2020 II CUV Ex3 Todos los temas resueltos-1 PDF

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! FACULTAD!DE!CIENCIAS!NATURALES!Y!MATEMÁTICAS! DEPARTAMENTO!DE!MATEMÁTICAS! ! AÑO:!

2020(

PERÍODO:!

MATERIA:!

Cálculo(de(una( variable(

SEGUNDO(TÉRMINO( Avilés(J.,(Baquerizo(G.,(Díaz(R.,(

PROFESOR:! García(E.,(Laveglia(F.,(Pastuizaca( M.,(Ramos(M.,(Ronquillo(C.( FECHA:! 05/febrero/2021(

EVALUACIÓN:!! TERCERA( !

Tema!1( ( 1. (10!PUNTOS)! ! Dada!la!función!𝒇: ℝ − −𝟏 ↦ ℝ!tal!que:! !

𝒇 𝒙 = !

𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝟑 ! 𝒙+𝟏

Aplicando! límites,!determine!el!VALOR! NUMÉRICO!de!la!constante!𝒂 ∈ ℝ,!para!que! la!ecuación!de!su!asíntota!oblicua!sea!𝒚 = 𝒙 + 𝟒.! ! Solución:! ( Cuando(una(función(de(variable(real0𝑓(tiene(ASÍNTOTA(OBLICUA(𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏0 𝑚 ≠ 0 ,( se(cumple(que:( ( 𝑓 𝑥 lim = 𝑚00000 ∧ 000000 lim 𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥 = 𝑏( ; 0→0= ; 0→0= 𝑥 ( De(la(segunda(ecuación(y(considerando(los(datos(proporcionados(en(este(problema,( que(𝑚 = 1(y(𝑏 = 4(para(su(asíntota(oblicua,(se(plantea(y(resuelve(el(límite(teniendo( en(cuenta(la(tendencia(a(más(infinito:(( ( 𝑥 B + 2𝑎𝑥 + 3 − 𝑥 B − 𝑥 𝑥 B + 2𝑎𝑥 + 3 − 𝑥 = 400000 → 00000 lim = 4( lim ;0→0A= ;0→0A= 𝑥+1 𝑥+1 ( G

lim

;0→0A=

3 3 2𝑎 − 1 + 2𝑎 − 1 + 2𝑎 − 1 𝑥 + 3 ∞ = 4( 𝑥 = 4000 → 0000 = 4000 → 000 lim 1 1 ;0→0A= 𝑥+1 1+ 1+ 𝑥 ∞

( (

( Elaborado(por(@gbaqueri(

(

2𝑎 − 1 = 4(

G

5 0∴ 𝑎 = 0 ( 2 Página(1(de(47(

2. (5!PUNTOS)! ! Dada!la!función!𝒇: ℝ − 𝟐 ↦ ℝ!tal!que:! ! 𝒙𝟐 + 𝟑𝒂𝒙 + 𝟏 𝒇 𝒙 = ! 𝒙−𝟐 ! Aplicando!límites,!determine!el!VALOR!NUMÉRICO!de!la!constante!𝒂 ∈ ℝ,!para!que! la!ecuación!de!su!asíntota!oblicua!sea!𝒚 = 𝒙 + 𝟕.! ( Solución:! ( Cuando(una(función(de(variable(real0𝑓(tiene(ASÍNTOTA(OBLICUA(𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏0 𝑚 ≠ 0 ,( se(cumple(que:( ( 𝑓 𝑥 lim = 𝑚00000 ∧ 000000 lim 𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥 = 𝑏( ; 0→0= 𝑥 ; 0→0= ( De(la(segunda(ecuación(y(considerando(los(datos(proporcionados(en(este(problema,( que(𝑚 = 1(y(𝑏 = 7(para(su(asíntota(oblicua,(se(plantea(y(resuelve(el(límite(teniendo( en(cuenta(la(tendencia(a(más(infinito:(( ( 𝑥 B + 3𝑎𝑥 + 1 − 𝑥 B + 2𝑥 𝑥 B + 3𝑎𝑥 + 1 lim − 𝑥 = 700000 → 00000 lim = 7( ;0→0A= ;0→0A= 𝑥−2 𝑥−2 ( G

lim

;0→0A=

1 1 3𝑎 + 2 + ∞ 3𝑎 + 2 + 𝑥 3𝑎 + 2 𝑥 + 1 = 7000 → 0000 = 7( = 7000 → 000 lim 2 2 ;0→0A= 𝑥−2 1−∞ 1− 𝑥

