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Faculdade FORTIUM Departamento de Administração - Disciplina: Teoria dos Jogos 1 Prof.: Ailton Guimarães

NOTA DE AULA 4 O que veremos nesta Nota de Aula: - Informações e Jogos. - Estratégica dominante. - Estratégia dominada. - Equilíbrio de Nash. - Estratégia Maxmin. - Valor esperado. - Estratégias mistas.

Alguns negócios fracassam simplesmente porque seus gerentes não avaliam adequadamente o conjunto de informações disponiveis no momento de tomar uma decisão. 1. Jogos segundo as informações Nas situações de interação estratégica estudadas com a utilização da Teoria dos Jogos, as informações disponíveis são de extrema importância para os jogadores. Quando um jogador tem conhecimento das jogadas realizadas pelos seus oponentes, estamos diante de um jogo de informação perfeita. Isto facilita sua escolha, pois permite avaliar com maior precisão o resultado do jogo. Entretanto, nem sempre as jogadas escolhidas são previamente reveladas. Por vezes, o jogador conhece apenas o conjunto de estratégias do seu adversário, mas não as jogadas realizadas. Nestes casos temos os jogos de informação imperfeita. Um jogo também pode ser classificado de acordo com o conhecimento ou desconhecimento que um jogador tem a respeito das possíveis recompensas dos seus adversários. Quando os agentes envolvidos em uma situação de interação estratégica conhecem as possíveis recompensas (payoffs) dos seus oponentes temos um jogo de informação completa. Em outras palavras, um jogo é classificado como de informação completa quando os possíveis ganhos dos jogadores são de conhecimento comum. Entretanto, se os jogadores desconhecem os payoffs uns dos outros, temos um jogo de informação incompleta. 1

Mestre em Economia de Empresas, pela UCB - Universidade Católica de Brasília; Especialista em Finanças, pela UFSC - Universidade Federal de Santa Catarina; Especialista em Controladoria, pela Faculdade Tibiriçá/SP. Servidor do Banco Central do Brasil.

A quantidade de informações detida por um jogador ou conteúdo informacional é elemento chave na modelagem de um jogo. Quando existe um desequilibrio na quantidade de informações que os jogadores possuem ou seja, um agente possui mais informações que os demais estamos diante da situação denominada seleção adversa. Neste caso, um dos agentes tentará se proteger ao firmar um acordo que poderá ser mais vantajoso para a outra parte. Em resumo, modelar apropriadamente uma situação de interação estratégica é fundamental para se conseguir os melhores resultados. Vale lembrar que nos jogos entre empresas, na maioria dos casos, as informações não são de conhecimento comum , mas é possível conseguí-las, ainda que isto implique em algum custo. 2. Solução de um jogo Solucionar um jogo significa determinar quais ações estratégicas os jogadores, agindo racionalmente, escolheriam. 3. Estratégia dominante e estratégia dominada Quando um jogador tem mais de uma estratégia disponível ele precisa, de maneira racional, escolher aquela que lhe trará o melhor resultado possível. Quando uma destas opções é francamente superior às demais, não importando qual jogada o adversário implemente, dizemos que ela é uma estratégia estritamente dominante. No caso em que a estratégia é superior a algumas e pelo ao menos igual a outra, dizemos que ela é estratégia fracamente dominante. Pelo exposto, podemos inferir que uma estratégia estritamente dominada é aquela que sempre resultará em menor payoff para qualquer escolha do adversário. Quando ela é inferior a algumas, mas pelo ao menos igual a outra, denominamos esta de estratégia fracamente dominada. Vejamos o exemplo a seguir. Duas empresas competem no ramo de produtos de limpeza. A empresa Limpo S.A. pretende lançar um novo produto no mercado, o sabão delta. A empresa Bonito S.A., a par desta possibilidade, decidirá se aumenta ou não seus gastos com propaganda para defender sua participação naquele mercado. O jogo com suas estratégias e payoffs (lucros) está modelado abaixo.

