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Actividad Evaluativa Eje 3

Caso problema: Aplicación de los Conceptos de Limites y Derivada de Funciones de Variable Real en 4 Contexto: Sociodemográfico, Hogar, Lugar de Trabajo y Ciencia. . Presentado Por:

Rubian Dovigama Nacabera

Ingeniería de Sistemas

Presentado a: Silvia Rebeca Vega Riaño Materia

Calculo Diferencial

Fundación Universitaria Del Área andina Año 2021

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Introducción A través de la presente tarea individual, revisamos y evaluamos los conocimientos aprendidos aplicándolos en un caso problema cuya solución exige el manejo siguientes conceptos matemáticos. Objetivos Determinar e interpretar límites y derivadas de funciones de variable real mediante la presentación de un uniforme con tablas y gráficos.

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Tarea eje 3 Caso problema

Situación sociodemográfica La población de un estado viene dada, en millones de habitantes, por la función:

P(t)=

10(t−1) +20 2+( t−1)2

donde t es el tiempo en años. ● Exprese claramente el significado de las variables

P y

t .

 P: Es la cantidad de habitantes de esa población.  T: Es el tiempo medido a partir de un año  Estas dos variables P y T indican la cantidad de habitantes en función de cantidad de años que le indiquemos ● Encuentre el dominio y el rango de la función

P(t).

R/:

● Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.

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R/:

● Determine la derivada, R/:

P´ (t) .

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● Calcule, analítica y gráficamente, la población máxima de manera aproximada. R/: La Población Máxima P(t)=

P(t)=

10(t−1) +20 2 2+ (t−1 ) 10

(( dtd [ t ]+ dtd [−1] ) )( (t−1 ) +2 )−( dtd [ ( t−1 ) ] + dtd [ 2 ] (t−1 )) 2

2

(( t−1 )2 +2) P(t)=

(

10 ( 1+0 )( (t−1 )2 +2 ) −(2 t−1

2

)

d [ t−1 ]+ 0 ( t−1 ) ) dt

( ( t−1 )2 +2 )

2

P(t)=

(−2

( dtd [ t] + dt [−1 ]) ( t−1) +( t−1) +2) 2

( (t−1 )2+2 ) P(t)=

P(t)=

2

2

2 2 10 (−2 (1+0 ) (t−1 ) +(t−1 ) +2)

( ( t−1 )2 +2 )

2

2 10 (2−(t−1 ) )

( ( t−1 )2+2 )

2

● Encuentre el límite cuando t tiende a infinito. ¿qué significa el resultado encontrado? R/: Limite t: limitet → ∞=

10(t−1) + 20 2 2+( t−1)

limitet → ∞=

10 t−10 +20 2+t 2−2 t+1

limitet → ∞=

10 t−10 +20 3+t 2−2 t

limitet → ∞=

10 t−10+20 ( 3+t 2−2 t) 3+t 2−2 t

limitet → ∞=

10 t−10+60+20 t 2−40 t 3+ t2−2 t

limitet → ∞=

−30 t+ 50+20 t 2 3+t 2−2 t

d (−30 t +50+ 20 t 2) dt limitet → ∞= d ( 3+t 2−2 t ) dt limitet → ∞=

−30 t+ 40 t 2 t−2

limitet → ∞=

2(−15 + 20 t ) 2 (t−1 )

limitet → ∞=

−15+20 t t−1 tx

limitet → ∞=

( −15t +20 ) 1 tx (1− ) t

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−15 + 20 t limitet → ∞= 1 1− t

limitet → ∞=

10(t−1) +20 2 2+ ( t−1)

limitet → ∞=

−0+20 1− 0

=20

Situación casera Luis y María tienen una piscina en su jardín y al llegar el verano necesitan cambiar el agua de la piscina. Abren el desagüe y la piscina se comienza a vaciar según la función: t +4−2 v (t )= √ t−2 v expresa el volumen de agua medido en metros cúbicos, y

t expresa el tiempo de

vaciado medido en horas. Investiga, de manera detallada, hacia qué valor se aproxima el volumen de la piscina cuando el tiempo que ha transcurrido se aproxima a 2 horas. Presenta un gráfico y una tabla que faciliten el cálculo. Para tal fin, usted debe realizar las siguientes actividades: ● Encuentre el dominio y el rango de la función

v (t ).

R/:

● Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.

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R/:

●

Determine la derivada,

v ´(t ) .

R/:

● Encuentre el límite cuando t tiende a R/:

2 . ¿Qué significa el resultado encontrado?

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limitet → 2= √

t+ 4−2 t−2

limitet → 2=

1 ( √ t+4−2) t−2

limitet → 2=

1 t−2

limitet → 2= √

t+ 4−2 t−2

limitet → 2= √t +4−2 limitet → 2= √6−2 Respuesta: al ver el siguiente resultado cuando t tiende a 2 este no tiene un límite fijo.

Situación laboral Un comerciante vende camisetas a un grupo de estudiantes que están organizando un viaje de estudios. Para ello llama al proveedor para hacer el pedido de las camisetas y éste se las suministra según la función:

g(w)=

3.25 w+6.75 w

w representa el número de camisetas vendidas y

g(w) representa el precio en dólares

por camiseta. ● Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico. R/:

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● Sabiendo que el comerciante a su vez se las vende a los estudiantes por 8 dólares la unidad. ¿Cuál es el beneficio por camiseta según las camisetas vendidas? R/: Las vende a 8 dólares por unidad al grupo de estudiantes sí w = 1 g (1) =3,25+6,75 = 10 dólares no tiene ningún beneficio por las camisetas vendidas.

● Determine la derivada, R/:

g ´ (w) .

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● ¿Cuánto cobra el proveedor si el comerciante pide 5.000 unidades? R/: g (5000) =

3.25∗5000 + 6.75 5000

g (5000) = 3,25 cada una ● ¿Cuántas camisetas ha de vender para obtener la máxima utilidad? R/: Si las camisetas que adquirió fueron a 10 dólares y las vende a 8 dólares, por mas camiseta que venda no tendrá ninguna utilidad.

Situación científica La presión atmosférica a nivel del mar es de 1,033 kg/c m 2 . A ese valor se le llama una atmósfera. Experimentalmente se ha comprobado que por cada kilómetro de altura respecto el nivel del mar, la presión es de

0,9 veces la presión del kilómetro anterior.

● Escribe una función que dé la presión ( P ¿ en función de la altura ( h ). h

R/: P(h) =

9 ∗1.033 10h

● Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico. R/:

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● Si ascendemos en globo, ¿Qué presión soportaremos cuando nos acercamos a los 5.000 m de altura? R/: Altura Presión 4 6.77,75 4.5 642,97 4.8 622,96 4.9 616,43 5 609,9 La presión que soportaremos a los 5.000 metros de altura es de 0.6099 kg/cm2

● ● Determine la derivada

R/:

P´ (h) .

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● Si subimos indefinidamente, ¿hacia qué valor tiende la presión? R/: Si subimos indefinidamente se toman valores cada vez más grandes de n lo que sería hallar el límite cuando h tiende a infinito ● Queremos ahora descender a una cima que está a 2.000 m de profundidad bajo el nivel del mar, ¿a qué tiende la presión que iremos soportando al bajar? R/: Si descendemos por debajo del nivel del mar los valores de la variable h seria negativos al decirlo que bajamos a los 2km de profundidad tomamos el límite cundo n tiende a -2 y esto nos da 1.275kg/cm2.

Conclusión En conclusión podemos ver que en el taller realizado determinamos e interpretamos los límites y derivadas de funciones de variable real mediante la presentación de un uniforme con tablas y gráficos....