Aula 05 - Flambagem de colunas PDF

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Resistência dos Materiais

Flambagem de colunas

Profª: DSc. Nailde Coelho

Carga crítica  Colunas - elementos estruturais compridos e esbeltos, sujeitos a uma força de compressão axial.

 Flambagem - deflexão lateral.  A carga axial máxima quem uma coluna pode suportar quando está na iminência

de sofrer flambagem é denominada carga crítica, Pcr.

Carga crítica

Carga crítica

Carga crítica

EQUILÍBRIO

Carga crítica EQUILÍBRIO ESTÁVEL

EQUILÍBRIO INSTÁVEL

EQUILÍBRIO NEUTRO

Carga crítica EQUILÍBRIO ESTÁVEL

EQUILÍBRIO INSTÁVEL

EQUILÍBRIO NEUTRO

Coluna ideal com apoios de pinos  Coluna ideal – é uma coluna perfeitamente reta antes da carga. A carga é aplicada no centroide da seção transversal.

 A coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal

da seção transversal que tenha o menor momento de inércia (o eixo mais resistente).

Coluna ideal com apoios de pinos

Coluna ideal com apoios de pinos

 2 EI Pcr  2 L  2E σcr  L / r 2

Pcr = carga crítica ou carga axial σcr = tensão crítica

E = módulo de elasticidade para o material I = menor momento de inércia para a área da seção transversal L = comprimento da coluna sem apoio r = menor raio de giração da coluna L/r = índice de esbeltez – medida de flexibilidade da coluna

Coluna ideal com apoios de pinos

Coluna ideal com apoios de pinos

Coluna ideal com apoios de pinos

Menor índice de esbeltez aceitável

Coluna ideal com apoios de pinos Exemplo 01 O elemento estrutural A-36 W200 X 46 de

aço mostrado na figura ao lado deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos. Determine a maior carga axial que

ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe.

Coluna ideal com apoios de pinos Exemplo 02 A coluna é composta por um elemento

estrutural rígido preso por um pino na base e acoplado a uma mola no topo. Se a mola não estiver esticada quando a

coluna estiver em posição vertical, determine a carga crítica que pode ser aplicada à coluna.

Colunas com vários tipos de apoio  Euler é usado para determinar a carga crítica provida, “L” representa a distância sem apoio entre os pontos de momento nulo.  Comprimento efetivo da coluna - Le.  Um coeficiente dimensional K, fator de comprimento efetivo, é usado

para calcular Le.

Le  KL

Colunas com vários tipos de apoio

K=2

K=1

K=0,7

K=0,5

Le  KL

Colunas com vários tipos de apoio

 EI Pcr  2 KL 2

 cr 

 E 2

KL / r 

2

Le  KL

A Fórmula da Secante

A Fórmula da Secante

A Fórmula da Secante Essa é uma equação diferencial harmônica simples de segunda ordem com coeficientes constantes. Solução complementar: y1 = A sen px + B cos px Solução particular: y2 = – e Solução geral: y = A sen px + B cos px – e As duas constantes de integração devem ser determinadas pelas condições das extremidades do pilar. Portanto, fazendo: x = 0 e y = 0, temos; em (Eq. 04): B = e Fazendo a seguir: x = L e y = 0, temos: A

e1  cos pL  sen pL

ou ainda: A  e tg pL 2

Levamos os valores de A e B à (Eq. 04), escrevendo a equação da linha elástica:  pL  y  e  tg sen px  cos px  1 2  

Conhecendo a excentricidade e e a carga P, pode-se calcular a deflexão do pilar a partir dessa equação.

A Fórmula da Secante •

Devido a simetria da carga, ambas, deflexão máxima e tensão mínima, ocorrem no ponto médio da coluna.   P L    1 Quando x  L / 2, v  v máx e, por isso, vmáx  esec  EI 2    

* Observe que, se e tender a zero, vmáx tende a zero.

A Fórmula da Secante •

A Fórmula Secante denomina σmax = tensão elástica máxima na coluna P = carga vertical aplicada a coluna e = excentricidade da carga P

 máx

P  ec  L P    1  2 sec  A  r  2r EA 

c = distância do eixo neutro até a fibra externa da coluna A = área da seção transversal da coluna

L = comprimento não apoiado da coluna no plano de flexão. E = módulo de elasticidade para o material r = raio de giração

A Fórmula da Secante * A tensão máxima não varia linearmente com a carga P, de modo que não deve ser aplicado o princípio da superposição para a determinação das tensões provocadas por várias cargas aplicadas simultaneamente. Devemos primeiramente calcular a resultante dos carregamentos, para depois passarmos à aplicação da (Eq. 10) no cálculo das tensões. Pela mesma razão, qualquer coeficiente de segurança deve ser aplicado ao carregamento e não à tensão. Resolvendo para a relação P/A, tem-se:

P  A

 máx 1

 L ec  sec  2r r2 

P   EA 

Que permite descrever as curvas mostradas na figura

A Fórmula da Secante Exemplo 03 A coluna de aço W200 X 59 A-36 mostrada na Figura (a) está engastada na base e escorada no topo de modo que não pode deslocar-se, mas está

livre para girar em torno do eixo y–y. Além disso, ela pode oscilar para o lado no plano y–z. Determine a carga

excêntrica máxima que a coluna pode suportar antes de começar a flambar ou antes de o aço sofrer escoamento.

A Fórmula da Secante Exemplo 03

Flambagem Inelástica •

Colunas compridas e esbeltas se tornarão instáveis quando a tensão de

compressão permanecer elástica (instabilidade elástica). •

Colunas intermediárias falham devido a instabilidade inelástica.

