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UNICID - UNIVERSIDADE CIDADE DE SÃO PAULO

AULA - 5

MÉTODO DE CROSS

Prof. José Félix Drigo 2ºSem - 2019

MÉTODO DE CROSS Este método é usado para solução de estruturas hiperestáticas e faz parte dos “Métodos das Deformações”. Também conhecido como “Método da Distribuição de Momentos”. Consiste em um algoritmo simples e rápido para resolução de estruturas.

Algoritmo: sequência finita de instruções bem definidas para solução estrutural. Foi desenvolvido por Hardy Cross em 1932, e parte do conhecimento prévio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um só vão, aplicável a elementos rígidos que possuem continuidade e nós indeslocáveis.

CROSS, Hardy. Analysis of continuous Frames by Distributing Fixed-end Moments; transactions. ASCE, Paper in 1793, v. 96, 1936.

Método de Cross

(Método da Distribuição dos Momentos)

- Libera-se o giro no apoio engastado, transformando-o em apoio articulado. - Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio. - Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotação, de maneira que se reproduza a situação original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor, é correspondente ao MEP devido ao carregamento. MEP: Momento de Engastamento Perfeito

Se não houver engaste

Condição de Continuidade da Viga:

=> Há rotação nos apoios.

O giro é igual, mas

=> com sinal contrário.

Como os MEP são conhecidos, considera-se os apoios internos das vigas contínuas como inicialmente engastados. Isso pressupõe que não há qualquer espécie de giro.

Na realidade, quando a viga está em equilíbrio, o giro existe, podendo ser horário ou anti-horário.

Como o MEP de um lado do apoio é, normalmente, diferente do outro, pois os vãos e carregamentos são normalmente diferentes, significa que o nó considerado engastado não está equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo.

Para equilibrar o nó deve-se distribuir a diferença M entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, menos os sinais. Convenção de Grinter Trata-se da convenção de sinais adotados em cada lado dos apoios da viga: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+)

Princípio Importante: “O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.”

TABELA DE MOMENTO DE ENGASTAMENTO PERFEITO - MEP

 



  

      





  

 



  

  

                    

  

  



  

  

  

  



  

  

   









  

 (L + a)

   (   )

 



    

 (  )    (  )

   



 (L + b)

 (   )

MEP - Momentos de Engastamento Perfeito Bi-engastado:

M AB

q L2 12

MAB

Pab 2 L2

M BA

M BA

Engaste e Apoio:

q L2 12

Pa 2 b L2

M AB

q L2 8

MAB

Pab (L b) 2L2

Em Balanço:

M AB

q L2 2

MAB PL

SEQUENCIA DE CÁLCULO: 1) COEFICIENTE DE RIGIDEZ (K)

Rigidez é capacidade de um corpo resistir à deformação no momento em que lhe é aplicada uma força. Essa é uma qualidade inerente do material. A rigidez de uma viga é proporcional à quantidade de engastes da barra e inversamente proporcional ao comprimento Usa-se uma redução de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulação e um engaste

 !"#$%:

  

 

 

 

K – Coeficiente de Rigidez E – Módulo de Elasticidade I – Momento de Inércia L – Comprimento

 

 

2) COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO (D)

O coeficiente de distribuição de momento de viga com relação ao nó é: a razão entre o coeficiente de rigidez à rotação da viga e o somatório dos coeficientes de rigidez à rotação de todas as barras que convergem no nó.

' '   ∑ - O somatório de todos os coeficientes de distribuição de momento de todas as vigas adjacentes a um nó, com respeito a esse nó, é unitário:

∑'  

- Os apoios simples nas extremidades não são calculados, tem o valor de “0”, porque o Momento é “0”. - Da mesma forma, os apoios engastados nas extremidades tem o valor de 1, pois, neste caso, não há distribuição e o Momento é total no apoio. Observação: Ao se efetuar a distribuição das diferenças de momento o resultado terá seu sinal mudado, o que pode criar problemas em cálculos complexos, portanto, adota-se o Coeficiente de Distribuição negativo.

DBA

DCB

DBC

KAB

KBC

DCD KCD

  DBA    )      DBC    )   

DCB 

ou

DBC    DBA

    )      DCD   )  

ou

DCD    DCB

3) COEFICIENTE DE TRANSMISSÃO (β)

O coeficiente de transmissão dos momentos de uma extremidade a outra da viga é dado pela razão entre o momento que surge no nó oposto ao que sofreu o giro, pelo momento na extremidade que sofre o giro. De maneira que o apoio rotulado não recebe qualquer esforço de momento, mas a diferença distribuída no apoio engastado transmitira metade do seu valor: Rotulado: β  

Engaste: β  , 

PROBLEMA: Calcular as reações e fazer os diagramas de esforços cortantes e momento fletor. Dado: EI = 1

