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CALCULO VECTORIALPROYECTO INTEGRADOR ETAPA 1 - 3.DESCRIPCIÓN Y GRÁFICAS DE LOS CUERPOS EN 3DINTRODUCCIÓNLos cuerpos geométricos son figuras tridimensionales con anchura, altura y profundidad talescomo los poliedros, prismas, icosaedros, esferas, etc.Los cuerpos geométricos son las figuras geométrica...

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CALCULO VECTORIAL

PROYECTO INTEGRADOR ETAPA 1 - 3. DESCRIPCIÓN Y GRÁFICAS DE LOS CUERPOS EN 3D

INTRODUCCIÓN Los cuerpos geométricos son figuras tridimensionales con anchura, altura y profundidad tales como los poliedros, prismas, icosaedros, esferas, etc. Los cuerpos geométricos son las figuras geométricas de tres dimensiones. Existen dos tipos de cuerpos geométricos, los poliedros y las superficies de revolución (o cuerpos redondos). Un poliedro es un cuerpo geométrico de tres dimensiones cuyas caras son polígonos. Las superficies de revolución (o cuerpos redondos) son las figuras geométricas generadas por el giro de una figura del plano alrededor de un eje. En este proyecto desarrolláremos figuras de cuerpos geométricos que observamos en la vida cotidiana, de los cuales veremos sus coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Así como sus gráficas a través del programa octave.

ETAPA 1

DESCRIPCIÓN Y GRÁFICAS DE LOS CUERPOS EN 3D

1.1 CUERPOS GEOMÉTRICOS SÓLIDOS a) Elige tres cuerpos geométricos sólidos que se reconozcan en vida diaria. Esfera: Cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cuyos puntos están todos a igual distancia de uno interior llamado centro. (balón, sol, frutas, etc.)

Cono: Cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada, que termina en un vértice, y un plano que forma su base; en especial el cono circular.

Cilindro: Cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada y dos planos paralelos que forman sus bases; en especial el cilindro circular (pilas, botellas, cilindro de gas, etc.)

b) Investiga cuáles son las posibles ecuaciones que los describen, considerando que el cuerpo en primera instancia es un cuerpo sin masa

Ecuación de la esfera La ecuación de la esfera en el origen es: 𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅2 Es decir que para una esfera con centro (h, k, l) y radio r es: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 + (𝑧 − 𝑙)2 = 𝑅 2 Ecuación del cono 𝑥2 𝑦 2 𝑧 2 + + =0 𝑎2 𝑏 2 𝑐2 Ecuación del cilindro Para un cilindro determinamos la ecuación: 𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑟2 c) Utiliza el programa Octave y realiza lo siguiente: •Utiliza un arreglo de puntos [x, y] conveniente, se sugiere de 300 puntos o más. •Posteriormente al arreglo declara la función que se ha considerado. •Grafica en 3D y se realizan además las curvas de nivel de la misma figura

ESFERA

CONO

CILINDRO

1.2 COORDENADAS POLARES, CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS a) Retoma los tres cuerpos geométricos sólidos que seleccionaste y utiliza ahora coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. ESFERA

𝒙𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐 = 𝑹 𝟐

Coordenadas polares 𝑥 = 𝑟 cos 𝑡 {𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑟 ∈ [0; 𝑅]; 𝑡 ∈ [0; 2𝜋] (𝑟 cos 𝑡)2 +(𝑟 sen 𝑡)2 + 𝑧 2 = 𝑅2 𝑧 = ±√𝑅2 − (𝑟 cos 𝑡)2 − (𝑟 sen 𝑡)2 𝑧 = ±√𝑅2 − 𝑟 2

Coordenadas cilíndricas (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑎 (𝑟, 𝜃, 𝑧) 𝑦 2 + 𝑥2 = 𝑟2