•

E as colunas curtas, não se tornam instáveis.

•

O módulo de elasticidade para o material pode ser denominado como módulo tangente, Et.

 cr 

 2Et

 KL r2

Equação de Engesser

Flambagem Inelástica Exemplo 04 Uma haste maciça com 30 mm e 600 mm de comprimento é feita de um material que pode ser modelado pelo diagrama tensão-deformação mostrado na figura ao lado. Se for usada como uma coluna apoiada por

pinos, determine a carga crítica.

Flambagem Inelástica Solução:

I  A

 / 4 154  15 2

O raio da giração é

r

O índice de esbeltez é

KL 1600    80 r 7,5

Equação de Engesser denomina  cr 

Para tensão crítica, E 

 7,5 mm

 2 Et

KL r 

2

150  150 GPa portanto 0,001

Flambagem inelástica ocorre

 

 1,542 103 E t

 cr   pl  150 MPa

 cr  231.3 MPa

Flambagem Inelástica Solução: Pelo segundo segmento de reta,

Et 

 270 150   120 GPa  0,002  0,001

Aplicando o valor, nós temos

cr  1,54210 3 120103   185,1 MPa Como esse valor encontra-se entre os limites de 150 MPa e 270 MPa, ele é na verdade, a tensão crítica. A carga crítica na haste é

Projeto de colunas para cargas concêntricas  Colunas tem comprimentos diferentes:  faixas de colunas curtas, intermediárias e longas.

Projeto de colunas para cargas concêntricas • Resultados Experimentais Indicam: - Para Le/r “elevados”, cr segue a formula de Euler, dependende fortemente do Módulo de Elasticidade - Para Le/r “pequenos”, cr é fortemente influenciado pela tensão de escoamento, e, mas não por E; - Para Le/r “intermediários”, depende tanto de e, quanto de E.

cr

Projeto de colunas para cargas concêntricas Aço Estrutural American Inst. of Steel Construction

• Para Le/r > Cc

 2E  cr   Le / r  2 FS  1.92

 adm 

 cr FS

• Para Le/r < Cc  cr

2   Le / r    SY 1   2C c2  

 adm 

5 3 Le / r 1  Le / r     FS   3 8 Cc 8  Cc 

• Para Le/r = Cc  cr  12  Y

Cc2 

2 2 E Y

3

 cr FS

Projeto de colunas para cargas concêntricas Exemplo 05 Um elemento estrutural W250 x 149 de aço A- 36 é usado como uma coluna apoiada por pinos mostrada na figura ao lado. Usando as fórmulas de projeto do AISC, determine a maior carga que ele pode suportar com segurança. Eaço = 200 x 103 MPa, e = 250 MPa.

Projeto de colunas para cargas concêntricas Exemplo 06 A haste de aço na figura abaixo deve ser usada para suportar uma carga axial de 80 kN. Se Eaço = 210(103) MPa e σe = 360 MPa, determine o menor diâmetro da haste

permitido pela especificação AISC. A haste está engastada em ambas as extremidades.

Projeto de colunas para cargas concêntricas Alumínio Aluminum Association, Inc.

• Liga 6061-T6

Le/r ≤ 9,5: 9,5 < Le/r < 66:

 a dm  20 .2  0 .126  Le / r  ksi  139  0 .868 Le / r  MPa Le/r > 66:

 adm

51000 ksi 351  10 3 MPa   Le / r 2 Le / r 2

Projeto de colunas para cargas concêntricas Alumínio Aluminum Association, Inc.

• Liga 2014-T6 0 < Le/r ≤ 12: 12 < Le/r < 55:

 adm  30 .7  0 .23 L e / r  ksi   212  1 . 585 Le / r  MPa Le/r > 55:

 adm

54000 ksi 3 7 2  10 3 MPa    Le / r 2  L e / r 2

Projeto de colunas para cargas concêntricas Exemplo 07 Uma barra com 750 mm é usada para suportar uma carga de compressão axial de 60 kN (figura ao lado). A barra é apoiada por pinos nas extremidades e é

feita de liga de alumínio 2014-T6. Determine as dimensões da área da seção transversal, se a largura for duas vezes a espessura.

Projeto de colunas para cargas concêntricas Madeira National Forest Products Association (NFPA)

Projeto de colunas para cargas concêntricas Exemplo 08 Uma tábua com seção transversal de 150 mm por 40 mm é usada para suportar uma carga axial de 20 kN (Figura ao lado). Se considerarmos que ela é suportada por pinos no topo e na base, determine seu maior comprimento admissível L como especificado pela NFPA.

Projeto de colunas para cargas excêntricas • Uma carga excêntrica P pode ser substituída por uma carga centrada P e por um binário M = Pe. • Assim, considerando regime linear elástico, a tensão normal pode ser obtida pela sobreposição das componentes de tensão geradas pelo carga compressiva P e pelo momento fletor M, ou seja:

   centrada   flexão  max

P Mc   A I

Flexão composta

M = P e

Projeto de colunas para cargas excêntricas  O momento fletor M = Pe causado pela carga excêntrica deve ser levado em conta no projeto da coluna.  Tensão de compressão máxima é

 máx 

P Mc  A I

 Para um projeto conservador,  máx   adm  Quando projetamos uma coluna submetida a carga excêntrica, requer uma área para suportar a carga P Aa 

P

 a adm

σa = tensão admissível para carga axial

Projeto de colunas para cargas excêntricas Exemplo 08 A coluna de madeira na figura ao lado é composta por duas tábuas pregadas de modo que a seção transversal tem as dimensões mostradas na figura. Se a coluna estiver

engastada na base e livre no topo, determine a carga excêntrica P que pode ser suportada....