Apuntes de \'Lógica elemental\' de 1º de Filosofía PDF

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LÓGICA ELEMENTAL

Profesor: Alfonso García Suárez Tema 1. Validez argumental, verdad lógica y forma lógica. Introducción La lógica se encarga de estudiar argumentos en torno a una dimensión: su validez o invalidez, no en torno a su veracidad o falsedad. La lógica elemental es una lógica de primer orden y consta de dos partes: la lógica proposicional o de enunciados (se encarga de las conectivas y de los símbolos) y la lógica cuantificacional o de predicados (estudia la complejidad interna de los enunciados y los mecanismos de generalización de enunciados). Un argumento es una secuencia de enunciados o proposiciones de las cuales la última se sigue de las anteriores. La conclusión es una consecuencia de las premisas. Un enunciado es el contenido de una oración declarativa que tiene sentido completo y que es susceptible de veracidad o falsedad. Ejemplos de argumentos: Todos los hombres son mortales. Todos los españoles son hombres. Por tanto, todos los españoles son hombres.

Si es de día, entonces hay luz. Es de día. Por tanto, hay luz.

Un argumento es válido siempre que la conclusión se siga de las premisas o sea consecuencia de éstas. En caso contrario, es inválido. Premisas

Conclusión

V

F

V

F

Hay argumentos válidos e inválidos en los casos 1, 3 y 4.

F

V

F

F

En el caso 2, los argumentos son siempre inválidos, porque si las premisas fuesen verdaderas la conclusión siempre sería verdadera.

(V y F -> valores de verdad).

Si las premisas forman una conjunción y difieren en valor de verdad, es decir, una de ellas es falsa, la conjunción es falsa. Todos los hombres son mortales. Sócrates es un mortal. Luego Sócrates es un hombre.

Todos los mamíferos son herbívoros. Todos los peces son mamíferos. Luego todos los peces son herbívoros.

El primero es un argumento inválido porque la conclusión no se sigue de las premisas. Respecto al segundo, a pesar de ser falso, es válido. Los conceptos modales son los modos en los que una proposición o enunciado sea válido (posibilidad/necesidad interdefinibles a través de la negación). Por ello podemos decir que un enunciado puede ser contingente/necesario. Los enunciados son contingentes cuando pueden ser verdaderos o falsos. Los enunciados son necesarios cuando son necesariamente verdaderos o necesariamente falsos. Un argumento es válido si y sólo si no es posible que sus premisas sean verdaderas y sus conclusiones falsas. Un argumento es válido si y sólo si es necesario que si sus premisas son verdaderas su conclusión sea verdadera. Un argumento es válido si y sólo si su condicional correspondiente es una verdad necesaria.

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Argumentos inductivos y deductivos En los argumentos deductivos las premisas implican explícitamente la conclusión. Un ejemplo de argumento inductivo sería: La luz está encendida. Siempre que la luz estuvo encendida se necesitó combustible. Se necesita combustible.

Estos argumentos son válidos aunque no impliquen lógicamente la conclusión.

En un argumento inductivo, las premisas no implican lógicamente la conclusión, sino que constituyen un buen fundamento para ella, la apoyan en un cierto grado de probabilidad. La validez de un argumento inductivo no descansa sobre la posibilidad, sino sobre la probabilidad.

Enunciados formalmente necesarios y enunciados no formalmente necesarios Se debe hacer una clara distinción entre los enunciados formalmente necesarios y los enunciados no formalmente necesarios. Los enunciados formalmente necesarios son verdades lógicas: Llueve o no llueve. p

o no

El rey está nervioso o no lo está.

p

p

o no

p

Los enunciados no formalmente necesarios son necesarios en virtud de su significado. Ningún soltero está casado.

Ningún senador está casado.

necesario

no necesario

Sucede a menudo que en los enunciados no formalmente necesarios se pueden convertir en enunciados formalmente necesarios, sustituyendo por sinónimos. Ningún hombre no casado es casado. Ningún p que no es q es q. No siempre es posible convertir un enunciado no formalmente necesario en formalmente necesario.

