗ 𝑏1 = 𝑏1 ∗ 𝑎 = 𝑒 y 𝑎 ∗ 𝑏2 = 𝑏2 ∗ 𝑎 = 𝑒. Luego operando por 𝑏2 la primera igualdad por la izquierda se obtiene 𝑏2 ∗ (𝑎 ∗ 𝑏1 ) = 𝑏2 ∗ 𝑒. Como la ley es asociativa entonces (𝑏2 ∗ 𝑎) ∗ 𝑏1 = 𝑏2 , de lo que se deduce que .𝑏1 = 𝑒 ∗ 𝑏1 = 𝑏2

5

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4. Conmutatividad: Se dice que la l.c.i. ∗ en 𝐴 es conmutativa si (∀𝑎 , 𝑏 ∈ 𝐴)

𝑎∗𝑏 =𝑏∗𝑐

Como se puede apreciar no aparece la propiedad de clausura o cerradura y es por el hecho de que la misma viene dada por la definición general de Ley de Composición Interna ya planteada, en la cual resulta evidente que al componer dos elementos de un conjunto no vacío 𝐴 el resultado pertenece al mismo conjunto, de allí la connotación de ley interna la cual se fundamenta claramente en la clausura. Ley de Composición Interna, es válido destacar que en ámbito matemático destacan dos de éstas en particular, las cuales son: 

Ley de Composición Interna Adición



Ley de Composición Interna Multiplicación

Figura 1

Figura 2

Ley de Composición Interna Adición

Ley de Composición Interna Multiplicación

Nota: ∀𝑎,𝑏 ∈ 𝐴2 , +(𝑎, 𝑏 ) = 𝑎 + 𝑏

Nota: ∀𝑎,𝑏 ∈ 𝐴2 , . (𝑎, 𝑏) = 𝑎. 𝑏

𝑎 + 𝑏 = 𝑐, 𝑐 ∈ 𝐴

𝑎. 𝑏 = 𝑐, 𝑐 ∈ 𝐴

Ahora resulta interesante visualizar como se representan las propiedades y elementos distinguidos en los casos particulares adición y multiplicación para lo cual es conveniente observar la siguiente representación: 6

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Figura 3 Propiedades y Elementos Distinguidos de la LCI Adición

Nota: El elemento neutro en la ley adición es el 0 (cero) y el mismo es único para todos los elementos del conjunto, esto es, no existe otro elemento neutro y la demostración (por Reducción al Absurdo). Se puede observar que los elementos simétricos en la adición se denotan (-a), es decir, utilizando un guion a la izquierda de valor numérico. Generalmente los elementos simétricos en la ley adición se denominan de forma particular como elementos opuestos. Es muy importante destacar que en los conjuntos numéricos donde existen éstos para cada elemento del conjunto, el mismo es único, esto es, un elemento cualquiera del conjunto tiene uno y sólo un elemento opuesto.

Figura 4

Propiedades y Elementos Distinguidos de la LCI Multiplicación

Nota: El elemento neutro en la ley multiplicación es el 1 (uno) En el caso de la ley multiplicación los elementos simétricos se representan 1/a, esto es, en forma de fracción. Los mismos se denominan de forma particular como elementos inversos.

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Reflexionar: ¿Y las Leyes de la sustracción y división?

Demostración de las propiedades de las leyes de composición interna 1. La operación ∗ definida en ℝ por 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 2𝑎𝑏. Demostrar si es asociativa 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 + 2𝑏𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎(𝑏 + 𝑐 + 2𝑏𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 4𝑎𝑏𝑐 Por otro lado (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 2𝑎𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 2𝑎𝑏 + 𝑐 + 2(𝑎 + 𝑏 + 2𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 2𝑎𝑏 + 𝑐 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏𝑐 Como 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 entonces ∗ es asociativa 2. Sean ∗: ℝ+ × ℝ+ → ℝ+ tal que 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏𝑎 y ∇: ℝ+ × ℝ+ → ℝ+ talque 𝑎∇𝑏 = 𝑎. 𝑏 dos leyes de composición interna. a) Pruebe que ∗ es distributiva por la izquierda con respecto de ∇ Se debe demostrar que 𝑎 ∗ (𝑏∇𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏)∇(𝑎 ∗ 𝑐 ), ∀𝑎,𝑏,𝑐 ∈ ℝ+ 𝑎 ∗ (𝑏∇𝑐) = 𝑎 ∗ (𝑏. 𝑐) = (𝑏. 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎 . 𝑐 𝑎

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= (𝑎 ∗ 𝑏)∇(𝑎 ∗ 𝑐 ) b) Pruebe que ∗ no es distributiva por la derecha con respecto de ∇ Como 𝑎 ∗ (𝑏∇𝑐) = (𝑎. 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑐 𝑎𝑏 y (𝑎 ∗ 𝑏)∇(𝑎 ∗ 𝑐) = 𝑐 𝑎 ∇𝑐 𝑏 = 𝑐 𝑎+𝑏 y dando que 𝑐 𝑎𝑏 ≠ 𝑐 𝑎+𝑏 Se concluye que ∗ no es distributiva por la derecha con respecto de ∇ 3. Demostrar que la operación ∗ definida por la siguiente tabla es asociativa: ∗