𝑦 𝜃 = arctan ( ) 𝑥 𝑧=𝑧

Coordenadas esféricas 𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠∅

𝑟 = 1; 0 ≤ ∅ ≤ 𝜋; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

CONO 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒛𝟐 Coordenadas polares 𝑥 = 𝑟 cos 𝑡 { 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡 0≤𝑟≤𝑅

0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

𝑅 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜

(cos 𝑡)2 + (𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 + 𝑧 2 = 𝑍 2

𝑧 = ±√(𝑟 cos 𝑡)2 (𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 𝑧 = ±√𝑟 2 = ±𝑟 Coordenadas cilíndricas 𝑥 = 𝑟 cos 𝑡 {𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡

donde

0≤𝑟≤𝑅 0≤𝑡≤2𝜋

(𝑟 cos 𝑡)2 + (𝑟𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 = 𝑧 2 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 𝑧 2 𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) = 𝑧 2 𝑟2 = 𝑧 2 𝑧 = ±√ 𝑟 2

Coordenadas esféricas 𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠∅ Donde 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 𝑚𝑎𝑥 0≤∅≤𝜋

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑧 2

(𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃) 2 + (𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = (𝑟 𝑐𝑜𝑠∅)2

𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 = 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2 ∅

𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ (𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃) = 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2 ∅

𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ = 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 2 ∅

𝑠𝑒𝑛2 ∅ = 𝑐𝑜𝑠2 ∅

𝑡𝑎𝑛 2 ∅ = 1 ∅=

𝜋 3𝜋 = 4 4

𝑡𝑎𝑛2 ∅ = ±1

Se debe graficar para cada valor de ∅ 𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠∅

CILINDRO 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒓𝟐 Coordenadas polares 𝑥 = 𝑟 cos 𝑡 { 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡 Donde 𝑟=𝑅

0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 𝑧𝜀𝑅

Para graficar: (∆) 𝑦 − 𝐻 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻; 𝐻 > 0 Coordenadas cilíndricas 𝑥 = 𝑅 cos 𝑡 { 𝑦 = 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝑡

𝑡 ∈ [0; 2𝜋]; 𝑧 ∈ 𝑅 y 𝑧 ∈ [−𝐻; 𝐻 ] Coordenadas esféricas 𝑥 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠∅ Donde 𝑟=𝑅

0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 0≤∅≤𝜋

𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑟2

(𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃) 2 + (𝑟 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = 𝑅 2 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑟 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 = 𝑅 2 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ (𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃) = 𝑅 2

𝑅 2 𝑠𝑒𝑛2 = 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛2 ∅ = 1

𝑠𝑒𝑛∅ = ±1 ∅=

𝜋 3𝜋 𝑟∅ = 2 2

Conclusión • ¿Existen diferencias significativas u observables en el dominio y en el contra dominio de una función? Si es así, explica brevemente. Sí, dado que el contra dominio es el conjunto de todos los valores resultantes de la vvariabl ariabl ariable e “y”. En el dominio se pueden encontrar los valores que se consideran todo el universo de valores dentro de las funciones y en el contra dominio se cons consideran ideran los valores que correspondan al grupo definido en una función que formen parte del dominio dominio.. ¿Es posible observar diferencias en las gráficas o en las superficies de nivel? Sí, con el software que se ocupa para poder realizar los cuerpos geométricos, se puede notar la diferencia de una form formaa más sencilla sencilla. Cada cuer cuerpo po e stá conformado por diversas figuras geométric geométricas as y también hay que considerar que habrá variaciones dependiendo del ttiip o de coordenadas que nos pidan representar: polares, cilíndricas o esfér esfériicas as. • Complica o facilita el uso de los distintos sistemas coordenados en la gráfica y la descripción de los cuerpos en 3D. Facilita la gráfica de ecuaciones y funciones, pero tienes que estar seguro de tener los recursos suficientes en tu computador para que se puedan renderizar los cuerpos geométricos sin ningún inconveniente y te ten ner cono conocimiento cimiento de lo loss ccomandos omandos de la her herramienta ramienta ramienta.