Enunciados formalmente válidos (1) / Enunciados no formalmente válidos (2) 1. Todos los p son q

Si p entonces q

Todos los q son r

p

Por tanto, todos los p son r

Por tanto, q

Esquemas argumentales

2. La policía cree que el asesino huyó del país. Por tanto, el asesino huyó del país. (No es totalmente válido, es válido en función del significado de “sabe”). La lógica formal se ocupa de la validez de los argumentos según su forma, con independencia de su materia o contenido. Un argumento es formalmente válido si y sólo si es un caso de sustitución de un esquema argumental cuyos casos son todos válidos. Un argumento es formalmente válido si y sólo si es válido y sigue siéndolo para toda sustitución uniforme de sus componentes que no son constantes lógicas. La idea de emplear variables (letras) aparece en Aristóteles, quien estudió argumentos llamados “silogismos” y empleaba letras griegas mayúsculas. En el siglo XIX lógicos como George Boole o

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Gottlob Frege iniciaron la lógica simbólica/matemática. La obra decisiva de lógica simbólica es “Begrittsschrift”, de 1879, por Gottlob Frege.

Lógica y lenguaje Un sistema formal es un lenguaje formal al que se le añade un conjunto de axiomas y/o reglas de inferencia. Se caracteriza porque, aunque pueda recibir unos significados, también puede ser abordado desde un punto de vista puramente sintáctico. En un lenguaje formal tenemos en primer lugar una lista de símbolos primitivos que constituyen fórmulas, y en segundo lugar tenemos un conjunto de reglas de formación para combinar esos símbolos formando fórmulas. Los símbolos primitivos son de tres clases: símbolos lógicos, símbolos no lógicos y símbolos auxiliares. Los símbolos lógicos se llaman también constantes lógicas y se les da siempre la misma interpretación. Los símbolos no lógicos pueden recibir diferentes interpretaciones. Los símbolos auxiliares en nuestro caso van a ser paréntesis. Las reglas de formación determinan qué secuencias de símbolos constituyen fórmulas, es decir, expresiones bien formadas. Se las enuncia recursivamente, de modo que es posible determinar en una serie de pasos cuándo en una secuencia de símbolos es una fórmula o no lo es. Cuando a un lenguaje formal se le añade un conjunto de símbolos tenemos un sistema formal. Las reglas de inferencia nos permiten obtener inmediatamente a partir de una o varias fórmulas otra fórmula como conclusión de la regla. Una distinción que es importante es la distinción entre uso y mención de expresión. Madrid es una ciudad (verdadero). Madrid tiene seis letras (falso, el lenguaje tiene reflexividad/Si fuese “Madrid”, sería verdadero; es mencionada). No solamente podemos mencionar palabras, también podemos mencionar expresiones compuestas. “El rey está rabioso o no lo está” es un enunciado analítico. “El actual rey de España” designa a Felipe VI. Cuando utilizamos comillas creamos un nombre, una designación. Los lógicos medievales conocían esta distinción y conocían cuándo una palabra estaba suppositio formalis y suppositio materialis. Asociada a esta distinción está la distinción entre lenguaje objeto y metalenguaje. A menudo tenemos que usar el lenguaje para hablar acerca del lenguaje. El lenguaje acerca del que hablamos lo llamamos “lenguaje objeto” y el lenguaje en el que hablamos es “metalenguaje”. La palabra “woman” tiene plural irregular (“español” metalenguaje, “inglés” lenguaje objeto). The word “mujer” is a noun (“inglés” metalenguaje, “español” lenguaje objeto). En nuestro lenguaje formal el lenguaje objeto tendrá un conjunto de símbolos primitivas y unas reglas de formación, pero vamos a utilizar también variables metalingüísticas.

Tema 2. Conectivas. Podemos representar proposiciones por medio de variables o letras proposicionales; estas proposiciones pueden ser simples o compuestas. en el lenguaje formal vamos a utilizar letras minúsculas a partir de “p” para representar proposiciones simples, esas letras pueden llegar números suscritos para representar más proposiciones. Además, en el lenguaje formal (lenguaje objeto), vamos a tener símbolos lógicos que serán las conectivas proposicionales; estos símbolos nos permiten formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples. En los lenguajes naturales tenemos “no”, “y”, “si”… que nos permiten formar oraciones compuestas; en el lenguaje formal son las conectivas las que se encargarán de esto.

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Símbolos. -

Letras proposicionales: p, q, r, s… Conectivas proposicionales: ¬ , ^, v, ->, Paréntesis: ( ) (símbolos auxiliares).