1) COEFICIENTE DE RIGIDEZ (K)

KAB

K /0

KBC

3EI 3      ,  L 8

K 04

3EI 3      ,  L 6

2) COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO (D) DBA

DBC KBC  , 

KAB  , 

DBA 

    )   



,   ,  ,  ) , 

DBA  ,  DBC    DBA DBC  , 

   0,4 0,4 0,43 3

3) COEFICIENTE DE TRANSMISSÃO (β)

Rotulado: β  

Engaste: β  , 

4) MOMENTOS DE ENGASTAMENTOS PERFEITO (M) q = 50 kN/m

q = 30 kN/m

DBA  0,43



  

  

. 

  789

;< " . ". " 

DBC  0,57



  



.  

  789

5) INTERAÇÃO DE CROSS: A D MEP ---

B

C

0,43

0,57

240

225

---

 )   

15  ∗ ,   , 

 ∗ ,   , 

6,45

8,55

 ) ,   , 

233,55

  

O resultado da distribuição tem o sinal trocado

 ) ,   , 

233,55

  , 789

  

6) REAÇÕES DE APOIO:

  , 789 V0 (kN) 120

ΔM /L 29,19 kN   ?, ?  ?, 

V(kN) 90,81

 

=

> 

,  

120 150 29,19 kN

 ) ?, ?  ?, ?

38,93 kN

 

=

> 

,  

, ?   ) , ?

149,19 188,93 ?, ? ) , ?  , 

150 38,93 kN   , ?  , 

111,07

Reações de Apoio - resumo:

A = 120 − 29,19 = 90,81kN

B = 149,19 + 188,93 = 338,12kN

BA = 120 + 29,19 = 149,19kN BC = 150 + 39,93 = 188,93kN

C = 150 – 39,93 = 111,07kN AB  ?, 78

A B  , 78

A B  , 78

7) FORÇA CORTANTE:

V = V0 - qx

q = 30 kN/m

q = 50 kN/m

90,81kN

188,93kN

Vão AB: 0 < x1 < 8m V = 90,81 – 30x1 x1 = 0 => V = 90,81 kN x1 = 8m => V = –149,19 kN V =0

=> x1 =

90,81 EF

x1 = 3,03m

Vão BC: 0 < x2 < 6m V = 188,93 – 50x2 x2 = 0 => V = 188,93 kN x2 = 6m => V = –111,07 kN V =0

=> x2 =

188,93 GF

x2 = 3,78m

8) MOMENTO FLETOR: q = 30 kN/m

q = 50 kN/m

90,81kN

Vão AB: 0 < x1 < 8m qx12 30x12 MBA = V0x1 – –M0 = 90,81x1 – – 0 2  x1 = 0 x1 = 8m x1 = 3,03m

=> M = 0 => M = -233,55 kNm => MMÁX

MMÁX = 90,81(3,03) – 15(3,03)2 => MMÁX = 137,44 kNm

q = 30 kN/m

q = 50 kN/m

188,93kN

Vão BC: 0 < x2 < 6m qx22 MBC= V0x2 – – M0  x2 = 0 x2 = 6m x2 = 3,78m

= 188,93x2 –

50x22 K

– 233,55

=> M = –233,55 kNm => M = 0 => MMÁX

MMÁX = 188,93(3,78) – 25(3,78)2 – 233,55 => MMÁX = 123,40 kNm

Diagramas de Esforços Cortantes e de Momento Fletor q = 50kN/m

q = 30kN/m

188,93 90,81 0

V (kN) 0 -111,07 -149,19

Diagramas de Esforços Cortantes e de Momento Fletor q = 50kN/m

q = 30kN/m

188,93 90,81 V (kN) 0

3,03m

0

3,78m -111,07 -149,19

Diagramas de Esforços Cortantes e de Momento Fletor q = 50kN/m

q = 30kN/m

188,93 90,81 V (kN) 0

3,03m

0

3,78m -111,07 -149,19 -233,55

0

M (kNm) 0 137,44m

123,40

Diagramas de Esforços Cortantes e de Momento Fletor q = 50kN/m

q = 30kN/m

188,93 90,81 V (kN) 0

0

3,78m

3,03m

-111,07 -149,19

-233,55

M (kNm) 0

0 137,44

123,40

Diagramas de Esforços Cortantes e de Momento Fletor q = 50kN/m

q = 30kN/m

188,93 90,81 V (kN) 0

0

3,78m

3,03m

-111,07 -149,19

-233,55

0

M (kNm) 0

137,44

123,40

Exercício 1: Calcular as reações e fazer os diagramas de efeito cortante e momento fletor usando o Método de Cross. Dados: EIAB = 1,8 EIBC = 2,0...