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ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 3Experimento de la tienda de ropa A&BEstudiante:David Alejandro Cadena Fernández – 061Julián Esteban Piñeres - 061Instructora:Mayerly Andrea Martin BaqueroFundación Universitaria del Área AndinaIngeniería de sistemasEstadística y probabilidadNoviembre 2021Contenido INTRO...

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ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 3 Experimento de la tienda de ropa A&B

Estudiante: David Alejandro Cadena Fernández – 061 Julián Esteban Piñeres - 061

Instructora:

Mayerly Andrea Martin Baquero

Fundación Universitaria del Área Andina Ingeniería de sistemas Estadística y probabilidad Noviembre 2021

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Contenido INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................................... 3 OBJETIVOS .............................................................................................................................................. 4 EXPERIMENTO DE LA TIENDA DE ROPA A&B ........................................................................................ 5 PARTE I .................................................................................................................................................... 5 TABLA 1 ................................................................................................................................................... 6 TABLA 2. .................................................................................................................................................. 7 PARTE II ................................................................................................................................................. 10 CONTEXTO. ........................................................................................................................................... 10 TABLA 3. ................................................................................................................................................ 11 CONCLUSIONES....................................................................................................................................... 1 BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................................... 2

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INTRODUCCIÓN La repetición, varias veces, de un proceso de Bernoulli da lugar a la variable aleatoria conocida como variable aleatoria binomial. Una variable aleatoria binomial cuenta el número de veces que se presenta el resultado catalogado como éxito cuando se realiza un número n del proceso de Bernoulli. También Analizaremos la distribución de probabilidad normal, sus elementos básicos, los procesos para transformar una variable normal cualquiera a una conocida como variable alegatoria normal estándar y a partir de ello se hace uso de tablas de probabilidad acumulada para hallar la probabilidad de encontrar un valor de cualquier variable aleatoria normal entre dos valores específicos de la misma.

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OBJETIVOS Maneja adecuadamente distribuciones de probabilidad binomial y afines para aplicarlas en diferentes contextos.

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EXPERIMENTO DE LA TIENDA DE ROPA A&B PARTE I DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que tiene muchas aplicaciones. Está relacionada con un experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento binomial, que tiene las cuatro propiedades siguientes: P1. El experimento consiste en una serie de 𝑛 ensayos idénticos. P2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos resultados se le llama éxito y al otro se le llama fracaso. P3. La probabilidad de éxito, que se denota 𝑝, no cambia de un ensayo a otro. Por ende, la probabilidad de fracaso, que se denota 1 − 𝑝, tampoco cambia de un ensayo a otro. P4. Los ensayos son independientes. CONTEXTO. Considere las decisiones de compra de los próximos tres clientes que lleguen a la tienda de ropa A&B. Situación 1. A continuación, verifique que el experimento de las tres decisiones de compra en la tienda A&B es un experimento binomial. Es decir, observe las propiedades P1 a P4 descritas anteriormente y justifique en cada espacio por qué este experimento es binomial de acuerdo con cada propiedad.

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TABLA 1. PROPIEDADES DEL EXPERIEMENTO DE A&B. Propiedad

Justificación ¿Por qué el experimento en A&B cumple cada propiedad

P1

En este ensayo el cliente ingresa a la tienda A&B a comprar cualquier artículo, se supone que los clientes son iguales y por ende tienen la misma probabilidad de comprar, esto quiere decir que cada ensayo es idéntico. Para cada ensayo existe la posibilidad de compra o no comprar, esto quiere decir que se cuenta con dos probabilidades las cuales son comprar (éxito) o no comprar (fracaso). Si suponemos que los tres clientes son iguales, la probabilidad de que compren siempre va ser igual, lo que sería un 50/50 Si, ya que la decisión de cada cliente de comprar o no, no influye en la decisión que tome otro cliente.

P2

P3 P4

El siguiente diagrama de árbol nos permite advertir que el experimento de observar a los tres clientes para ver si cada uno de ellos decide realizar una compra tiene ocho posibles resultados. Si 𝑆 denota éxito (una compra), y 𝐹, fracaso (ninguna compra), los 8 resultados son: Diagrama de árbol para el experimento de la tienda de ropa A&B.

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Advierta, que 𝑥, la variable aleatoria discreta para este experimento significa el número de clientes que realizan una compra, es decir, 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 Advierta también, que 𝑥, puede tomar 4 valores diferentes, es decir, los valores de 𝑥 = 0, 1, 2 𝑦 3. Por ejemplo, 𝑥 = 2, significa que interesan los resultados experimentales en los que haya dos éxitos, es decir, dos compras, en los tres ensayos. Situación 2. Usted sabe, que por ser este un experimento binomial, ya que presenta sus propiedades, basta conocer los valores de 𝑛 𝑦 𝑝, y utilizar la siguiente ecuación para calcular la probabilidad de 𝑥 éxitos en 𝑛 ensayos.

𝑷(𝒙) = (𝒏 𝒙)𝒑𝒙 (𝟏 − 𝑷)𝒏−𝒙 De acuerdo con la experiencia (posiblemente de algún estudio del año anterior), el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra (éxito) es 0,25. 1. De acuerdo con esta información, calcule las probabilidades para cada valor de la variable aleatoria 𝑥. Para esto, complete la tabla 2.