–Las letras o variables metalingüísticas (representadas por letras mayúsculas A, B, C…) no pertenecen al lenguaje formal, pero las utilizaremos para decir cosas sobre el lenguaje objeto. Fórmulas. Podemos distinguir fórmulas elementales o atómicas (no interviene símbolos lógicos, conectivas) y fórmulas moleculares o compuestas (sí intervienen símbolos lógicos). ¿Qué es una fórmula? 1. 2. 3. 4.

Una letra proposicional es una fórmula. Si “A” es una fórmula, entonces “¬A” es una fórmula también. Si “A” y “B” son fórmulas, entonces “A^B”, “AvB”, “A->B” y “AB” también lo son. No hay más fórmulas que las admitidas por 1-3. ¬

Se denomina negador y se puede traducir por: no, no es el caso de… A las conectivas les vamos a dar un significado según las tablas de verdad (matrices) para averiguar bajo qué conectivas son posibles las fórmulas. Las tablas de verdad se rigen mediante dos principios: el principio de bivalencia, por el cual sólo tenemos dos valores de verdad (V o F), y el principio de no-contradicción, por el que una fórmula no puede recibir los valores de V y F a la vez. A

¬A

V

F

F

V

A menudo la manera de negar un enunciado en el lenguaje natural es poner un negador, pero no siempre es así porque a veces lo que negamos es el predicado. Juan fuma / Juan no fuma Algunos filósofos son suspicaces / Algunos filósofos no son suspicaces

Ambas pueden ser verdaderas simultáneamente, la negación sería: no es verdad que algunos filósofos son suspicaces. ^ Se denomina conjuntor y se suele traducir por: y. La tabla de verdad del ^ siempre tiene dos proposiciones interviniendo, como el resto de conectivas diádicas o binarias. Una conjunción es verdadera si y sólo sus dos componentes son verdaderos, de lo contrario es falsa. Pero hay divergencias entre el A B A^B lenguaje formal y el lenguaje natural. En el lenguaje formal sólo se unen proposiciones completas, pero el lenguaje natural lo podemos V V V utilizar para unir nombres. V F F María y Juan llegaron -> p ^ q (en el lenguaje formal quiere decir: María F V F llegó y Juan llegó). F

F

F

Juan estaba sediento y hambriento -> p ^ q (igual).

Para abordar este problema o divergencia está la estrategia de multiplicar sentidos (P. F. Strawson): el conmutativo (p ^ q = q ^ p) en el que el “y” tiene los valores de verdad del conector ^ (veritativo funcional) y el sentido no conmutativo “y luego”. La otra estrategia es la estrategia pragmática (P. Grice), en la que se distingue el sentido de esas oraciones veritativo funcional y sus implicaciones pragmáticas que comportan esas oraciones en

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un determinado contexto. Así, en el nivel semántico nos ocupamos del significado literal en el nivel pragmático nos ocupamos del uso de un hablante en una determinada situación (implicaduras conversacionales). a nivel pragmático tiene sólo siete hijos Juan tiene siete hijos

a nivel semántico tiene siete hijos y puede que más

Estas implicaciones conversacionales son cancelables añadiendo (por ejemplo) “al menos”.

v

Se denomina disyuntor y se traduce mayormente por “o”. A

B

AvB

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Una disyunción es verdadera si y sólo si al menos uno de sus componentes es verdadero; si ambos componentes son falsos es falsa. En el lenguaje natural distinguimos entre disyunción incluyente o inclusiva (caso débil) y una disyunción excluyente o exclusiva (caso fuerte).

Para obtener el puesto es necesario saber inglés o alemán (incluyente). Menú: sopa o lentejas (excluyente). En latín, incluyente se expresa con “vel” y excluyente con “aut… aut”. Podemos utilizar w para indicar el sentido excluyente. A

B

Aw B

AwB = (AvB)^¬(AvB)

V

V

F

En el sentido incluyente, ambos pueden ser verdaderos, pero en el sentido excluyente sólo uno, los dos no.

V

F

V

F

V

V

F

F

F

-> Se denomina implicador o condicional y normalmente se traduce por “si… entonces…”. A

B

A -> B

V

F

V

V

F

F

Una implicación es verdadera si y sólo si no se da el caso de que su antecedente sea verdadero y su consiguiente sea falso; en caso contrario es falsa. Por lo tanto, la falsedad del antecedente o la verdad del consiguiente son suficientes para la verdad.

