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11.1. INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA CAPÍTULO 11 CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 11.12 11.13 11.14

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Introducción a la dinámica Posición, velocidad y aceleración Determinación del movimiento de una partícula Movimiento rectilíneo uniforme Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Movimiento de varias partículas Solución gráfica de problemas de movimiento rectilíneo Otros métodos gráficos Vector de posición, velocidad y aceleración Derivadas de funciones vectoriales Componentes rectangulares de la velocidad y la aceleración Movimiento relativo a un sistema de referencia en traslación Componentes tangencial y normal Componentes radial y transversal

Los capítulos 1 al 10 se dedicaron a la estática, esto es, al análisis de los cuerpos en reposo. Ahora se inicia el estudio de la dinámica, parte de la mecánica que se refiere al análisis de los cuerpos en movimiento. En tanto que el estudio de la estática se remonta al tiempo de los filósofos griegos, la primera contribución importante a la dinámica la realizó Galileo (1564-1642). Los experimentos de Galileo en cuerpos uniformemente acelerados llevaron a Newton (1642-1727) a formular sus leyes de movimiento fundamentales. La dinámica incluye:

1. La cinemática, la cual corresponde al estudio de la geometría del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento. 2. La cinética, que es el estudio de la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de este mismo. La cinética se utiliza para predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento específico. Los capítulos 11 al 14 abordan la dinámica de partículas; en el capítulo 11 se considera la cinemática de partículas. El uso de la palabra partículas no significa que el estudio se restringirá a pequeños corpúsculos, sino que en estos primeros capítulos el movimiento de cuerpos —posiblemente tan grandes como automóviles, cohetes o aviones— será considerado sin tomar en cuenta su tamaño. Al afirmar que los cuerpos se analizan como partículas, se entiende que sólo se va a considerar su movimiento como una unidad completa, y se ignora cualquier rotación alrededor de su propio centro de masa. Sin embargo, hay casos en los que dicha rotación no es despreciable; entonces no pueden considerarse como partículas. Este tipo de movimiento se analiza en los capítulos finales, en los que se trata la dinámica de cuerpos rígidos. En la primera parte del capítulo 11 se estudia el movimiento rectilíneo de una partícula; esto es, se determina la posición, velocidad y aceleración de una partícula en todo instante conforme ésta se mueve a lo largo de una línea recta. Primero, se emplean métodos generales de análisis para estudiar el movimiento de una partícula; después se consideran dos casos particulares importantes, a saber, el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado de una partícula (secciones 11.4 y 11.5). En la sección 11.6, se aborda el movimiento simultáneo de varias partículas, y se presenta el concepto de movimiento relativo de una partícula con respecto a otra. La primera parte de este capítulo concluye con un estudio de métodos gráficos de análisis y su aplicación en la solución de diversos problemas que implican el movimiento rectilíneo de partículas (secciones 11.7 y 11.8). En la segunda parte de este capítulo se analiza el movimiento de una partícula cuando ésta se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Puesto que la posición, velocidad y aceleración de una partícula se definen como cantidades vectoriales, el concepto de la derivada de una función vectorial se presenta en la sección 11.10 y se añade a las herramientas matemáticas. Después se estudian las apli-

caciones en las que el movimiento de una partícula se define mediante las componentes rectangulares de su velocidad y aceleración; en este punto se analiza el movimiento de un proyectil (sección 11.11). En la sección 11.12 se estudia el movimiento de una partícula en relación con el sistema de referencia en traslación. Por último, se analiza el movimiento curvilíneo de una partícula en términos de componentes que no sean las rectangulares. Las componentes tangencial y normal de la velocidad y la aceleración de una partícula se presentan en la sección 11.13 y las componentes radial y transversal de su velocidad y aceleración en la sección 11.14.

11.2. Posición, velocidad y aceleración

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO DE PARTÍCULAS 11.2. POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN

Una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta se dice que se encuentra en movimiento rectilíneo. En cualquier instante dado t, la partícula ocupará cierta posición sobre la línea recta. Para definir la posición P de la partícula se elige un origen fijo O sobre la dirección positiva a lo largo de la línea. Se mide la distancia x desde O hasta P, y se marca con un signo más o menos, dependiendo de si P se alcanza desde O al moverse a lo largo de la línea en la dirección positiva o en la negativa, respectivamente. La distancia x, con el signo apropiado, define por completo la posición de la partícula, y se denomina como la coordenada de la posición de la partícula. Por ejemplo, la coordenada de la posición correspondiente a P en la figura 11.1a) es x ⫽ ⫹5 m; la coordenada correspondiente a P⬘ en la figura 11.1b) es x⬘ ⫽ ⫺2 m. Cuando se conoce la coordenada de la posición x de una partícula para cualquier valor de tiempo t, se afirma que se conoce el movimiento de la partícula. El “itinerario” del movimiento puede expresarse en forma de una ecuación en x y t, tal como x ⫽ 6t 2 ⫺ t3, o en una gráfica de x en función de t, como se indica en la figura 11.6. Las unidades que se usan con mayor frecuencia para medir la coordenada de la posición x son el metro (m) en el sistema de unidades SI † y el pie (ft) en el sistema de unidades inglés. El tiempo t suele medirse en segundos (s). Considere la posición P ocupada por la partícula en el tiempo t y la coordenada correspondiente x (figura 11.2). Considere también la posición P⬘ ocupada por la partícula en un tiempo posterior t ⫹ ⌬t; la coordenada de la posición P⬘ puede obtenerse sumando a la coordenada x de P el pequeño desplazamiento ⌬x, el cual será positivo o negativo según si P⬘ está a la derecha o a la izquierda de P. La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo ⌬t se define como el cociente entre el desplazamiento ⌬x y el intervalo de tiempo ⌬t:

O

P x

x 1m

a) O

P⬘

x x⬘

1m b)

Figura 11.1

x

P

∆x

P'

O (t) (t + ∆ t)

x

Figura 11.2

⌬x Velocidad promedio ⫽ ᎏ ⌬t

†

Cf. Sección 1.3.

Fotografía 11.1 El movimiento de este vehículo solar se describe mediante su posición, velocidad y aceleración.

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Si se usan unidades del SI, ⌬x se expresa en metros y ⌬t en segundos, la velocidad promedio se expresa consecuentemente en metros por segundo (m/s). Si se recurre a las unidades de uso común en Estados Unidos, ⌬x se expresa en pies y ⌬t en segundos; la velocidad promedio se expresará entonces en pies por segundo (ft/s). La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t se obtiene de la velocidad promedio al elegir intervalos ⌬t y desplazamientos ⌬x cada vez más cortos:

Cinemática de partículas

⌬x Velocidad instantánea ⫽ v ⫽ lím ᎏ ⌬ty0 ⌬t

P

La velocidad instantánea se expresa también en m/s o ft/s. Observando que el límite del cociente es igual, por definición, a la derivada de x con respecto a t, se escribe

v>0 x

a) v...