( (

G

3𝑎 + 2 = 7( 5 0∴ 𝑎 = 0 ( 3

( 3. (10!PUNTOS)! ! Dada!la!función!𝒇: ℝ − −𝟏 ↦ ℝ!tal!que:! ! 𝒙𝟐 + 𝟒𝒂𝒙 + 𝟑 𝒇 𝒙 = ! 𝒙+𝟏 ! Aplicando!límites,!determine!el!VALOR!NUMÉRICO!de!la!constante!𝒂 ∈ ℝ,!para!que! la!ecuación!de!su!asíntota!oblicua!sea!𝒚 = 𝒙 + 𝟓.! ( ! Elaborado(por(@gbaqueri(

(

Página(2(de(47(

Solución:! (

Cuando(una(función(de(variable(real0𝑓(tiene(ASÍNTOTA(OBLICUA(𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏0 𝑚 ≠ 0 ,( se(cumple(que:( (

𝑓 𝑥 = 𝑚00000 ∧ 000000 lim 𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥 = 𝑏( ; 0→0= ; 0→0= 𝑥 lim

(

De(la(segunda(ecuación(y(considerando(los(datos(proporcionados(en(este(problema,( que(𝑚 = 1(y(𝑏 = 5(para(su(asíntota(oblicua,(se(plantea(y(resuelve(el(límite(teniendo( en(cuenta(la(tendencia(a(más(infinito:(( (

𝑥 B + 4𝑎𝑥 + 3 𝑥 B + 4𝑎𝑥 + 3 − 𝑥 B − 𝑥 − 𝑥 = 50000 → 0000 lim = 5( ;0→0A= 𝑥+1 𝑥+1

lim

;0→0A=

(

(

lim

;0→0A=

G

4𝑎 − 1 𝑥 + 3 = 5000 → 000 lim ;0→0A= 𝑥+1

(

3 3 4𝑎 − 1 + 𝑥 = 5000 → 0000 4𝑎 − 1 + ∞ = 5( 1 1 1+∞ 1+ 𝑥

4𝑎 − 1 = 5(

(

G

3 0∴ 𝑎 = 0 ( 2

(

4. (10!PUNTOS)! !

Dada!la!función!𝒇: ℝ − 𝟖 ↦ ℝ!tal!que:! !

𝒇 𝒙 = !

𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 + 𝟕 ! 𝒙−𝟖

Aplicando!límites,!determine!el!VALOR!NUMÉRICO!de!la!constante!𝒂 ∈ ℝ,!para!que! la!ecuación!de!su!asíntota!oblicua!sea!𝒚 = 𝒙 + 𝟑.! !

Solución:! (

Cuando(una(función(de(variable(real0𝑓(tiene(ASÍNTOTA(OBLICUA(𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏0 𝑚 ≠ 0 ,( se(cumple(que:( (

𝑓 𝑥 = 𝑚00000 ∧ 000000 lim 𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥 = 𝑏( ; 0→0= ; 0→0= 𝑥 lim

(

De(la(segunda(ecuación(y(considerando(los(datos(proporcionados(en(este(problema,( que(𝑚 = 1(y(𝑏 = 3(para(su(asíntota(oblicua,(se(plantea(y(resuelve(el(límite(teniendo( en(cuenta(la(tendencia(a(más(infinito:(( ( 𝑥 B + 2𝑎𝑥 + 7 𝑥 B + 2𝑎𝑥 + 7 − 𝑥 B + 8𝑥 lim − 𝑥 = 30000 → 0000 lim = 3( ;0→0A= ;0→0A= 𝑥−8 𝑥−8 Elaborado(por(@gbaqueri(

(

Página(3(de(47(

( ( lim

;0→0A=

G

2𝑎 + 8 𝑥 + 7 = 3000 → 000 lim 𝑥−8

;0→0A=

(

7 ∞ 2𝑎 + 8 + 𝑥 7 2𝑎 + 8 8+ = 3( 8 1 − 1− = 3000 → 0000 ∞

2𝑎 + 8 = 3(

(

𝑥

G

5 0∴ 𝑎 = − 0 ( 2

( 5. (10!PUNTOS)! ! Dada!la!función!𝒇: ℝ − 𝟒 !tal!que:! !

𝒙𝟐 + 𝟑𝒂𝒙 − 𝟑 ! 𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟒

!