𝑎

𝑏

𝑐

𝑎

𝑎

𝑏

𝑐

𝑏

𝑏

𝑐

𝑎

𝑐

𝑐

𝑎

𝑏

Se aplica definición de la propiedad asociativa, el conjunto 𝐴 es asociativa si, para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 en 𝐴 𝑥 ∗ (𝑥 ∗ 𝑧) = (𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧 Se deben hacer en total 27 verificaciones. Tabla 1 Demostración 𝑥 ∗ (𝑥 ∗ 𝑧) 1

𝑎 ∗ (𝑎 ∗ 𝑎) 𝑎 ∗ (𝑎)

=?

(𝑥 ∗ 𝑦) ∗ 𝑧

∗

𝑎

𝑏

𝑐

(𝑎 ∗ 𝑎) ∗ 𝑎

𝑎

𝑎

𝑏

𝑐

(𝑎) ∗ 𝑎

𝑏

𝑏

𝑐

𝑎

9

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𝑎

𝑎

𝑐

2

𝑎 ∗ (𝑎 ∗ 𝑏)

(𝑎 ∗ 𝑎) ∗ 𝑏

3

𝑎 ∗ (𝑎 ∗ 𝑐 )

(𝑎 ∗ 𝑎) ∗ 𝑐

4

𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑎)

(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑎

5

𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑏)

(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑏

6

𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐 )

(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐

7

𝑎 ∗ (𝑐 ∗ 𝑎)

(𝑎 ∗ 𝑐) ∗ 𝑎

8

𝑎 ∗ (𝑐 ∗ 𝑏)

(𝑎 ∗ 𝑐) ∗ 𝑏

9

𝑎 ∗ (𝑐 ∗ 𝑑)

(𝑎 ∗ 𝑐) ∗ 𝑐

𝑐

𝑎

𝑏

Nota: Número de productos = 𝑛3 , donde 𝑛 es el número de elementos del conjunto

Actividad: Complete la tabla, para demostrar que se cumple la propiedad asociativa con respecto a 𝑎, quedando de tarea hacer la demostración con 𝑏 y 𝑐 4. Se define en 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} la siguiente operación ∗

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

𝑎

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

𝑏

𝑏

𝑐

𝑑

𝑎

𝑐

𝑐

𝑑

𝑎

𝑏

𝑑

𝑑

𝑎

𝑏

𝑐

𝐸 = [(𝑑 ∗ 𝑎−1)−1 ∗ 𝑏−1 ]−1 Para trabajar con el elemento inverso se necesita el elemento neutro,

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Calculo del elemento neutro 𝑒 𝑒=𝑎 ∗

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

𝑎

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

𝑏

𝑏

𝑐

𝑑

𝑎

𝑐

𝑐

𝑑

𝑎

𝑏

𝑑

𝑑

𝑎

𝑏

𝑐

Cálculo del elemento inverso 𝑎 −1 = 𝑎 𝑏 −1 = 𝑑 𝐸 = [(𝑑 ∗ 𝑎)−1 ∗ 𝑑]−1 𝐸 = [(𝑑)−1 ∗ 𝑑]−1 𝐸 = [𝑏 ∗ 𝑑]−1 𝐸=𝑎 5. Se define el conjunto de los números enteros ℤ, tal que 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 4. Determine lo que se le indica: a) 4 ∗ 𝑥 ∗ 5 = 1 (4 + 𝑥 − 4) ∗ 5 = 1 𝑥∗5=1 11

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𝑥 +5−4 = 1 𝑥+1= 1 𝑥=0 Recursos de Apoyo https://drive.google.com/file/d/1TwYU8Tt5pdN07PraHWFa ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS euzJoaHNCcEq/view?usp=drivesdk Definición de ley de composición interna Ley

de

composición

interna

https://www.youtube.com/watch?v=w5R75xiqhmA

ejercicios https://www.youtube.com/watch?v=9-93J8Ox3ws

resueltos Leyes de composición interna Propiedades

de

las

https://ocw.ehu.eus/file.php/133/algebra/tema1apto4.pdf leyes

de

composición interna

https://eluniversomatematicoblog.wordpress.com/2017/05/25 /propiedades-de -las-leyes-de -composicion-interna/

Actividades 1. La operación ∗ definida en ℝ por 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 2𝑏. Demostrar si es asociativa 2. Tomando en cuenta la operación ∗ definida en ℝ por 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 2𝑎𝑏 tal que es asociativa y con elemento neutro 𝑒 = 0. ¿Qué elementos de 𝑎 ∈ ℝ tienen inverso 𝑎? 3. Consideremos dos leyes de composición interna 𝑎. 𝑏 = 3𝑎 + 𝑏

𝑦

𝑎∆𝑏 = 4𝑎𝑏

Ambas definidas sobre ℤ. Ver si son asociativas, conmutativas y si alguna de ellas es distributiva respecto la otra. 4. Averiguar las propiedades de las siguientes leyes de composición interna a) 𝑥. 𝑦 = 2𝑥+𝑦

