A2 Equipo 10 - actividad 2 de calculo vectorial, del profesor belis PDF

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actividad 2 de calculo vectorial, del profesor belis...

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Alumnos: Cristian Jacob Sandoval Rosas David Cerón Luna Ditzon Raul Burgos Mendoza Karla Fabiola Gómez Cuevas

Profesor: Gerardo Barbosa Celis

Materia: Calculo Vectorial

Nombre del trabajo: Ejercicios

Cuatrimestre: Tercero

Universidad del Valle de México 02 de agosto de 2021

Conjunto de ejercicios 1 Hallar el dominio e imagen de las siguientes funciones. Graficar posteriormente utilizando Octave: 1.

𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝒚 + 𝟐

D = {(x, y) ∈ ℝ2 } R = {f(x, y) ∈ ℝ}

2.

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐

D = {(x, y) ∈ ℝ2 }

R = {f(x, y) ∣ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0}

3.

𝒇(𝒙, 𝒚) = −𝒙𝟐𝒚𝟐

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦 ) = −𝑥 2 𝑦 2 −𝑧 = 𝑥 2 𝑦 2 2

𝑥2 ≥ 0

4𝑦 2 ≥ 0

𝑥2𝑦2 ≤ 0 = 𝑧 ≤ 0

𝐷 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 } 𝑅 = {𝑧|𝑧 ≤ 0}

4.

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦 ) = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑥2 ≥ 0

𝑦2 ≥ 0

1 ≤ 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) ≤ 0 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ3 }

𝑅 = {𝑧|1 ≤ 𝑧 ≤ 0}

3

5.

𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒆(𝒙

𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛 𝟐 )

𝐷 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 } 𝑅 = {𝑧 ∈ ℝ}

Debido a que no hay rango, no se puede graficar.

6.

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝒚

7.

𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

8.

𝒇(𝒙, 𝒚) =

𝒙𝟐 𝟗

+

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 } 𝑅 = {𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ}

𝒚𝟐 𝟗

+

𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 } 𝑅 = {𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ}

𝒛𝟐 𝟑

=𝟏 𝐷 = {( 𝑥, 𝑦)𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9} 𝑅 = {𝑧 ∣ −√3 ≤ 𝑧 ≤ √3}

4

5

Conjunto de ejercicios 2. En los ejercicios del 1 al 6 determine si el conjunto dado es abierto o cerrado (o si no tiene ninguna propiedad).

1.- {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹𝟐 ∣ 1 < 𝑥2 + 𝑦2 < 4} Es un anillo que no incluye su límite interno y externo y por lo tanto, es un conjunto abierto 2.- {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹𝟐 ∣ 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4} Es un anillo que incluye todos sus puntos limite y, por lo tanto, es un conjunto cerrado. 3.- {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹𝟐 ∣ 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 < 4} Este es un anillo que incluye su límite interior pero no su límite exterior, por lo que no está abierto ni cerrado. 4.- {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹𝟑 ∣ 1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 4} Esta es una esfera hueca que incluye sus puntos limite y por lo tanto, es un conjunto cerrado. 5.- { (𝒙, 𝒚) ∈ 𝑹𝟐 ∣ −1 < 𝑥 } 𝑈 {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑹𝟑 ∣x=2} Se trata de la unión de una franja infinita abierta en el plano (1< 𝑥 < 1) y una línea cerradaen el plano (x=2) y, por lo tanto, no es abierto ni cerrado.

6.-⦃(𝐱, 𝐲, 𝐳)𝝐 𝑹𝟑)│1< 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 < 𝟒⟯

Este es en cilindro infinito abierto en 𝑹𝟑 y por lo tanto es un conjunto abierto.

7.

𝒍𝒊𝒎

(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒛𝟑 + 𝟐

Solución. = 𝟎𝟐 + 𝟐 (𝟎)(𝟎) + (𝟎)(𝟎) + (𝟎)𝟑 + 𝟐 =𝟎+𝟎+𝟎+𝟎+𝟐 =𝟐

6

8. 𝟏

𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝒚𝟐

𝟏

𝒚𝟐 + 𝒚𝟐 𝒚𝟐

= 𝒙𝟐

=

𝟏

𝒙𝟐 +𝟏 𝒚𝟐

𝒍𝒊𝒎

|𝒚| 𝟐 +𝒚𝟐 √𝒙 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

por lo tanto

𝟏

11.