Aplicando!límites,!determine!el!VALOR!NUMÉRICO!de!la!constante!𝒂 ∈ ℝ,!para!que! la!ecuación!de!su!asíntota!oblicua!sea!𝒚 = 𝒙 + 𝟐.! ! Solución:! (

Cuando(una(función(de(variable(real0𝑓(tiene(ASÍNTOTA(OBLICUA(𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏0 𝑚 ≠ 0 ,( se(cumple(que:( (

𝑓 𝑥 = 𝑚00000 ∧ 000000 lim 𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥 = 𝑏( ; 0→0= ; 0→0= 𝑥 lim

(

De(la(segunda(ecuación(y(considerando(los(datos(proporcionados(en(este(problema,( que(𝑚 = 1(y(𝑏 = 2(para(su(asíntota(oblicua,(se(plantea(y(resuelve(el(límite(teniendo( en(cuenta(la(tendencia(a(más(infinito:(( ( 𝑥 B + 3𝑎𝑥 − 3 − 𝑥 B + 4𝑥 𝑥 B + 3𝑎𝑥 − 3 lim − 𝑥 = 20000 → 0000 lim = 2( ;0→0A= ;0→0A= 𝑥−4 𝑥−4 ( ( G

lim

;0→0A=

3𝑎 + 4 𝑥 − 3 = 2000 → 000 lim ;0→0A= 𝑥−4

( (

( Elaborado(por(@gbaqueri(

(

3 3 3𝑎 + 4 − 𝑥 = 2000 → 0000 3𝑎 + 4 − ∞ = 2( 4 4 1−∞ 1 −𝑥

3𝑎 + 4 = 2(

G

2 0∴ 𝑎 = − 0 ( 3

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! FACULTAD!DE!CIENCIAS!NATURALES!Y!MATEMÁTICAS! DEPARTAMENTO!DE!MATEMÁTICAS! ! AÑO:!

2020(

PERÍODO:!

MATERIA:!

Cálculo(de(una( variable(

Avilés(J.,(Baquerizo(G.,(Díaz(R.,( PROFESOR:! García(E.,(Laveglia(F.,(Pastuizaca( M.,(Ramos(M.,(Ronquillo(C.(

EVALUACIÓN:!! TERCERA(

FECHA:!

SEGUNDO(TÉRMINO(

05/febrero/2021(

! Tema!2( ( 1. (10!PUNTOS)! ! Dada!la!curva!𝑪!en!coordenadas!paramétricas:! !

𝒙 𝒕 = 𝝅𝟐 − 𝟔𝒕 00; 00𝒕 ∈ ℝ! 𝑪:000 0 𝒚 𝒕 = 𝒕 + 𝒆T𝒌𝒕

! Determine!el!VALOR!NUMÉRICO!de!la!constante!𝒌 ∈ ℝA !para!que!se!cumpla!que:!

!

𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒙𝟐

𝒕X𝟎

=

𝟏 ! 𝟐𝟓

! Solución:! ( Se(obtiene(la(primera(derivada:( ( 𝑑𝑦 𝑑𝑦 1 − 𝑘𝑒 T^_ 1 = 𝑑𝑡 = 1 − 𝑘𝑒 T^_ ( =− 𝑑𝑥 𝑑𝑥 6 0−6 𝑑𝑡 ( Se(obtiene(la(segunda(derivada:( ( 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑦 1 𝑑𝑥 − 0 + 𝑘 B 𝑒 T^_ 𝑑 B 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 1 B T^_ 𝑑𝑡 6 = = 𝑘 𝑒 ( = = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 36 0−6 𝑑𝑥 B 𝑑𝑡 ( Se(evalúa(la(segunda(derivada:( ( 1 1 B T^_ 1 𝑑B 𝑦 = 𝑘B = ( = 𝑘 𝑒 B 𝑑𝑥 _XG 36 36 25 _XG ( 36 6 𝑘B = 000 → 000 𝑘 = ( 25 5 Elaborado(por(@gbaqueri(