Nos fa faccili ilita ta la m manera anera en la que podemos utilizar las coordenadas y posteriormente graficar, esto es muy útil a la hora de la utilización de muchos ángulos

ETAPA 2 PPROYE ROYE ROYECTO CTO INTEGRADOR 2.1 Aplicación de fuerzas sobre cuerpos geométricos sólidos a) Retoma los tres tipos de cuerpos geométricos sólidos que elegiste en la etapa 1 de tu Proyecto integrador

Una esfera es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica. Una superficie esférica es la superficie engendrada por una circunferencia que gira sobre su diámetro. Los elementos que conforman a la esfera son: Centro, radio, cuerda, diámetro y polos. Un cilindro es un cuerpo geométrico que está formado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. En matemáticas, también se define como la superficie cilíndrica que se forma cuando una recta llamada generatriz gira alrededor de otra recta paralela, a la que llamamos eje. Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Los elementos de un cono son: Eje: Es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo. Bases: Es el círculo que forma el otro cateto. Generatriz: Es la hipotenusa del triángulo rectángulo

b) Explica desde las bases matemáticas del cálculo vectorial qu  sucede al aplicar diversas fuerzas sobre cada uno de los cuerpos geométricos sólidos en 3D. Las fuerzas son magnitudes vectoriales, ya que no basta con definir el valor con un número y las unidades correspondientes. Así , vemos que una misma fuerza, según cómo se aplique, puede provocar efectos muy diferentes en los cuerpos sólidos. Los cuerpos geométricos sólidos seleccionados los podemos considerar como un sólido rígido. La suma de dos o más fuerzas o vectores no corresponde con la suma algebraica o aritmética de sus módulos. Por ejemplo, la suma de dos vectores de módulos 3 y 2 respectivamente no tiene porqu  dar un vector de módulo 5, como pasa con las magnitudes escalares. Esto es así  porque los vectores tienen dirección y sentido. Cuando dos fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, por medio de una separación d, poseen el mismo valor, dirección y sentido opuesto reciben el nombre de par de fuerzas. Si aplicamos un par de fuerzas sobre un sólido, el valor de la fuerza resultante será 0, ya que al ser paralelas y de sentido contrario ambas fuerzas se anulan. Sin embargo, el valor del momento resultante será la suma de los momentos de cada una de ellas: 𝑀 = 𝐹 · 𝑑 + 𝐹 · 0 ⇒ 𝑀 =𝐹 ·𝑑 Los cuerpos geométricos sólidos pueden ser considerados como un sólido rígido, el cual, puede ser definido como un sistema de partículas cuya distancia permanece constante bajo la acción de fuerzas o momentos, es decir, no se deforma.

c) Para cada cuerpo geométrico sólido identifica planos tangentes y describe de manera más detallada el comportamiento de los campos sobre cada tipo de cuerpo elegido. El plano tangente de una esfera es perpendicular a cualquiera de sus puntos.

El plano tangente de un cilindro se encuentra en donde se identificó el contacto, en la recta L y el punto A.

Para un cono que sus ecuaciones en coordenadas cartesianas son: 𝑍=𝑒

−

𝑥 2+𝑦 2 𝜎2

Se obtiene la ecuación del plano tangente al cilindro en el punto 𝑟0 = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ) 𝐹=𝑒

−

𝑥 2+𝑦 2 𝜎2

−𝑧

2.2 Método de multiplicadores de Lagrange El teorema del valor medio de Lagrange, también denominado teorema de Bonnet-Lagrange, teorema de los incrementos finitos, teoría del punto medio, o simplemente teorema del valor medio establece que si una función es continua en un intervalo [a,b], y derivable en su interior (a, b), entonces existe al menos un valor cϵ(a, b) tal que: 𝑓 ′ (𝑐) =

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎

f′(c) es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto c, y 𝑓 ′(𝑐) =

𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏−𝑎

es la pendiente de la recta secante a la función, que une a y b.

