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8. Convergencia y derivación bajo el signo integral Cálculo integral 2016–2017

Resumen

Convergencia puntual e integral Ejemplos. # 1, x “ m{k!, m P Z fk pxq “ 0, en otro caso. Las funciones fk son todas ellas integrables en todo intervalo ra, bs. En efecto, si k P N, en este intervalo solo puede haber una cantidad finita de puntos de la forma m{k!, a saber, aquellos para los que el entero m está entre k!a y k!b. Estos son los únicos puntos de discontinuidad de fk y, por tanto, como decíamos, fk es integrable. Sin embargo, su límite puntual f no es integrable en ningún intervalo. En efecto. Sea x P Q. Entonces, x “ p{q, p P Z, q P N. Si k ě q, podemos escribir x “ m{k!, donde m “ p ¨ k!{q P Z. En consecuencia, fk pxq “ 1 para todo k ě q, de donde f pxq “ límk fk pxq “ 1 si x P Q. Por otro lado, si x R Q, está claro que x no puede ser de la forma m{k! para ningún k, así que fk pxq “ 0 para todo k P N. En consecuencia, f pxq “ límk fk pxq “ 0. Hemos probado, pues, que f “ χQ , así que, como anunciábamos, no es integrable en ningún intervalo. fk pxq “ 2k xp1 ´ x2 qk , x P r0, 1s. Salta a la vista que estas funciones son integrables en r0, 1s, ya que son continuas. Veamos quién es su límite puntual f . Si x “ 0 o x “ 1, resulta 1

evidente que fk pxq “ 0 para todo k P N, así que f pxq “ límk fk pxq “ 0. Si 0 ă x ă 1 se tiene que lím k

fk`1 pxq 2pk ` 1qxp1 ´ x2 qk`1 “ lím k fk pxq 2kxp1 ´ x2 qk k`1 “ 1 ´ x2 ă 1. “ p1 ´ x2 q lím k x

En consecuencia, por el Criterio del Cociente, también en este caso se tiene que f pxq “ límk fk pxq “ 0. Claramente el límite f pxq “ 0 es integrable en r0, 1s. Sin embargo, resulta que ż1 0

ż1

2kxp1 ´ x2 qk dx ż1 “ ´k p´2xqp1 ´ x2 qk dx 0 ˇ1 ż1 k uk`1 ˇˇ k “ k u du “ k Ñ Ý 1. “¨ ˇ k`1 0 k`1 k 0

fk “

0

Es decir, aunque en este caso el límite de la sucesión de funciones pfk q sí resulta ser integrable, se da el caso que ż1 ż1 fk . lím fk “ 0 ‰ 1 “ lím 0

k

k

0

Convergencia uniforme e integral Teorema 8.1 (de Osgood). Sea A un subconjunto acotado de Rn y pfk q una sucesión de funciones integrables que converge uniformemente en A a una función f . Entonces f es también integrable en A, y ż ż f. lím fk “ k

A

A

Demostración. Sea R un rectángulo que contenga a A, y para cada k sea fˆk la extensión canónica de fk . Sea también fˆ la extensión canónica de f . Está claro que la sucesión pfˆk q converge uniformemente a fˆ en R. Para cada k P N, sea Dk “ Disc fˆk . Definamos 8 ď B“Rz Dk . k“1

2

Evidentemente, todas las funciones fk son continuas en B, y además convergen uniformemente a f en B. Por el Teorema de la Convergencia Uniforme de Cauchy, en B. Es por esto que el conjunto su límite fˆ es también una función continua Ť8 ˆ D “ Disc f está contenido en R z B “ k“1 Dk , que es de medida nula por ser unión contable de conjuntos de medida nula. (Los Dk son de medida nula por ser cada fˆk integrable.) Por tanto, D también es de medida nula, así que fˆes integrable en R. En consecuencia, f es integrable en A. ş ş Veamos ahora que límk A fk “ A f . Dado ε ą 0, como fˆk converge a fˆ uniformemente, existe un k0 P N tal que si k ě k0 entonces ε vpRq

|fˆk pxq ´ fˆpxq| ă

para todo x P R. Entonces, si k ě k0 , se tiene ż ż  ż ż  ż ż      fk ´ f  “  fˆk ´ fˆ ď | fˆk ´ fˆ| ă     A

A

Por tanto, límk

ş

A

fk “

R

R

ş

A

R

ε “ ε. R vpRq

f.

Corolario 8.2. Sea A un conjunto ř acotado de Rn , y pfk q una sucesión de funciones integrables, tal queřla serie 8 k“1 fk converge uniformemente en A a una 8 función f . Entonces f “ k“1 fk es también integrable en A, y ż

f“ A

8 ż ÿ

k“1

fk . A

Sucesiones de funciones monótonas y uniformemente acotadas Definición 8.3. Sea A Ă Rn , y sea pfk q una sucesión de funciones en A. (I) Decimos que la sucesión de funciones pfk q es creciente si fk pxq ď fk`1 pxq para todo k P N y todo x P A. (II) Decimos que la sucesión de funciones pfk q es decreciente si fk pxq ě fk`1 pxq para todo k P N y todo x P A. (III) Si pfk q es creciente o decreciente, decimos que es monótona. Definición 8.4. Sea A Ă Rn . Decimos que una sucesión de funciones pfk q es uniformemente acotada, si existe un K ą 0 tal que |fk pxq| ď K para todo x P A y todo k P N. 3