(

Página(5(de(47(

( Observe(que(se(ha(especificado(que(𝑘 ∈ ℝA :( ( 6 ∴𝑘= ( 5 ( 2. (10!PUNTOS)! ! Dada!la!curva!𝑪!en!coordenadas!paramétricas:! ! 𝟑 𝒙 𝒕 = 𝟐 − 𝟒𝒕 00; 00𝒕 ∈ ℝ! 𝑪:000 0 𝒚 𝒕 = 𝒕 + 𝒌𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒕 ! Determine!el!VALOR!NUMÉRICO!de!la!constante!𝒌 ∈ ℝA !para!que!se!cumpla!que:! ! 𝟏 𝒅𝟐 𝒚 =− ! 𝟐 𝒅𝒙 𝒕X𝟎 𝟗 ( Solución:! ( Se(obtiene(la(primera(derivada:( ( 𝑑𝑦 𝑑𝑦 1 − 2𝑘 B 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 1 1 − 2𝑘 B 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 ( =− = 𝑑𝑡 = 4 0−4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ( Se(obtiene(la(segunda(derivada:( ( 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 − 4 0 − 4𝑘 B 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 1 𝑑 B 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = − 𝑘 B 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 ( = = = B 𝑑𝑥 0−4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 4 𝑑𝑡 ( Se(evalúa(la(segunda(derivada:( ( 𝑑B 𝑦 1 1 1 = − 𝑘 B 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 = − 𝑘B = − ( B 𝑑𝑥 _XG 4 4 9 _XG ( 4 2 𝑘 B = 000 → 000 𝑘 = ( 9 3 ( Observe(que(se(ha(especificado(que(𝑘 ∈ ℝA :( ( 2 ∴𝑘= ( 3 ( Elaborado(por(@gbaqueri(

(

Página(6(de(47(

3. (10!PUNTOS)! ! Dada!la!curva!𝑪!en!coordenadas!paramétricas:! ! 𝒙 𝒕 = 𝟓 − 𝟓𝒕 00; 00𝒕 ∈ ℝ! 𝑪:000 0 𝒚 𝒕 = 𝒕 + 𝒌𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒕 ! Determine!el!VALOR!NUMÉRICO!de!la!constante!𝒌 ∈ ℝA !para!que!se!cumpla!que:! ! 𝟏 𝒅𝟐 𝒚 = − ! 𝒅𝒙𝟐 𝒕X𝝅 𝟔 𝟏𝟔 ( Solución:! ( Se(obtiene(la(primera(derivada:( ( 𝑑𝑦 1 + 3𝑘 B 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 1 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = =− = 1 + 3𝑘 B 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 ( 0−5 𝑑𝑥 𝑑𝑥 5 𝑑𝑡 ( Se(obtiene(la(segunda(derivada:( ( 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑦 1 𝑑𝑥 − 5 0 − 9𝑘 B 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑑 B 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 9 B 𝑑𝑡 = 𝑘 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 ( = = =− B 𝑑𝑥 𝑑𝑥 25 𝑑𝑥 0−5 𝑑𝑡 ( Se(evalúa(la(segunda(derivada:( ( 9 B 9 B 1 𝑑B 𝑦 =− =− 𝑘 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 𝑘 =− ( B 𝑑𝑥 _Xk l 25 25 16 _Xk l (

𝑘B =

!

( Observe(que(se(ha(especificado(que(𝑘 ∈ ℝA :( ( 5 ∴𝑘= ( 12 ( !

Elaborado(por(@gbaqueri(

(

25 5 000 → 000 𝑘 = ( 144 12

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4. (10!PUNTOS)! ! Dada!la!curva!𝑪!en!coordenadas!paramétricas:! ! 𝒙 𝒕 = 𝒆𝟒 − 𝟑𝒕 00; 00𝒕 ∈ ℝ! 𝑪:000 0 𝒚 𝒕 = 𝒕𝟐 − 𝒆T𝒌𝒕 ! Determine!el!VALOR!NUMÉRICO!de!la!constante!𝒌 ∈ ℝA !para!que!se!cumpla!que:! ! 𝒅𝟐 𝒚 = −𝟏! 𝒅𝒙𝟐 𝒕X𝟎 ( Solución:! ( Se(obtiene(la(primera(derivada:( ( 𝑑𝑦 𝑑𝑦 2𝑡 + 𝑘𝑒 T^_ 1 = 𝑑𝑡 = 2𝑡 + 𝑘𝑒 T^_ ( =− 𝑑𝑥 𝑑𝑥 3 0−3 𝑑𝑡 ( Se(obtiene(la(segunda(derivada:( ( 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑦 1 𝑑𝑥 − 2 − 𝑘 B 𝑒 T^_ 1 𝑑 B 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 3 = 2 − 𝑘 B 𝑒 T^_ ( = = B 𝑑𝑥 𝑑𝑥 9 0−3 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ( Se(evalúa(la(segunda(derivada:( ( 𝑑B 𝑦 1 2 − 𝑘B B T^_ = −1( = 2−𝑘 𝑒 = 9 𝑑𝑥 B _XG 9 _XG ( 2 − 𝑘 B = −9000 → 000 𝑘 B = 11000 → 000 𝑘 = 11( ( Observe(que(se(ha(especificado(que(𝑘 ∈ ℝA :( ( ∴ 𝑘 = 11 (

( !

!