TABLA 2. n= número de veces que se repite el experimento =3 p= probabilidad de éxito =0.25 q= probabilidad de fracaso =0.75 3 3 𝑃(0) = ( ) . 0.250 (1 − 0.25)3−0 = . 0.753 = 0.421875 0 0(3 − 0)

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3 𝑃(1) = ( ) . 0.251 (0.75)3−1 = 3 . 0.140625 = 0.421875 1(2) 1 3 3 𝑃(2) = ( ) . 0.252 (0.75)3−2 = . 0.252 (0.75) = 3 ∗ 0.046875 = 0.140625 2 2(1) 3 𝑃(3) = ( ) . 0.253 (0.75)3−3 = 1 ∗ 0.015625 = 0.015625 3

X

P(x)

0

0.421875

1

0.421875

2

0.140625

3

0.015625

TOTAL

1

Para cada caso debe mostrar cómo encontró los resultados. 1. Represente gráficamente los valores de la variable aleatoria y sus respectivas probabilidades.

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2. ¿Cuántos clientes se espera que realicen una compra? 𝑬(𝒙) = 𝒏𝒑 𝑬(𝒙) = 𝟑(𝟎. 𝟐𝟓) = 𝟎. 𝟕𝟓 Con este resultado se espera que uno de cada tres clientes realice una compra

3. Calcule la desviación estándar para este experimento y escriba su interpretación en el contexto del experimento. 𝑉𝑎𝑟 (𝑥) = 𝒏𝒑𝒒 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (𝑥) = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 3 ∙ 0.25 ∙ 0.75 𝑉𝑎𝑟 (𝑥) = 0.5625 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛(𝑥) = √0.5625 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛(𝑥) = 𝟎. 𝟕𝟓

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Interpretación Este resultado muestra que cada uno de los ensayos son independientes y que por esto no se genera una diferencia significativa.

PARTE II CONTEXTO. Considere las decisiones de compra de los próximos 5 clientes que lleguen a la tienda de ropa A&B. 1. Explique por qué este experimento es binomial. En este experimento se generan 5 ensayos idénticos, que tratan de si un cliente compra o no compra, obteniendo solo dos resultados posibles, esto nos confirma que los ensayos son independientes y no afectan la decisión de compra de el otro cliente. 2. Elabore un diagrama de árbol que muestre todos los resultados posibles del experimento.

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3. Calcule las probabilidades para cada valor de la variable aleatoria 𝑥. Para esto, complete la tabla

TABLA 3.

X

P(x)

0

0.237305

1

0.395508

2

0.263672

3

0.087890

4

0.014648

5

0.000976

TOTAL

1

X (0) 𝑃(0) = (5 ∙ 0)0. 250 (0.75)5−0 𝑃(0) = (1)1(0.2373046875) 𝑃(0) = 0.2373046875 ∙ 100 𝑃(0) = 23.73046875

X (1) 𝑃(1) = (5 ∙ 1)0. 251 (0.75)5−1 𝑃(1) = (5)0.25 (0.31640625) 𝑃(1) = 0.3955078125 ∙ 100 𝑃(1) = 39.55078125

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X (2) 𝑃(2) = (5 ∙ 2)0. 252 (0.75)5−2 𝑃(2) = (10)0625(0.421875) 𝑃(2) = 0.263671875 ∙ 100 𝑃(2) = 26.3671875

X (3) 𝑃(3) = (5 ∙ 3)0. 253 (0.75)5−3 𝑃(3) = (10)0.015625(0.5625) 𝑃(3) = 0.087890625 ∙ 100 𝑃(3) = 8.7890625

X (4) 𝑃(4) = (5 ∙ 4)0. 254 (0.75)5−4 𝑃(4) = (5)0.00390625(0.75) 𝑃(4) = 0.0146484375 ∙ 100 𝑃(4) = 1.46484375

X (5) 𝑃(5) = (5 ∙ 5)0. 255 (0.75)5−5 𝑃(4) = (1)0.0009765625(1) 𝑃(4) = 0.0009765625 ∙ 100 𝑃(4) = 0.09765625

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4. Represente gráficamente los valores de la variable aleatoria y sus respectivas probabilidades.

5. ¿Cuántos clientes se espera que realicen una compra? 𝐸(𝑥) = 𝑛𝑝 𝐸(𝑥) = 5(0.25) = 𝟏. 𝟐𝟓 Con este resultado lo mas probable es que 1.25 clientes hagan una compra. 6. Calcule la desviación estándar para este experimento y escriba su interpretación en el contexto del experimento.

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𝑉𝑎𝑟 (𝑥) = 𝑛𝑝𝑞 𝐷𝑒𝑠𝑣(𝑥) = √𝑉𝑎𝑟(𝑥)𝑉𝑎𝑟 (𝑥) = 5 ∙ 0.25 ∙ 0.75 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 0.9375 𝐷𝑒𝑠𝑣(𝑥) = √0.9375 𝐷𝑒𝑠𝑣(𝑥) = 𝟎. 𝟗𝟔𝟖𝟐𝟒𝟓𝟖𝟑𝟔 Interpretación Con los resultados obtenidos, se puede confirmar que la varianza 1.25 y la desviación 0.968245836 establece la media y la desviación estándar, esto muestra que existen valores homogéneos, que quiere decir que, entre más clientes, más crecen las posibilidades de comprar en la tienda.

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CONCLUSIONES Con el desarrollo de esta actividad evaluativa, se compren los conceptos de variable aleatoria discreta, distribución de probabilidad binomial, tablas y gráficas de una distribución de probabilidad binomial, valor esperado y varianza de una distribución de probabilidad binomial.

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BIBLIOGRAFÍA Cortés , J. (s.f.). Referente 3. Obtenido de https://areandina.instructure.com/courses/19248 Franco Rodríguez, J., Pierdant Rodríguez, A., & Rodríguez Jiménez, E. (2014). Estadística para administración. Obtenido de https://editorialpatria.com.mx/pdffiles/9789708170062.pdf

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