Teoremas de la Convergencia Monótona y Acotada Teorema 8.5 (de la Convergencia Monótona, de Arzelà). Sea A Ă Rn un conjunto medible Jordan. Sea pfk q una sucesión de funciones integrables que converge a una función integrable f y es monótona. Entonces ż ż f. lím fk “ k

A

A

Teorema 8.6 (de la Convergencia Acotada, de Arzelà). Sea A Ă Rn un conjunto medible Jordan. Sea pfk q una sucesión de funciones integrables que converge a una función integrable f y es uniformemente acotada. Entonces ż ż f. lím fk “ k

A

A

Paso al límite respecto a un parámetro Teorema 8.7. Sea K un subconjunto compacto de Rn ˆ Rm , y sea f : K Ñ R una función continua. Entonces, si A y B son subconjuntos acotados de Rn y Rm , respectivamente, tales que A es medible Jordan y A ˆ B Ă K, se tiene que la función F : B Ñ R definida por ż F pyq “ f px, yq dx A

es continua en B, es decir,

lím

yÑy0

para todo y0 P B X B 1 .

ż

f px, yq dx “ A

ż

f px, y0 q dx A

Demostración. Sin pérdida de generalidad, supondremos que en Rn ˆRm estamos utilizando la norma kpx, y qk “ máxtkxk, ky ku. Fijemos y0 P B X B 1 . Sea ε ą 0. Como f es continua en el compacto K , entonces es uniformemente continua. Por tanto, dado ε ą 0, existe un δ ą 0 tal que si kpx1 , y 1 q ´ px, y q|| ă δ, entonces |f px1 , y 1 q ´ f px, y q| ă ε{pv pAq ` 1q. En particular, si ky ´ y0 k ă δ, entonces, para todo x P A tendremos kpx, yq ´ px, y0 qk “ ky ´ y0 k ă δ, de donde |f px, yq ´ f px, y0 q| ă ε{pv pAq ` 1q. Por tanto, si ky ´ y0 k ă δ  ż ż  ż      “  pf px, yq ´ f px, y0 qq dx  f px, yq dx ´ f px, y q dx 0     A A żA ď |f px, yq ´ f px, y0 q| dx A

ď

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ε ¨ vpAq ă ε. vpAq ` 1

Es decir, lím

yÑy0

ż

f px, yq dx “ A

ż

f px, y0 q dx. A

Diferencial parcial Notación. Sean A ˆ B Ă Rn ˆ Rm , y f : A ˆ B Ñ R. Para cada x0 P A, podemos definir la función fx0 : B Ñ R por fx0 pyq “ f px0 , y q. Entonces, si existe, la Bf px0 , yq. diferencial fx10 pyq la denotaremos como By La notación Bf no denota una derivada parcial, sino una diferencial parcial con By respecto a las últimas m variables. Derivación respecto a un parámetro Teorema 8.8 (Regla de Leibnitz). Sea K un subconjunto compacto de Rn ˆ Rm , existe y y sea f : K Ñ R una función continua tal que la función derivada Bf By es continua en todo K. Si A Ă Rn es medible Jordan y B Ă Rm es abierto, y además A ˆ B Ă K, entonces se tiene que la función F : B Ñ R definida por ż F pyq “ f px, yq dx A

es diferenciable en B, y 1

F py0 q “

ż

Bf px, y0 q dx A By

para todo y0 P B . Demostración. Para cada px, yq P A ˆ B y h P Rm , por el Teorema del Valor Medio sabemos que existe un cx,y,h P ry, y ` hs tal que f px, h ` hq ´ f px, yq “

Bf px, cx,y,h qh. By

(1)

Bf Como la función Bf (que a cada px, yq le hace corresponder By px, y q) es continua By en el compacto K, será uniformemente continua en K y en cualquier subconjunto Bf suyo. En particular, By es uniformemente continua en A ˆ B. Por tanto, dado ε ą 0, existe δ ą 0 tal que    Bf  ε  px, zq ´ Bf px, yq ă (2)  By  By vpAq ` 1

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ai px, yq P A ˆ B y khk ă δ. Usando (1) y (2) e integrando con respecto a x, obtenenmos que, cualesquiera que sean y P B y h P Rm tal que khk ă δ ,   ż   Bf F py ` hq ´ F pyq ´ px, y qh dx   By  żA ż ż   Bf  “  f px, y ` hq dx ´ f px, yq dx ´ px, y qh dx  A A By  żA ˆ ˙   Bf  f px, y ` hq ´ f px, yq ´ “ px, y qh dx By żA ˆ ˙    Bf Bf “  px, cx,y,h qh ´ px, y qh dx By By  ż A  Bf Bf  px, y qh dx ď  px, cx,y,h qh ´ By By  żA    Bf Bf  px, yq ď  px, cx,y,h q ´  khk dx By By żA ε khk dx ď εkhk. ď A vpAq ` 1 Esto prueba que F es diferenciable en B, y ż Bf 1 px, yq dx F pyq “ A By para todo y P B .

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Referencias [1] J. E. Marsden, M. J. Hoffman, Análisis clásico elemental (2a. ed.), AddisonWesley Iberoamericana, 1998.

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