Elaborado(por(@gbaqueri(

(

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5. (10!PUNTOS)! ! Dada!la!curva!𝑪!en!coordenadas!paramétricas:! ! 𝒙 𝒕 = 𝟑 − 𝟒𝒕 00; 00𝒕 ∈ ℝ! 𝑪:000 0 𝒚 𝒕 = 𝒕 − 𝒌𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 ! Determine!el!VALOR!NUMÉRICO!de!la!constante!𝒌 ∈ ℝA !para!que!se!cumpla!que:! ! 𝟏 𝒅𝟐 𝒚 = − ! 𝒅𝒙𝟐 𝒕X𝝅 𝟒 ( Solución:! ( Se(obtiene(la(primera(derivada:( ( 𝑑𝑦 𝑑𝑦 1 + 3𝑘 B 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 1 = 𝑑𝑡 = 1 + 3𝑘 B 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 ( =− 𝑑𝑥 𝑑𝑥 4 0−4 𝑑𝑡 ( Se(obtiene(la(segunda(derivada:( ( 𝑑𝑦 𝑑 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 − 4 0 + 9𝑘 B 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 𝑑 B 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 9 B 𝑑𝑡 = 𝑘 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 ( = = = B 𝑑𝑥 𝑑𝑥 16 0−4 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ( Se(evalúa(la(segunda(derivada:( ( 𝑑B 𝑦 9 B 9 B 1 ( = 𝑘 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 = − = − 𝑘 4 𝑑𝑥 B _Xk 16 16 _Xk ( 4 2 𝑘 B = 000 → 000 𝑘 = ( 9 3 ( Observe(que(se(ha(especificado(que(𝑘 ∈ ℝA :( ( 2 ∴𝑘= ( 3 ( ( (

Elaborado(por(@gbaqueri(

(

Página(9(de(47(

! FACULTAD!DE!CIENCIAS!NATURALES!Y!MATEMÁTICAS! DEPARTAMENTO!DE!MATEMÁTICAS! ! AÑO:!

2020(

PERÍODO:!

MATERIA:!

Cálculo(de(una(variable(

PROFESOR:!

EVALUACIÓN:!! TERCERA(

FECHA:!

SEGUNDO(TÉRMINO( Avilés(J.,(Baquerizo(G.,(Díaz(R.,( García(E.,(Laveglia(F.,(Pastuizaca( M.,(Ramos(M.,(Ronquillo(C.( 05/febrero/2021(

! Tema!3( ( 1. (14!PUNTOS)!! !

El!perímetro!de!un!rectángulo!es!igual!a!𝟏𝟐0 𝒄𝒎 .!Determine!las!dimensiones!del! rectángulo!que,!al!girar!alrededor!de!uno!de!sus!lados,!genera!un!cilindro!recto!de! volumen!máximo.! ! Solución:! (

Sean( 𝑏(y(ℎ(las(longitudes(de(los(lados(del(rectángulo,(se(representa(gráficamente( los(datos(proporcionados:( 𝑏! 𝑏! ( ( ( ( ℎ! ℎ! ⇒( ( ( ( El(perímetro(𝑃(del(rectángulo(es:( ( 𝑃 = 2𝑏 + 2ℎ = 12000 → 000𝑏 + ℎ = 6( ( Por(lo(que:( ( ℎ = 6 − 𝑏( ( La(expresión(para(el(volumen(𝑉 (del(cilindro(recto(generado(viene(dada(por:( ( 𝑉 𝑏, ℎ = 𝜋𝑏B ℎ( ( Se(lo(expresa(en(términos(de(una(sola(variable:( ( 𝑉 𝑏 = 𝜋𝑏 B 6 − 𝑏 000; 0000 < 𝑏 < 6( ( Al(derivar(la(función(e(igualar(a(cero,(para(determinar(los(puntos(críticos,(se(tiene:( ( 𝑉 t 𝑏 = 𝜋 𝑏 B −1 + 2𝑏 6 − 𝑏 = 𝜋 12𝑏 − 3𝑏B ( Elaborado(por(@gbaqueri(