Físicamente quiere decir que en algún momento la variación instantánea debe coincidir con la variación media. b) Describe los puntos extremos dentro de las ecuaciones que explican cada cuerpo geométrico solido elegido, a través del método en mención.

CILINDRO Ecuación 𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑟2

La función es constante independientemente del valor de z, por lo tanto, a través del método de multiplicadores de Lagrange, los extremos se encuentran en z = n min y z = n Max que son las tapas del cilindro.

ESFERA Ecuación 𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅2

Asignando un valor a R^2 para determinar los puntos de la esfera que están más cercanos al punto (3, 1, -1) 𝑑 = √(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 1)2

Maximizamos o minimizamos el cuadrado de la distancia 𝑑 2 = 𝑓(𝑥. 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 3) 2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 + 1)2

La restricción: 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Con base en el método de los multiplicadores de Lagrange, obtenemos 2(𝑥 − 3) = 2𝑥𝜆

2(𝑦 − 1) = 2𝑦𝜆 2(𝑧 + 1) = 2𝑧𝜆

𝑥2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4

Dejamos x, y, z en función de λ y sustituimos en la ecuación 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4 3 2 1 2 1 2 ) =4 ( ) +( ) + (− 1−𝜆 1−𝜆 1−𝜆

Obtenemos que λ = 1+-

√(11) 2

Por lo tanto, los puntos (x, y, z) son: El más cercano (

6

,

2

√(11) √(11)

,−

2

) y el más lejano (−

√(11)

6

√(11)

LAGRAGE GAUSSIANA (CONO) 𝑥2 𝑦 2 𝑧 2 + − =0 𝑎2 𝑏 2 𝑐2

2.3 Proyección de ecuaciones con aplicación de fuerzas

,−

2

,

2

)

√(11) √(11)

Cilindro (Gráfica - Código)

clc; clear all; clc; close all; pts=10; r=1; b=2; x=linspace (-1,1, pts); z=b.*linspace (0,1, pts); [x, z]=meshgrid (x, z); y1=sqrt(r^2-x.^2); y2=-sqrt(r^2-x.^2); surfnorm (x, y1, z); hold on surfnorm (x, y2, z); hold on xlabel ('Eje x'); ylabel ('Eje y'); zlabel ('Eje z');

CONO

2.4 Discusión La graficacion y representación manual de una función tridimensional es algo que requiere de tiempo y precisión, más aún si se desea graficar un plano tangente o una recta normal, puesto que se trata de gráficos en el espacio, por eso mediante el uso de la programación que permite ingresar en qué punto se desea encontrar un plano tangente y una recta normal, es que facilita la tarea de representar estas gráficas. De esta manera, se logra combinar y poner a prueba la teoría donde se logra comprender de mejor manera como se ve un plano tangente en cierto punto y mejorando la comprensión del tema. Por lo tanto, es de suma importancia contar con herramientas como lo son los softwares que permiten el estudio de los planos tangenciales para así poder entender su comportamiento. Finalmente podemos deducir que las fuerzas aplicadas pueden provocar una rotación en los cuerpos 3D y que su rotación dependerá del punto donde la fuerza sea aplicada, por ello resulta de suma importancia conocer el comportamiento de los principios básicos de algunos objetos como lo son la esfera, el cono y el cilindro ya que esta será, en muchas ocasiones, base de la forma de un objeto.