Limpo

Bonito Gastar mais Não gastar mais com publicidade com publicidade Lançar o novo sabão 5, 5 7, 3 Não lançar o novo sabão 2, 4 2, 7

Vemos que a estratégia de lançar o sabão delta proporcionará sempre o melhor resultado para a empresa Limpo, enquanto o não lançamento revela-se sempre a pior estratégia. Logo dizemos que lançar o produto é a estratégia 2

estritamente dominante para a empresa Limpo e não lançar é a estratégia estritamente dominada. Observemos agora o seguinte exemplo: KLW XYZ

I II

i 1, 1 1, 0

ii 1, 1,5 0, 1

iii 2, 0 2, 2

A estratégia I da companhia XYZ somente é superior a estratégia II no caso em que a KLW escolhe ii. Assim, dizemos que a estratégia I é fracamente superior a estratégia II. Igualmente, também podemos dizer que a estratégia II é fracamente dominada pela estratégia I. 4. Resolvendo um jogo de estratégia pura estritamente dominada O jogo das empresas Limpo e Bonito.

Limpo

Bonito Gastar mais Não gastar mais com publicidade com publicidade Lançar o novo sabão 5, 5 7, 3 Não lançar o novo sabão 2, 4 2, 7

Ao lançar o novo sabão a Limpo terá um payoff de 5, se a Bonito gastar mais com publicidade, e 7, se sua concorrente nada fizer. Se escolher a estratégia de não lançar o produto a Limpo terá um payoff de 2 se a Bonito gastar mais com publicidade e o mesmo valor se sua concorrente nada fizer. Logo, a opção de lançar um novo produto no mercado, o sabão delta, é claramente superior. Então, dizemos que ela é uma estratégia estritamente dominante para a empresa Limpo e a outra, não lançar o produto, é a estratégia estritamente dominada. A empresa Bonito não possui estratégia estritamente dominante, visto que a opção de gastar mais com publicidade é melhor no caso da empresa Limpo lançar seu novo produto (payoffs de 5 e 4), mas a opção de não gastar mais com publicidade é melhor se não houver lançamento do novo sabão (payoffs de 3 e 7). Como o jogo se resolve? Pela eliminação da estratégia estritamente dominada da Limpo. Dado que os agentes são racionais e procuram sempre o melhor resultado possível, a empresa Limpo escolherá a estratégia de lançar seu novo produto (estratégia dominante) e neste caso, a Bonito terá como melhor resposta gastar mais com publicidade. O par de estratégias escolhido (lança novo sabão, gasta mais com publicidade) resultará nos payoffs 5,5.

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5. Resolvendo um jogo de estratégia pura fracamente dominada Suponha que no caso das empresas Limpo e Bonito as condições tenham mudado de modo que o jogo fique caracterizado da seguinte forma:

Limpo

Lança o novo sabão Não lança o novo sabão

Bonito Gasta mais com Não gasta mais publicidade com publicidade 2, 5 7, 3 2, 4 2, 7

Em um cenário em que a empresa Bonito escolhe a opção gastar mais com publicidade, a Limpo teria um payoff de 2, lançando ou não seu novo sabão. Na hipótese da Bonito não gastar mais com publicidade, a Limpo teria um payoff de 7, lançando seu sabão ou 2 não lançando. Dados estas premissas, podemos afirmar que a opção de lançar é pelo ao menos tão boa quanto não lançá-lo, se a Bonito gastar mais com propaganda, e é superior quando a Bonito não gasta mais com marketing. Então, chamamos esta proposta de fracamente dominante e, logicamente, a outra de fracamente dominada. A situação da Bonito não muda e ela continua sem estratégia dominante, visto que a opção de gastar mais com publicidade é melhor no caso da empresa Limpo lançar seu novo produto (payoffs de 5 e 4), mas a opção de não gastar mais com publicidade é melhor se não houver lançamento do novo sabão (payoffs de 3 e 7). Como o jogo se resolve? Pela eliminação da estratégia fracamente dominada da Limpo. Dado que os agentes são racionais e procuram sempre o melhor resultado possível, a empresa Limpo escolherá a estratégia de lançar seu novo produto, estratégia dominante mesmo que fracamente e neste caso, a Bonito terá como melhor resposta gastar mais com publicidade. O par de estratégias escolhido (lança novo sabão, gasta mais com publicidade) resultará nos payoffs 2,5. 6. O método de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas Algumas vezes os participantes de um jogo possuem em seu conjunto de escolha estratégias classificadas como estritamente dominadas e como jogadores racionais eles não deverão jogá-las. Logo estas jogadas devem ser eliminadas para que se estabeleça um novo cenário de jogo. Se ainda assim, permanecerem estratégias inferiores, deve-se novamente descartá-las. Este processo de eliminação sucessiva é chamado de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas. Constitui um método de solução que dá maiores possibilidades de encontrarmos resultados em jogos. Vejamos o exemplo da situação de interação estratégica entre as empresas Feliz e Sucesso. 4