(

Página(10(de(47(

(

𝑉 t 𝑏 = 0000000 → 00003𝜋𝑏 4 − 𝑏 = 0000000 → 00004 − 𝑏 = 0000000 → 0000𝑏 = 4(

( Se(deriva(por(segunda(vez(para(identificar(qué(tipo(de(valor(extremo(se(presenta(en( el(punto(estacionario(previamente(obtenido:( ( 𝑉 tt 𝑏 = 𝜋 12 − 6𝑏 ( ( 𝑉 tt 4 = 𝜋 12 − 6 4 < 0000 →0000Máximo( ( Se(reemplaza(el(valor(obtenido(para(determinar(la(longitud(ℎ:( ( ℎ = 6 − 4 = 2( ( Las(longitudes(de(los(lados(del(rectángulo(son,(respectivamente:( ( 0𝑏 = 40 𝑐𝑚 0 0000 ∧ 0000 0ℎ = 20 𝑐𝑚 0 ( ( 2. (14!PUNTOS)! ! Un!tren!puede!operar!con!un!mínimo!de!𝟐𝟎𝟎!pasajeros.!La!tarifa!será!de!$0𝟖!y!se! reducirá!en! 𝟏0𝒄𝒆𝒏𝒕𝒂𝒗𝒐! por!cada! persona!que! supere!este! requisito!mínimo! de! 𝟐𝟎𝟎.! Determine! la! cantidad!total! de! pasajeros! que! deben! viajar! y! la! tarifa! que! deben!pagar!para!obtener!los!máximos!ingresos.! ! Solución:! ! Sea( 𝑥 ( la( cantidad( de( pasajeros( adicionales( al( mínimo( requerido( de( 200( que( son( necesarios(para(obtener(los(máximos(ingresos,(entonces:( • La(cantidad(total(de(pasajeros(sería( 200 + 𝑥 .( • El(número(de(disminuciones(de(( 10𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜((o(($0.01((en(la(tarifa(nos(daría( la(tarifa(resultante(de($0 8 − 0.01𝑥 .( ( La(función(de(ingresos(𝐼(en(términos(de(una(sola(variable(sería:( (

( (

𝐼 𝑥 =

{|}_~•|•0_€_|•0•‚ ƒ|„|…‚†€„

200 + 𝑥

ˆ|†~‰|0ƒ€† ƒ|„|…‚†€

∙ 00 8 − 0.01𝑥

(

𝐼 𝑥 = 1600 − 2𝑥 + 8𝑥 − 0.01𝑥 B ( 𝐼 𝑥 = 1600 + 6𝑥 − 0.01𝑥 B 000; 0000 < 𝑥 < 800(

( Se(obtiene(la(primera(derivada(de(la(función(de(ingresos(y(se(iguala(a(0(para(obtener( el(punto(crítico(estacionario:( (

( Elaborado(por(@gbaqueri(

(

𝐼t 𝑥 = 6 − 0.02𝑥( 6 − 0.02𝑥 = 0000 → 00000.02𝑥 = 6000 → 000𝑥 = 300( Página(11(de(47(

Se(obtiene(la(segunda(derivada(de(la(función(de(ingresos(y(se(verifica(el(signo(para( determinar( qué( tipo( de( valor( extremo( se( presenta( en( el( punto( estacionario( previamente(obtenido:( ( 𝐼tt 𝑥 = −0.02000 → 0000 𝐼tt 300 < 0000 →0000Máximo( ( Por( lo( que,( la( cantidad( total( de( pasajeros( 𝐶 ( que( permiten( los( máximos( ingresos( sería:( (

𝐶 = 200 + 300(

(

0𝐶 = 5000𝑝𝑎𝑠𝑎𝑗𝑒𝑟𝑜𝑠0 (

( Mientras(que(la(tarifa(resultante(𝑇 (sería:( (

(

( 3. (14!PUNTOS)!

𝑇 = 8 − 0.01 300 = 8 − 3(

0𝑇 = 50 $ 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑗𝑒𝑟𝑜 0 (

!

Se! quiere! elaborar! un! recipiente! en! forma! de! cilindro! recto! con! tapa,! cuyo! volumen! sea! 𝟓𝟒𝝅0 𝒎𝟑 .! Calcule! las! dimensiones! del! cilindro! que! requiere! la! menor!cantidad!de!material!en!su!elaboración.! ! Solución:! !

Sean( 𝑟(y( ℎ(las( longitudes(del( radio(de( la( base(y( de(la( altura(del( cilindro(recto,( se( representa(gráficamente(los(datos(proporcionados:( 𝑟! ( ( ( ( ℎ! ( ( ( ( El(volumen(𝑉 (del(cilindro(es:( (

𝑉 = 𝜋𝑟 B ℎ = 54𝜋(

( Por(lo(que:( (

ℎ=

54 ( 𝑟B

( La(expresión(para(el(área(𝐴(de(la(superficie(total(del(cilindro(recto(viene(dada(por:( (