Sobre ℕ 12

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b) 𝑥∆𝑦 =

𝑥+𝑦 2

sobre el conjunto P de los números pares y sobre ℚ

5. Sea 𝑥. 𝑦 =

𝑥+𝑦 , 𝑥𝑦

razonar si es ley de composición interna en ℝ, ℝ∗, ℝ+ 𝑦 ℝ−

Homomorfismos

Dadas dos estructuras algebraicas (𝐴,∗) y (𝐵, ∆), se dice que la aplicación 𝑓: (𝐴,∗) → (𝐵, ∆) es un homomorfismo si para cualquier 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 se verifica 𝑓(𝑥 ∗ 𝑦) = 𝑓(𝑥)∆𝑓(𝑦)

Figura 5 Ejemplo Homomorfismo

Nota: 𝑓: (𝐴,∗) → (𝐵, ∆)

Homomorfismo entre conjuntos Sean (ℝ, +) y (ℝ *, . ), donde R es el conjunto de los reales, ℝ+ el conjunto de los reales positivos y las operaciones indicadas son la suma y el producto usuales. Consideremos ahora la función 13

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𝑓: ℝ → ℝ+ definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥 Se tiene entonces 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 2 𝑥+𝑦 = 2 𝑥 . , 2𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑓(y) el producto de potencias de igual base, y utilizando de nuevo la definición 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 , se ha probado que la imagen de la suma en ℝ es igual al producto de las imágenes en ℝ+ Una aplicación 𝑓, que satisface esta propiedad, se dice un homomorfismo de ℝ en ℝ respecto de las correspondientes leyes de composición interna. Homomorfismo entre dos conjuntos respecto de una ley interna en cada uno Sean los conjuntos no vacíos A, A', y las leyes de composición interna ∗: 𝐴2 → 𝐴 ∗: 𝐴′2 → 𝐴′ Definición: La función 𝑓: 𝐴 → 𝐴′ es un homomorfismo respecto de ∗ y ∗ ′ si y sólo si la imagen de la composición en A es igual a la composición de las imágenes en A'. En símbolo 𝑓: 𝐴 → 𝐴′ es homomorfismo respecto de ∗ y ∗ ′ ⇔ 𝑓(𝑎 ∗ 𝑏) cualesquiera que sean 𝑎 y 𝑏 en 𝐴. El concepto de homomorfismo es fundamental en álgebra, y su interpretación es la siguiente:

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i)

Se ha definido homomorfismo entre dos conjuntos respecto de sendas leyes de composición interna. Las leyes internas y los conjuntos no son necesariamente distintos. Además, el concepto de homomorfismo es aplicable también respecto de relaciones que no son necesariamente operaciones. Se tienen, por ejemplo, los homomorfismos de orden.

ii)

Un homomorfismo, como objeto, es una función que respecta la propiedad que lo define

iii)

El homomorfismo 𝑓: 𝐴 → 𝐴′ proporciona una alternativa para obtener la imagen de la composición en 𝐴, a saber:

𝐴′ ,∗ ′

𝐴,∗ 𝑎

𝑓(𝑎)

𝑏

𝑓(𝑏)

𝑎∗𝑏

𝑓(𝑎 ∗ 𝑏) = 𝑓(𝑎) ∗ 𝑓(𝑏)

a) 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 → 𝑓(𝑎 ∗ 𝑏) ∈ 𝐴′ b) 𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐴 → 𝑓(𝑎) ∈ 𝐴′ ∧ 𝑓 (𝑏) ∈ 𝐴′ → 𝑓(𝑎) ∗ ′𝑓(𝑏) ∈ 𝐴′

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El homomorfismo establece la igualdad de los objetos 𝑓(𝑎 ∗ 𝑏) y 𝑓(𝑎) ∗ ′𝑓(𝑏) y las dos posibilidades son: componer en A y hallar la imagen, o bien, hallar cada imagen y componer éstas en A'. Como sinónimo suele utilizarse el vocablo morfismo. Homomorfismos especiales Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐴′ un homomorfismo respecto de * y *'. i)

𝑓 es un monomorfismo si y sólo si 𝑓 es inyectiva.

ii)

𝑓 es un epimorfismo si y sólo si 𝑓 es sobreyectiva,

iv)

𝑓 es un isomorfismo si y sólo si 𝑓 es biyectiva.

v)

𝑓 es un endomorfismo si y sólo si 𝐴 = 𝐴′ es un auto morfismo si y sólo si / es un endomorfismo biyectivo.

Ejemplo 1 Sean (ℝ3 , +), (ℝ2𝑥2, +) 𝑦 𝑗: ℝ3 → 2𝑥2 tal que 𝑥 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = [𝑥1

2

0 ] 𝑥3

Las operaciones consideradas son la suma de ternas ordenadas de números reales definidas por: (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) + (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 ) = (𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 , 𝑥3 +𝑦3 ) Y la adición en ℝ2𝑥2 ,se prueba que 𝑓 caracteriza un homomorfismo Sea 𝑓[(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) + (...