A empresa Sucesso diagnostifica problemas em seu departamento de marketing e a direção, com o objetivo de resolver tais problemas, deve decidir se contrata novos profissionais (NP), se destina mais recursos para aquele setor (MR) ou programa as duas opções conjuntamente (NPMR). A empresa Feliz cujo desempenho é bem diferente de sua concorrente deve decidir como enfrentar as ações da Sucesso. Suas opções são destinar mais recursos para aquele setor (MR), investir em treinamento de seus profissionais de marketing (IT) ou não reagir as atitudes da Sucesso (NR). O jogo com suas estratégias e payoffs está caracterizado a seguir.

MR NR IT

Feliz

MR 2, 2 1, 3 2, 1,5

Sucesso NP 3, 3 0, 4 2,5, 3,5

MRNP 2, 4 -1, 4 1,5, 3,5

A estratégia de não reagir ( NR) é estritamente dominada pelas outras opções da empresa Feliz. Eliminando está opção temos:

Feliz

MR IT

MR 2, 2 2, 1,5

Sucesso NP 3, 3 2,5, 3,5

MRNP 2, 4 1,5, 3,5

Já a empresa Sucesso tem a opção conceder mais recursos (MR) superada pelas outras duas estratégias (NP e MRNP), logo devemos também eliminá-las. Assim, o jogo segue: Sucesso Feliz

MR IT

NP 3, 3 2,5, 3,5

MRNP 2, 4 1,5, 3,5

Com a redução do conjunto de ações possíveis, vemos que a estratégia de conceder mais recursos para o departamento de marketing (MR) é estritamente para a empresa Feliz, sendo esta a jogada que a empresa deverá fazer. Para responder, a Sucesso escolherá a estratégia conceder mais recursos e contratar novos profissionais (MRNP). Desta forma a solução do jogo proporcionará os payoffs {2,4}. 7. Equilíbrio de Nash Algumas vezes os participantes de um jogo possuem em seu conjunto de escolha estratégias classificadas como estritamente dominadas. Este fato impõe um limite ao método de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas . Analise a seguinte situação, por exemplo. A empresa MMW está avaliando se entra ou não no mercado brasileiro de brinquedos que atualmente é dominado pela empresa PPW. 5

As opções pa a MMW são exportar em pequena escala (EPE) para o Brasil, exportar em larga escala (ELE) ou não exportar (NE). Em defesa do seu mercado a PPW tem que decidir entre expandir (E) sua produção ou não expandir (NE). A situação de interação está caracterizada na seguinte matriz de payoffs:

PPW

E NE

MMW EPE 1, 0 2, 1

NE 2, 1 1, 0

ELE 0, -1 -1, 2

Na representação acima vemos claramente que o método de eliminar uma estratégia estritamente dominada não pode ser utilizado, dado que nenhum jogador a possui. Como então resolver um jogo deste tipo? Precisamos de conceito mais abrangente de solução. Este conceito é denominado equilíbrio de Nash. O equilíbrio de Nash é definido com a situação em que a estratégia escolhida por um jogador é a melhor resposta possível àquela escolhida por outro jogador. Qual seria a solução do jogo entre as empresa do setor de brinquedo com o uso do equilíbrio de Nash? Neste jogo se a empresa PPW escolhe não expandir sua produção (NE), a MMW tem como melhor resposta exportar em larga escala (ELE), mas a recíproca não é verdadeira. Essas opções teriam como resultado os payoffs (-1,2). Se a empresa MMW, pretendente a entrar no mercado, escolher exportar em larga escala (ELE), a melhor resposta da PPW seria expandir suas operações. O meio mais rápido de encontrar o equilíbrio de Nash é procurar o maior payoff de cada jogador para cada estratégia escolhida. O conjunto de escolha que contemplar os maiores payoffs de cada jogador será o equilíbrio procurado. Vejamos como acontece. Vamos marcar as melhores recompensas da empresa PPW com a letra d entre parênteses (d) e as melhores da MMW com (e).