( Elaborado(por(@gbaqueri(

(

𝐴 𝑟, ℎ =

Á†‚| •‚ 0•|„0•€„ _|ƒ|„0‘~†‘’•|†‚„

2 𝜋𝑟 B

Á†‚| •‚0•|0„’ƒ‚†‰~‘~‚ •|_‚†|•

+

2𝜋𝑟ℎ

( Página(12(de(47(

Se(la(expresa(en(términos(de(una(sola(variable:( (

𝐴 𝑟 = 2𝜋𝑟 B + (

108𝜋 000; 000𝑟 > 0( 𝑟

Al(derivar(la(función,(para(determinar(los(puntos(críticos,(se(tiene:( (

𝐴t 𝑟 = 4𝜋𝑟 − (

(

108𝜋 ( 𝑟B

𝐴t 𝑟 = 0000000 → 00004𝜋𝑟 ” − 108𝜋 = 0000000 → 0000 𝑟 ” = 27000000 → 0000𝑟 = 3(

Se(deriva(por(segunda(vez(para(identificar(qué(tipo(de(valor(extremo(se(presenta(en( el(punto(estacionario(previamente(obtenido:( (

𝐴tt 𝑟 = 4𝜋 + (

(

𝐴tt 2 = 4𝜋 +

B•lk B–

216𝜋 ( 𝑟”

> 0000 →0000Mínimo(

Se(reemplaza(el(valor(obtenido(para(determinar(la(longitud(ℎ(de(la(altura:(

(

ℎ= (

54 = 6( 3B

Las(longitudes(𝑟(del(radio(y(ℎ(de(la(altura(del(cilindro(recto(son,(respectivamente:( (

(

0𝑟 = 30 𝑚 0 0000 ∧0000 0ℎ = 60 𝑚 0 (

4. (14!PUNTOS)! !

Una! finca! tiene! 𝟓𝟎! árboles! y! cada! uno! produce! 𝟖𝟎𝟎! mangos.! Por! cada! árbol! adicional!plantado!en!la!finca,!la!producción!por!árbol!se!reduce!en!𝟏𝟎!mangos.! Determine!la!cantidad!de! árboles!que!deben!agregarse!a!la!finca! existente!para! maximizar! la! producción! total! y! especifique! la! cantidad! de! mangos! que! se! producirían.! !

Solución:! !

Sea( 𝑥 ( la( cantidad( adicional( de( árboles( que( se( requieren( para( obtener( la( máxima( producción,(entonces:( • La(cantidad(total(de(árboles(sería( 50 + 𝑥 .( • La(nueva(cantidad(de(mangos(por(cada(árbol(sería( 800 − 10𝑥 .(

(

La(función(de(producción(𝑃(en(términos(de(una(sola(variable(sería:( (

( (

Elaborado(por(@gbaqueri(

(

𝑃 𝑥 =

{|}_~•|•0_€_|•0•‚ ᆘ€•‚„

50 + 𝑥

™|}š€„0ƒ€† ᆘ€•

∙ 00 800 − 10𝑥

(

𝑃 𝑥 = 400000 − 500𝑥 + 800𝑥 − 10𝑥 B (

𝑃 𝑥 = 400000 + 300𝑥 − 10𝑥 B 000; 0000 < 𝑥 < 80( Página(13(de(47(

Se( obtiene( la( primera( derivada( de( la( función( de( producción( y( se( iguala( a( 0( para( obtener(el(punto(crítico(estacionario:( ( 𝑃t 𝑥 = 300 − 20𝑥( ( 300 − 20𝑥 = 0000 → 000020𝑥 = 300000 → 000𝑥 = 15( ( Se(obtiene(la(segunda(derivada(de(la(función(de(producción(y(se(verifica(el(signo:( ( 𝑃tt 𝑥 = −20000 → 0000 𝑃tt 15 < 0000 → 0000𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜( ( Por( lo( que,( la( cantidad( adicional( de( árboles( 𝑥 ( y( la( cantidad( total( de( árboles( 𝐶0 𝐶 = 50 + 𝑥 (que(permiten(la(máxima(producción(serían,(respectivamente:( (

𝑥 = 150á𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠0000 ∧ 0000𝐶 = 650á𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠0 ( ( Mientras(que(la(cantidad(de(mangos(𝑀(por(cada(árbol(sería:( ( 𝑀 = 800 − 10 15 = 800 − 150( (

