[11] Formeln Schwingungen PDF

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Prof. Dr. Reinhard Schmidt

06.01.09

FB Maschinenbau, FH Osnabrück

Formelsammlung - Schwingungen Federschaltungen in Reihe geschaltete Federn:

Parallel geschaltete Federn: C 1

C

F C

2

1 cges

cges=c1+c2

=

C

1

F

2

1 1 c1 * c2 + c ges = c1 c 2 bzw. c1 + c 2

Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen Differentialgleichung der harmonischen Schwingung (Der Koordinatenursprung befindet sich in der statischen Ruhelage des Systems): &x& + ω0 2 ⋅ x = 0

Geradlinige Bewegung:

&& + ω02 ⋅ ϕ = 0 ϕ

Drehbewegung:

Die Lösung der Differentialgleichung der harmonischen Schwingungen: v oder x( t ) = x 0 ⋅ cos ω0 ⋅ t + 0 sin ω0 ⋅ t ω0

x( t ) = x m ⋅ cos(ω0 ⋅ t + ϕ0 );

xm =

x 20 +

v 20 , ω02

tan ϕ 0 =

− v0 (Quadranten beachten), x 0 ⋅ ω0

oder

x(t ) = x m ⋅ sin(ω0 ⋅ t + ϕ0 );

xm =

x02 +

v 20 , ω02

tan ϕ0 =

x0 ⋅ω0 , v0

x 0 : Anfangsverschiebung, v 0 : Anfangsgeschwindigkeit x m : Amplitude der Schwingung

ϕ 0 : Nullphasenwinkel

ω 0: Eigenkreisfrequenz Schwingungsdauer: T =

2π ω0

c Ein-Massen-Schwinger:

;

Eigenfrequenz:

m

ω0 =

c m

f[Hz] =

ω0 1 = 2π T

-2-

ei(ω t+ϕ 0 ) = cos(ωt + ϕ0 ) + i * sin(ωt + ϕ0 )

Euler Relation:

Freie gedämpfte Schwingung Bewegungsgleichung (Grundform): 2 oder normiert: &x& + 2δ x& + ω0 x = 0

m&x& + kx& + cx = 0

k: Dämpferkonstante (Fd=k*v) δ=

c

k

c k , ω0 = 2*m m

Lösungsansatz: x (t ) = Ae st 2

Eigenwerte: s1,2

k c ⎛ k ⎞ =− ±i −⎜ ⎟ = −δ ± i ω d 2m m ⎝2 *m⎠

m

2

ωd =

c ⎛ k ⎞ 2 2 −⎜ ⎟ = ω0 − δ = ± Im(s1,2 ) Eigenfrequenz des gedämpften Systems m ⎝ 2m⎠

mit ω0 = δ=

c Eigenfrequenz des ungedämpften Systems m

k = −Re (s 1,2 ) Abklingkonstante der einhüllenden e-Funktion 2m

x( t) = e− δ t * xˆ * cos(ω dt + ϕ 0 ) ⎛x δ +v0⎞ ⎟⎟ xˆ = x + ⎜⎜ 0 ⎝ ωd ⎠ 2 0

2

mit

⎛ δ v0 ⎞ ⎟⎟ − , ϕ 0 = a tan⎜⎜ − ⎝ ωd ωd * x0 ⎠

x0: Anfangsauslenkung; v0: Anfangsgeschwindigkeit

Die wichtigsten Dämpfungsmaße: k

Dämpfungskonstante des viskosen Dämpfers ((Fd=k*v)

kkrit

kritische Dämpfung δ k k D= = dimensionsloses (Lehrsches) Dämpfungsmaß (Critical damping = k krit ω 0 2 c * m ratio) δ=

k = ω0 * D 2m

Abklingkonstante der einhüllenden e-Funktion

⎛ x ⎞ 2π Logarithmisches Dämpfungsmaß ϑ = ln⎜⎜ i ⎟⎟ = δ ω ⎝ x i+1 ⎠

-3-

Erregte Schwingungen Bewegungsgleichung: m&x& + kx& + cx = F (t)

c

k

xges = x hom + xsp x hom: Lösung der homogenen Dgl.(ohne Erregung) x sp:

Lösung der speziellen Dgl. (mit Erregung)

m f(t)

Harmonisch erregte Schwingungen Bewegungsgleichung: ˆ * cos(Ω * t ) m&x& + kx& + cx = F Ω: Erregungsfrequenz Lösungsansatz:

(

ˆ * ei Ωt x( t) = Re x~

)

für spezielle Lösung (Dauerlösung)

ˆ F 1 1 ~ xˆ = * = x st 2 m k 1− η + j * 2Dη c − Ω2 + i * Ω +1 c c

~x$ : komplexe Schwingungsamplitude x st = η=

Fˆ statische Auslenkung c

Ω ω 0 Frequenzverhältnis

x( t ) = xˆ * cos(Ωt + ϕ0 ) xˆ : Amplitude der Schwingung

ϕ 0 : Phasenverschiebung zwischen Schwingungsantwort und Erregung xˆ =

(~ˆx

Re

2

)

+ x~ˆ Im = 2

ˆ F * c

1

(1 − η )

2 2

= + 4D 2η 2

x st

(1 − η )

2 2

+ 4D 2 η2

( ) ⎞⎟ atan⎛ − 2Dη ⎞ = ⎟ ⎜ ⎝ 1 − η2 ⎠ ( ) ⎟⎠

⎛ Im ~$x ϕ 0 = a tan⎜ ⎜ Re x~$ ⎝

Energieverlust durch Dämpfung je Schwingungsperiode bei erregten Schwingungen Wd = π k Ω $x2...