ETAPA 3 PROYECTO INTEGRADOR 3.1 Integración de superficies

b) Identifica las coordenadas cartesianas del centro y de los extremos de la función de cada cuerpo sólido geométrico para poder utilizar las herramientas que vienen en el siguiente punto. CILINDRO

𝑣(𝑠) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16, 𝑥2 + 𝑦2 = 4 Proyección xy 2 √4−𝑥2 ට16−𝑥2−𝑦2

∫2 ∫√4−𝑥2 ∫

ට16−𝑥2−𝑦2

𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

Proyección yz −ξ−12 √16−𝑧2

∫−√16−𝑧2 ∫

∫−4

4

ξ16−𝑥 2

ට16−𝑦2 −𝑧2

ට16−𝑦2 −𝑧2

ξ−12

2

√4−𝑦 2

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 +∫−ξ−12 ∫−2 ∫−√4−𝑦2 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

√16−𝑦 2 −𝑥 2

+∫ξ−12 ∫−ξ16−𝑥2 ∫−√16−𝑦2 −𝑥2 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 3.2 Formulaciones (integración) de volúmenes de los cuerpos sólidos geométricos

Integrales tripes en coordenadas cartesianas 1 √1−𝑥2 1 ∫0 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

4∫0 ∫0

Integrales triples en coordenadas cilíndricas 1 𝜋Τ 2 1

4∫0 ∫0 ∫0 𝑟𝑑𝑧𝑑𝜃𝑑𝑟 Integrales triples en coordenadas esféricas 𝜋Τ 2 𝜋Τ 2 𝑐𝑠𝑐𝜃

6∫𝜋Τ4 ∫0 ∫0

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

ESFERA Coordenadas cartesianas 1

𝑣(𝑠) = ∭ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫

ξ1−𝑥2

∫

ξ1−𝑥 2 −𝑦2

𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

−1 −ξ1−𝑥2 −ξ1−𝑥2 −𝑦 2

𝑥 =

𝑦 =

𝑧 =

1

√1−𝑥2

√1−𝑥2 −𝑦2

1

√1−𝑥2

√1−𝑥2 −𝑦2

1

√1−𝑥2

√1−𝑥2 −𝑦2

∫−1 ∫−√1−𝑥2 ∫−√1−𝑥2 −𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

∫−1 ∫−√1−𝑥2 ∫−√1−𝑥2 −𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

∫−1 ∫−√1−𝑥2 ∫−√1−𝑥2 −𝑦2 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 √1−𝑥2 −𝑦2 1 √1−𝑥2 ∫−1 ∫−√1−𝑥2 ∫−√1−𝑥2 −𝑦2

1

√1−𝑥2

1

√1−𝑥2

∫−1 ∫−√1−𝑥2 ∫

√1−𝑥2 −𝑦2

−√1−𝑥2 −𝑦2

∫−1 ∫−√1−𝑥2 ∫

√1−𝑥2 −𝑦2

𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2

−√1−𝑥2 −𝑦

=0

=0

=0

Proyección x y 2

∫ ∫

ξ4−𝑥 2

∫

−2 −ξ4−𝑥 2

√4−𝑥 2 −𝑦 2

ξ4−𝑥 2

√4−𝑥 2 −𝑦 2

−2 −ξ4−𝑥 2

−√4−𝑥 2 −𝑦 2

2

𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫

−√4−𝑥 2−𝑦 2

∫

𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦

Proyección y z 2

∫ ∫

ξ4−𝑥 2

∫

−2 −ξ4−𝑥 2

√4−𝑥 2 −𝑦 2

ξ4−𝑥 2

√4−𝑥 2 −𝑦 2

−2 −ξ4−𝑥 2

−√4−𝑥 2 −𝑦 2

2

𝑥𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∫ ∫

−√4−𝑥 2−𝑦 2

∫

𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Proyección x z 2

∫ ∫

ξ4−𝑥 2

∫

−2 −ξ4−𝑥 2

√4−𝑥 2 −𝑦 2

2

ξ4−𝑥 2

√4−𝑥 2 −𝑦 2

−2 −ξ4−𝑥 2

−√4−𝑥 2 −𝑦 2

𝑥𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = ∫ ∫

−√4−𝑥 2−𝑦 2

3.3. Graficación de funciones Coordenadas cartesianas syms x y z; dV = 1;

l1 = int (dV, z, 0, 1) l2 = int (l1, y, 0, sqrt(1-x.^2)) l3 = int (l2, x, 0, 1) V = 4*l3