0𝑀 = 6500 𝑚𝑎𝑛𝑔𝑜𝑠 á𝑟𝑏𝑜𝑙 0 ( ( 5. (14!PUNTOS)!! ! Si! la! superficie! de! un! rectángulo! tiene! un! área! igual! a! 𝟏0 𝒑𝒊𝒆𝟐 ,! calcule! las! longitudes! de! sus! lados! para! que! la! medida! de! la! distancia! desde! uno! de! sus! vértices!al!punto!medio!de!un!lado!no!adyacente!sea!mínima.! ! Solución:! ( Sean( 𝑏(y(ℎ(las(longitudes(de(los(lados(del(rectángulo,(se(representa(gráficamente( los(datos(proporcionados:(( ( 𝑏 ⁄2! 𝑏 ⁄2 ! ( ( ( ℎ! 𝑑! ( ( ( El(área(𝐴(de(la(superficie(rectangular(es:( ( 𝐴 = 𝑏ℎ = 1( ( Por(lo(que:( ( 1 ℎ= ( 𝑏 Elaborado(por(@gbaqueri(

(

Página(14(de(47(

La(expresión(para(calcular(la(medida( 𝑑(de(la(distancia(especificada(en(el(problema( viene(dada(por:( ( 𝑏 2

𝑑 𝑏, ℎ =

B

+ ℎB (

( Se(la(expresa(en(términos(de(una(sola(variable:( ( 𝑑 𝑏 = (

𝑏 2

B

1 + 𝑏

𝑑 𝑏 =

B

=

1 𝑏B + B= 4 𝑏

𝑏¢ + 4 ( 4𝑏B

𝑏¢ + 4 000; 000𝑏 > 0( 2𝑏

( Al(derivar(la(función,(para(determinar(los(puntos(críticos(estacionarios,(se(tiene:( ( 1 1 4𝑏¢ ” ¢+4 2 2𝑏 2 ∙ ∙ 4𝑏 − 𝑏 − 2 𝑏¢ + 4 ¢+4 ¢+4 𝑏 𝑏 𝑑t 𝑏 = = ( 4𝑏B 4𝑏B ( 4𝑏¢ − 2 𝑏 ¢ + 4 𝑏¢ − 4 2𝑏¢ − 8 𝑏¢ + 4 = 𝑑t 𝑏 = ( = 4𝑏B 4𝑏B 𝑏 ¢ + 4 2𝑏B 𝑏 ¢ + 4 ( £ 𝑑 t 𝑏 = 00000000 → 00000 𝑏¢ − 4 = 00000000 → 00000𝑏 = 2B 0000000 → 00000𝑏 = 2( ( Se(deriva(por(segunda(vez(para(identificar(qué(tipo(de(punto(estacionario(es:( ( 1 ∙ 4𝑏” + 2𝑏 𝑏 ¢ + 4 2𝑏B 𝑏 ¢ + 4 4𝑏” − 𝑏 ¢ − 4 2 𝑏B ∙ ¢ 2 𝑏 +4 tt ( 𝑑 𝑏 = 4𝑏¢ 𝑏 ¢ + 4 ( 𝑑 tt

2 =

B B

¤ ¢ B– TG

¢ ¢ ¤

> 0000 →0000Mínimo(

( Se(reemplaza(el(valor(obtenido(para(determinar(el(valor(de(la(longitud(ℎ:( ( 1 2 ℎ= = ( 2 2 ( Las(longitudes(de(los(lados(del(rectángulo(son,(respectivamente:( ( 0𝑏 = 20 𝑝𝑖𝑒𝑠 0 0000 ∧0000 0ℎ = ( Elaborado(por(@gbaqueri(

(

2 0 𝑝𝑖𝑒𝑠 0 ( 2 Página(15(de(47(

! FACULTAD!DE!CIENCIAS!NATURALES!Y!MATEMÁTICAS! DEPARTAMENTO!DE!MATEMÁTICAS! ! AÑO:!

2020(

PERÍODO:!

MATERIA:!

Cálculo(de(una( variable(

Avilés(J.,(Baquerizo(G.,(Díaz(R.,( PROFESOR:! García(E.,(Laveglia(F.,(Pastuizaca( M.,(Ramos(M.,(Ronquillo(C.(

EVALUACIÓN:!! TERCERA(

FECHA:!

SEGUNDO(TÉRMINO(

05/febrero/2021(

!

Tema!4( ( 1. (16!PUNTOS)! ! A!partir!de!las!condiciones!dadas!para!una!función!𝒇0de!variable!real:! !

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) !

𝒅𝒐𝒎0𝒇 = ℝ! 𝒇!es!continua!∀𝒙 ∈ 𝒅𝒐𝒎0𝒇! 𝒇 𝒙 = 𝒇(−𝒙)! 𝒇t 𝟑 =...