PPW

E NE

NE (d) 2, 1 (e) 1, 0

MMW EPE 1, 0 (d) 2, 1

ELE (d) 0, -1 -1, 2 (e)

Somente no caso da empresa PPW escolher (E) expandir suas operações e a MMW decidir não exportar (NE) temos as melhores respostas para cada empresa. È o equilíbrio de Nash. 6

8. E se um dos agentes não for racional? Vimos até agora que a escolha de uma estratégia e o resultado de um jogo é fundamentada na racionalidade dos agentes. Mas o que aconteceria se um dos jogadores não agisse de forma racional? Vejamos a situação a seguir: Duas empresas fabricantes de um tipo de embalagem retornavel, atuando em um mercado competitivo, procuram aumentar suas vendas. Os produtos possuem o mesmo padrão e então os clientes podem utilizá-los sem preocupação. No atual estágio do mercado a firma Number 1 se depara com as seguintes escolhas: Investir na modernização de seu produto para ganhar mercado ou não investir e continuar com o mesmo mark up. As decisões de cada uma bem como as recompensas, neste caso os lucros, associadas a cada escolha são mostradas na seguinte matriz de payoffs:

Number 1

Investir Não investir

Number 2 Investir Não investir 25, 13 -50, 2 -12, 1 0, 0

Se as decisões forem tomadas de maneira racional, o resultado do jogo, um equilibrio de Nash, será a escolha da estratégia Investir para ambas empresas. Note porém, que se a empresa Number 1 decidir investir e a sua rival não fizer o mesmo, preferindo de forma obter um lucro de 2 ao invés de 13, a Number 1 terá um prejuizo de 50. O que fazer então? Neste cenário, a empresa Number 1, não tendo informações seguras sobre a escolha da empresa 2, poderá adotar uma estratégia defensiva, optando por não investir e, desta forma, auferindo um resultado negativo de 12 em lugar de uma provável perda de 50. Esta estratégia é denominada maxmin porque maximiza o resultado mínimo. Ela é sempre consevadora e não maximiza os lucros. 9. Valor esperado Antes de começarmos a estudar a forma de solução de jogos com utlização de estratágias mistas é importante revermos o conceito de valor esperado. Definido como a média ponderada de todos os resultados (payoffs) e suas respectivas probabilidades de ocorrência, o valor esperado associado a uma situação estratégica, em um cenário de incerteza, facilita a avaliação das soluções possiveis. Suponha que em determinado mercado exista uma empresa cujo resultado pode ser um lucro de R$ 40 milhões ou R$ 10 milhões, dependendo das

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condições da economia. O primeiro caso acontece se houver crescimento da economia e o segundo, se ocorrer recessão. A empresa contratou uma firma de consultoria econômia que lhe forneceu a seguinte avaliação. O crescimento da econômia tem 80% de chances de ocorrer, enquanto a recessão tem 20%. Com base nestas informações, qual será o valor esperado do lucro da empresa? Valor esperado (VE) = (Probabilidade de crescimento econômico x 40) + (Probabilidade de recessão x 10) VE = (0,8 x 40) + (0,20 x 10) = 32 + 2 = 34 10. Estratégias mistas Até agora estudamos situações em que os jogadores escolhem somente uma de suas estratégias disponíveis e solucionam o jogo. Nestes casos dizemos que o jogo é resolvido com estratégias puras. E quando um jogador escolher mais de uma jogada? Nestas situações em que os jogadores podem escolher mais de uma estratégia, utilizamos o conceito de estratégias mistas para solucionar um jogo. Uma estratégia mista é uma distribuição de probabilidade sobre as estratégias disponíveis para um jogador. Em outras palavras, uma estratégia mista supõe probabilidades para as estratégias puras. Do exposto, podemos concluir que estratégias puras são casos especificos de estratégias mistas , onde uma estratégia é escolhida com 100% de probabilidade. Suponha a situação das empresas Red e Black que atuam no mercado de informática. A Red, líder de mercado, pretende melhorar a distribuição de seus produtos. Para tanto tem duas estratégias disponíveis: Permitir o acesso temporário de alguns programas que comercializa (PA) ou promover oficinas de informática (OI). Já a empresa Black tem que decidir se reage as ações de sua concorrente (RE) ou não (NR). O jogo está representado a seguir. BLACK RED