= 𝟎 por lo tanto: 𝒍𝒊𝒎

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝟐𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝒙𝟐 +𝒚𝟐

=

(𝒙,𝒚)→(−𝟏,𝟐)

𝟐𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝒙𝟐 +𝒚𝟐

𝒍𝒊𝒎

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝒚)

|𝒚|

(𝟎,𝒚)→(𝟎,𝟎)

=

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒍𝒊𝒎

(𝒙,𝟎)→(𝟎,𝟎)

𝒍𝒊𝒎

𝒍𝒊𝒎

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) √𝒙𝟐 +𝒚𝟐

𝒍𝒊𝒎

𝟏𝟐.

|𝒚|

(

(

|𝒚|

=

√𝒙𝟐 +𝒚𝟐

𝒍𝒊𝒎

los límites de cada variable:

∞+𝟏

=

(√𝒙𝟐 +𝒚𝟐 )

|𝒚|

√𝒙𝟐 +𝒚𝟐

𝟏

𝒙𝟐 +𝟏 𝒚𝟐

=

= 𝟏

=

𝒚𝟐 𝒙𝟐+ 𝒚𝟐

𝒍𝒊𝒎

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝟎+𝟏

=

𝟏

𝟏

=𝟏y

NO EXISTE

𝟐⋅𝟎𝟐 +𝒚𝟐 ) 𝟎𝟐 +𝒚𝟐

=

𝟎+𝒚𝟐 𝒚𝟐

=

𝒚𝟐

𝒚𝟐

=𝟏

𝟐𝒙𝟐 𝟐 ⋅ 𝒙 𝟐 + 𝟎𝟐 ) = ( )=𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟎𝟐 𝒙𝟐

𝟐(−𝟏)𝟐 +(𝟐)𝟐 (−𝟏)𝟐 +(𝟐)𝟐

=

𝟐(𝟏)+𝟒 𝟏+𝟒

7

=

𝟐+𝟒 𝟓

𝟔

=𝟓

𝟏

𝒙𝟐 +𝟏 𝒚𝟐

y evaluemos

𝒍𝒊𝒎

𝟏

𝟐 (𝒙,𝒚)→(𝒙,𝟎) 𝒙 +𝟏 𝒚𝟐

=

𝟔. {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 3 |1 < 𝑥 2 + 𝑦 2 < 4} Es un conjunto abierto, están sus puntos y no sus límites. 𝑠𝑒𝑛(𝜃) =𝟎 (𝜃)→(0) 𝜃

𝟐𝟐𝒂. lim 𝟐𝟐𝒃.

𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝑦) =𝟏 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥+𝑦 lim

𝟐𝟖.

lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥 2𝑦 𝑥 2 + 𝑦2

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑥 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠𝜃)

lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥+𝑦

√𝑥 2 + 𝑦 2

𝑦 = 𝑟(𝑠𝑒𝑛𝜃)

= lim

(𝑟)→(0)

𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 = lim 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃 (𝑟)→(0) 𝑟

=

𝒙+𝒚

𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) √𝒙𝟐

33.

𝒍𝒊𝒎

+ 𝒚𝟐

=∃

𝒙+𝒚

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) √𝒙𝟐 +𝒚𝟐

Solución. Se considera: 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Expresamos el límite en las coordenadas polares definidas, esto es:

8

𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦 )→(0,0)

= 𝑙𝑖𝑚 𝑟 →0

𝑥 + 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃2+ 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑟 →0 √(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃) + (𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑟 (cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃)

√(𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃) 𝑟 →0 √𝑟 2

𝑟 →0

Cuando 𝑥 tiende a 0:

(𝑥,𝑦)→(0,0) √𝑥 2

Cuando 𝑦 tiende a 0: 𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦)→(0,0)

+ 𝑦2

+

√(𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) =0

𝑟 √(𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃)

𝑥+𝑦

√𝑥 2

√(𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜃))

𝑟 (𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃)

𝑥+𝑦

𝑙𝑖𝑚

𝑟 →0

𝑟 (cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃)

𝑟 (cos 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃)

= 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚

= 𝑙𝑖𝑚

𝑦2

37.

