6. Mathe Vorlesung Haus der Vierecke PDF

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Zusammenfassungen zur Mathe VL Geometrie bei Plackner SS_15...

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6. Mathe Vorlesung: Haus der Vierecke

1. Klassifikation von Vierecken - verschiedene Möglichkeiten alle Viereckstypen zu erfassen (Diagonale, Winkel, Symmetrie) - eine Möglichkeit: Symmetrien - handlungsorientierter Zugang (in der Grundschule) : Papiervierecke insbesondere auf Achsensymmetrie untersuchen (Falten) 2. Systematik: einfache Achsensymmetrie - gegeben sei eine Achse g - Fallunterscheidung: (I) sei A Eckpunkt mit A Є g (II)sei A Eckpunkt mit A nicht Є g - Folgerungen aus der Symmetrie für Winkel, Diagonalen, Seitenlängen?  beide einfach Achsensymmetrisch

…nenne Eckpunkt A o.E.d.A.

3. Systematik: zweifache Achsensymmetrie - gegeben sind zwei Achsen g und h - wie stehen die Achsen zueinander? - Fallunterscheidungen

 A und B frei wählen und Bildpunkte durch Spiegeln erzeugen

-

2 fache achsensymmetrie 2 Seiten gleich lang 2x2 Winkel gleich groß Punktspiegelung & Drehsymmetrisch

- 2 fach achsensymmetrisch - 2 Seiten werden aufeinander abgebildet - 4 gleiche Winkel - 2 diagonale und 2 Symmetrieachsen

4. Systematik: drei-/ vierfache Achsensymmetrie? - dreifache Achsensymmetrie ist unmöglich - vierfache Achsensymmetrie bei paarweise senkrecht stehenden Achsen - Eigenschaften von Raute und Rechteck: Quadrat

4 Fach achsensymmetrisch, Seiten stehen senkrecht, halbieren sich gegenseitig, 4 Gleichgroße Winkel

5. Systematik: Punktsymmetrie - gegeben Zentrum Z - aus Konstruktion folgt: Die Diagonalen halbieren sich in Z. AB  CD AD  BC AB = CD AD = BC Parallelogramm

    

2 Seiten gleich lang 2 Seiten parallel Drehsymmetrisch 2x2 gleiche Winkel Halbieren sich gegenseitig

6. Systematik: weitere Drehsymmetrie? - Parallelogramm ist punktsymmetrisch, d.h. zweifach-drehsymmetrisch um 180° und 360° - Raute und Rechteck sind Parallelogramme, also auch zweifach-drehsymmetrisch - Quadrat ist vierfach-drehsymmetrisch um 90°, 180°, 270° und 360° (alles und jedes wäre drehsymmetrisch)

7. Haus der Vierecke Allgemeine Fälle Von Oben nach Unten mehr Eigenschaften

Spezielle Fälle  Pfeile drücken Verwandschaftsbeziehungen zu den Objekten aus  Z.b.: Quadrat ist besonderer Drache/Raute  Rechteck ist besonderes Parallelogramm/gleichschenkliges Trapez 8. Vierecke ohne Symmetrien - Was zeichnet einen allgemeinen / schiefen Drac - Was zeichnet ein allgemeines Trapez aus?

 Schiefsymmetrische Drache

9. notwendig – hinreichend - notwendige und hinreichende Bedingungen sind definierende Eigenschaften - Punktsymmetrie ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für ein Rechteck. - Vierfache Achsensymmetrie ist eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung für ein Rechteck. Notwendig= betrifft die Figur selbst, benötige ich die Eigenschaft um diese zu beschreiben (z.b.: Punktsymmetrie ist eine notwendige Bedingung für ein Reckteck) Hinreichend= Haus der Vierecke muss betrachtet werden, alles was unter gefragter Figur steht muss mit Eigenschaft eingeschlossen werden, was drüber ist ausgeschlossen werden(4 fache Achsensymmetrie ist eine Hinreichende Bedingung für ein Quadrat) Nicht notwendig= Die Eigenschaft betrifft Figur nicht, wird damit nicht beschrieben (4 fache Achsensymmetrie ist keine notwendige Bedingung für einen Drachen) Nicht hinreichend= Eine Eigenschaft die eine allgemeinere Figur oberhalb beschreibt und mit einschließt (z.b.: Ein Rechteck ist punktsymmetrisch ist nicht hinreichende Bedingung, da ein Parallelogramm ebenfalls diese Eigenschaft besitzt)

10. Überprüfen Sie… Die Eigenschaft, dass die Diagonalen eines Vierecks sich halbieren, ist notwendig und hinreichend dafür, dass die Figur a) ein Quadrat (notwendig aber nicht hinreichend da andere Figuren oberhalb ebenfalls Eigenschaft besitzen) b) eine Raute (notwendig aber nicht hinreichend, da Parallelogramm etc. ebenfalls Eigenschaft besitzt) ist.

11. Äquivalenz von Definitionen (Mehr Möglichkeiten) - Ein Viereck mit zweifacher Achsensymmetrie der Mittellinien ist ein Rechteck. - Ein Viereck mit drei rechten Winkeln ist ein Rechteck. - Ein Viereck mit gleich langen, sich halbierenden Diagonalen ist ein Rechteck. 12. Überprüfen Sie… - Dass alle vier Winkel eines Vierecks gleich groß sind, ist notwendig, aber nicht hinreichend dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist. (nicht notwendig aber hinreichend) - Dass es zwei gegenüberliegende Winkel in einem Viereck gibt, die gleich groß sind, ist notwendig, aber nicht hinreichend dafür, dass das Viereck ein Drachen ist. (nicht notwendig aber hinreichend) - Dass je zwei gegenüberliegende Seiten eines Vierecks parallel sind, ist weder notwendig noch hinreichend dafür, dass das Viereck eine Raute ist. (notwendig aber nicht hinreichend) 13. Die Raute der Macht „ eher Drache der Macht“

Die Raute der Macht“ Tatsächlich gewährte Merkel ungewohnt private Einblicke. So lüftete sie unter anderem das Geheimnis der "Merkel-Raute" - wie ihre typische Handhaltung bei Fototerminen genannt wird, wenn sie die Fingerspitzen einzeln aufeinanderdrückt. Sie habe "nie mit jemandem darüber gesprochen", wehrte sich die Kanzlerin gegen alle Vermutungen, Trainer oder gar ihre Schwester hätten ihr zu der Position geraten. "Es war immer die Frage, wohin mit den Armen", bekannte die Regierungschefin. "Daraus ist das entstanden." Und trocken fügte Merkel hinzu: Die Handhaltung verrate "eine gewisse Liebe zur Symmetrie".

„Eher Quadrat im Herzen“...