∫

𝑥𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑥

l1 = 1 l2 = (1-x^2) ^ (1/2) l3 = pi/4 V = pi Coordenadas cilíndricas syms r t z; dV = r; l1 = int (dV, z, 0, 1) l2 = int (l1, t, 0, pi/2) l3 = int (l2, r, 0, 1) V = 4*l3 l1 = r l2 = (pi*r) /2 l3 = pi/4 V = pi Coordenadas esféricas syms rho phi theta dV = rho. ^2. *sin(phi) l1 = int (dV, rho, 0, csc(phi)) l2 = int (l1, theta, 0, pi/2) l3 = int (l2, phi, pi/4, pi/2) V = 6*l3 l1 = 1/(3*sin(phi)^2) l2 = pi/(6*sin(phi)^2) l3 = pi/6 V = pi

Para el cilindro, su volumen está dado por:

⬚ ⬚ ⬚

∫⬚ ∫⬚∫𝐷 (𝑥2 + 𝑦2 )𝑑𝑉

Discusión 1. ¿El valor del volumen es el mismo o es distinto cuando se calcula entre cada método? El valor es el mismo, dado que son diferentes formas de resolver un problema. El proceso es el distinto. El valor del volumen se mantiene igual, puesto que, aunque haya diferentes sistemas de coordenadas, en todos es común que las variables cambian, pero los resultados son los mismos. 2. ¿Cuáles son los aspectos más importantes en cada método? Coordenadas cartesianas. Localizar un punto en el espacio dentro de los ejes X y Y. Coordenadas cilíndricas. Generalización de las coordenadas polares del plano a base de extenderlas al eje Z, perpendicular al plano XY. Coordenadas Esféricas. Localización de puntos en el espacio por medio de dos ángulos y de una distancia. Dentro de las coordenadas cartesianas se tiene que son muy utilizadas cuando se está trabajando con espacios bidimensionales o con más de dos dimensiones y generalmente ayudan a localizar puntos Dentro de un mapa, por otra parte, las coordenadas cilíndricas son empleadas cuando hay cilindros involucrados y permiten definir la posición de un punto de un espacio dado, finalmente, las coordenadas esféricas permiten que las variables permiten la representación de la posición de un punto respecto con distancia que existe entre dicho punto, el origen del plano así como los ángulos formados entre dado vector, el eje 𝑧 así como la proyección de dicho vector con el eje 𝑥.

3. ¿Existe o no existen diferencias significativas en el valor de volumen entre cada método? No existen diferencias en el valor, en el proceso sí existen diferencias. No existen diferencias significativas en el valor del volumen Conclusión. El dominio es el conjunto de entradas o coordenadas x. El rango es el conjunto de salidas o coordenadas y. Cuando la cantidad independiente (entrada) y la cantidad dependiente (salida) son números reales, una función puede representarse por una gráfica en el plano de coordenadas. Para el caso de los objetos 3D, las coordenadas son tan importantes ya que constituyen su composición física y nos permiten dimensionar el espacio de un objeto, cualquier variación se verá afectada en la forma del objeto geométrico. Volvimos a usar los cuerpos sólidos con los que se estuvieron trabajando, para lograr dentro de esta fase el cálculo de los volúmenes para cada uno de los cuerpos sólidos mediante la utilización de integrales de volumen utilizando los 3 tipos de sistemas de coordenadas, donde obtuvimos que los resultados son los mismos, debido a que la obtención de volúmenes es totalmente independiente del sistema de coordenadas que se esté utilizando. Referencias Stewart, J. (2012). Cálculo de varias variables [Archivo PDF]. Recuperado de http://intranetua.uantof.cl/estudiomat/calculo3/stewart.pdf Maculet, A. (s. f.). Coordenadas cartesianas: qué son, para qué y ejemplos. Smartick. https://www.smartick.es/blog/ma...