=

𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦 )→(0,0)

=

𝑙𝑖𝑚

0+𝑦

√02 + 𝑦 2

𝑥+0

(𝑥,𝑦 )→(0,0) √𝑥 2

+

02

=

=

𝑦

√𝑦 2

𝑥

√𝑥 2

=1

=1

𝒙𝒛 𝒍𝒊𝒎 (𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎) 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 +𝒛𝟐

Solución. 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃, 𝑧 = 𝑧 El límite se expresa en las coordenadas polares definidas, esto es: 𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0) 𝑥 2

= 𝑙𝑖𝑚

𝑥𝑧 + 𝑦 2 + 𝑧2

𝑧 𝑟 cos 𝜃 = 0 + (𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃) 2 + 𝑧2

𝑟→0 (𝑟 cos 𝜃) 2

9

Cuando 𝑥 tiende a 0: 𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)

Cuando 𝑦 tiende a 0: 𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)

0𝑧 0 = 𝑦 2 + 𝑧2 = 0 2 2 2 0 +𝑦 +𝑧

𝑥𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧 2

Cuando 𝑧 tiende a 0: 𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)

𝑥2

𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)

𝑥𝑧 = + 𝑦2 + 𝑧 2 =

𝑥𝑧 𝑥𝑧 = 𝑥 2 + 𝑧2 𝑥 2 + 02 + 𝑧 2

𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)

0 =0 𝑥 2 + 𝑦2

𝑥2

𝑥0 + 𝑦 2 + 02

Determina si las funciones son continuas en sus dominios 39. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧3 + 2 Solución. 𝑦=

−2 − 𝑥 2 2𝑥 + 𝑧3

Si 𝑧 = 0, para cualquier valor de 𝑧, la función es discontinua.

10

Es discontinua. 41. ℎ(𝑥, 𝑦 ) = 𝑐𝑜𝑠 (

𝑥 2 −𝑦 2

𝑥 2 +1

)

Solución. 𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦 )→(0,0)

𝑐𝑜𝑠 ( =

𝑥2 − 𝑦2 )= 𝑥2 + 1 𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦 )→(0,0)

𝑙𝑖𝑚

(𝑥,𝑦 )→(0,0)

𝑐𝑜𝑠 (

cos 0 = 0.9998

11

02 − 02 ) 02 + 1

Es discontinua. 𝑥 2 −𝑦 2

𝑥,𝑦)≠(0,0) 43. 𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 2+𝑦 2 𝑠𝑖( 𝑠𝑖(𝑥,𝑦)=(0,0)

0

Solución. 𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑥 2 − 𝑦2 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦2 𝑥 2 + 𝑦2 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0

Se define el limite 𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑥, 𝑦) =

𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑥, 𝑦) =

(𝑥,𝑦 )→(0,0)

𝑙𝑖𝑚

𝑥2 − 𝑦2

(𝑥,𝑦 )→(0,0) 𝑥2 + 𝑦2

Cuando 𝑥 = 0: (𝑥,𝑦 )→(0,0)

= −

𝑙𝑖𝑚

02 − 𝑦2

(𝑥,𝑦)→(0,0) 02 + 𝑦2

𝑦2 = −1 𝑦2

Cuando 𝑦 = 0:

𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑥, 𝑦) =

(𝑥,𝑦 )→(0,0)

=+

𝑙𝑖𝑚

𝑥2 − 02

(𝑥,𝑦 )→(0,0) 𝑥2 + 02

𝑥2 = +1 𝑥2

Cuando 𝑓(𝑥, 𝑦) = 0, el límite es 0.

12

Es continua.

13

Conclusión: Las funciones matemáticas son y en este caso los vectores y límites, son importantes para poder darnos una continuidad de los temas ya aprendidos anteriormente, juntando estos 2 podemos obtener un mejor y más claro entendimiento.

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Referencias: Jane, S. (2013). Cálculo vectorial [Versión electrónica]. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/uvm/37915?page=1 Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable Haga clic para ver más opciones [Archivo PDF]. Recuperado de http://colegioparroquialsanluisgonzaga.edu.co/wpcontent/uploads/2018/04/Calculo-Una-variable-Stewart-7ed-1.pdf La Prof Lina M3 (Productor). (25 de Enero de 2019). Dominio, rango y gráfica de una función en varias variables | La Prof Lina M3 [Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=b_Affw5ArMY Octave [Sitio web]. Recuperado de https://www.gnu.org/software/octave/download.html

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