RE NR

PA 3; 4 0; 7

OI 1,8; 5 2; 6

Em primeiro lugar, podemos observar que não existe uma estratégia estritamente dominada ou dominante, assim como não é possível encontrar um equilíbrio de Nash. Então como podemos resolver este jogo? Usando o conceito de estratégias mistas. 8

Suponha que a empresa RED pode optar pela estratégia RE com Px probabilidade e pela estratégia NR com 1-Px probabilidade (a soma das probabilidades sempre será igual a 1). A empresa BLACK, por sua vez, pode jogar escolher PA com Py probabilidade e OI com 1-Py probabilidade. Assim, o payoff esperado (PE) da RED quando jogar RE será uma média ponderada dos payoff associados à esta e as probabilidades de escolha da estratégia da empresa BLACK. Formalmente temos: PE = (3 x probabilidade da BLACK jogar PA) + (1,8 BLACK escolher OI). Então:

x

probabilidade da

PE = {(3 x Py) + [1,8 x (1-Py)]} Se a RED optar por NR seu payoff esperado será também uma média ponderada dos payoff associados àquela escolha e suas respectivas probabilidade. Formalmente teremos: PE = (0 x probabilidade da BLACK jogar PA) + (2 BLACK escolher OI). Então:

x

probabilidade da

PE = {(0 x Py) + [2 x (1-Py)]} Como a RED tomará sua decisão? Primeiramente a RED tem que descobrir a condição de jogo na qual qualquer uma de suas escolhas proporcionará o mesmo payoff, ou seja, o cenário de indiferença. Para isto basta igualar as duas equações: {(3 x Py) + [1,8 x (1-Py)]} = {(0 x Py) + [2 x (1-Py)]} Como resultado teremos: Py = 0,06 Este resultado significa que a RED ficará indiferente, podendo jogar qualquer uma de suas estratégias, quando a BLACK escolhe a estratégia PA com 6,0% de probabilidade. E quanto a empresa BLACK, em que situação ela ficara indiferente? O equilibrio ou solução do jogo será o par de probabilidades que deixa as empresas indiferentes em suas escolhas. Vamos descobrir então! Bibliografia Tavares, Jean Max. Teoria dos jogos aplicada à estratégia empresarial. 1ª. edição. Rio de Janeiro. LTC. 2008. capítulo 2. Fiani, Ronaldo. Teoria dos Jogos com Aplicações em Economia, Administração e Ciências Sociais. 2ª. Edição. Rio de Janeiro: Elsevier Editora, 2006. capítulo 3. Pindyck, Robert S.; Rubinfeld, Daniel L. Microeconomia. 7a. edição. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010. Capitulo 13. Bêrni, Duilio de Avila. Teoria dos Jogos: Jogos de estratégia, estratégia decisória e teoria da decisão. Rio de Janeiro. Reichmann & Affonso Editora. 2004. capítulo 7.

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA NOTA DE AULA 4 1) Ache um par de estratégias mistas de equilíbrio para o jogo cuja matriz de pagamento é: Agente 2 a 8, 2 -1, 4

A B

Agente 1

b -2, 5 5, 1

2) Considere o seguinte jogo estratégico e diga qual o par de estratégias mistas, se houver, que o soluciona. Anti Sys

Desenvolve Mantem

Atualiza 2, 1 0, -1

Mantem -1, -2 1, 2

3) As empresas Summer e Dream´s atuam no setor de protetores solares, sendo as mais conhecidas pelos consumidores desses produtos. Ambas estão lançando um produto inovador ...