F

V

V

A -> B = ¬AvB

F

F

V

A -> B = ¬(A^¬B)

Este uso del implicador fue introducido en lógica contemporánea por G. Frege y fue adoptado por B. Russel y A. N. Whitehead en la obra Principia Mathematica. Russel llama a esto la implicación material (->). Coincide con la definición de Filón de Megara (lógico megárico-estoico). En cambio, Diodoro Cronos da una definición distinta: un condicional es verdadero cuando ni es ni fue posible que su antecedente sea verdadero y su consiguiente falso. Crisipo de Solos lo definiría así: un condicional es verdadero si no es inconsistente afirmar el antecedente y negar el consiguiente.

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Las paradojas de la implicación material: -

-

-

Una proposición verdadera es implicada materialmente por cualquier proposición. p->(q->p) Una proposición falsa implica materialmente cualquier proposición. ¬p->(q->p) Dadas dos proposiciones cualesquiera, o bien la primera implica materialmente la segunda o la segunda implica materialmente la primera. (p->q)v(q->p)

p

q

¬pv(p^q)

V

V

F V V

V

F

F F F

F

V

V V F

F

F

V V F

El lógico americano C. I. Lewis, insatisfecho con la implicación material, introdujo otro tipo de implicación llamada “implicación estricta”, y para representarla usaba un símbolo llamado “anzuelo” (⥽) A⥽B = ¬⋄ (A^¬B)

La implicación estricta es una implicación material necesaria (más fuerte).

A->B = ¬(A^¬B)

(más débil).

El otro símbolo que introdujo C. I. Lewis “◻” (cuadrado) expresa la necesidad. A⥽B = ◻(A->B) Pero la implicación estricta también tiene sus paradojas. -

Una implicación necesaria es implicada estrictamente por otra proposición. ◻p -> (q⥽q) Una proposición imposible implica estrictamente cualquier proposición. ¬⋄p -> (q⥽q)

Una proposición p^¬p sería imposible. 1. 2. 3. 4. 5.

p^¬p p pvq ¬p q

(Dios existe y Dios no existe) (se sigue que Dios existe) (si p es verdadera, entonces q es verdadera “Dios existe y el bastón está en el muro) (se sigue de 1 “Dios no existe”) (es verdadera “el bastón está en el muro”)

Se denomina coimplicador o bicondicional. Se suele traducir por: si y sólo si, cuando y sólo cuando… La tabla del es fácil de obtener mediante la del ->. Una coimplicación es verdadera si y sólo si sus componentes son ambos verdaderos o ambos falsos.

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A

B

AB

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Si quisiéramos podríamos prescindir del y definirlo como una conjunción con doble implicación. AB = (A->B)v(B- >A)

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Tema 3. Simbolización de enunciados en el lenguaje de la lógica proposicional. Con la simbolización sacamos la forma lógica de esos enunciados mediante símbolos. Podemos representar diversos tipos de enunciados mediante la misma conectiva. ¬: no, no es cierto que, no es verdad que… ^: y, pero, aunque, signos de puntuación… -> material: si… entonces…, sólo si, es condición suficiente, es condición necesaria, cuando, en caso de que, supuesto que… A veces es necesario reformular enunciados para evitar la “falacia de la equivocidad”. La besó y le gustó

p (la besó), q (le gustó), r (la golpeó)

La golpeó y no le gustó (p^q)^(r^¬q) En este caso tendríamos una contradicción con “q”; habría que reformular: La besó y le gustó el beso

p (la besó), q (le gustó el beso), r (la golpeó), s (le gustó golpearla)

La golpeó y no le gustó golpearla (p^q)^(r^¬s) También hay que tener en cuenta la agrupación o alcance. En el lenguaje natural, se expresa mediante el énfasis: Viejos libros y cuadernos. Viejos (libros y cuadernos). (Viejos libros) y cuadernos. En el lenguaje formal el alcance se puede indicar por medio de paréntesis: p->(q^r) Alcance largo para el ->, que es la conectiva principal. (p->q)^r El -> tiene alcance corto, la conectiva principal es el ^ Para ahorrar paréntesis vamos a establecer la siguiente jerarquía de conectivas: 1. 2. 3. 4.

-> ^, v ¬

Cuando los signos están en el mismo nivel de jerarquía se necesita paréntesis. La fórmula “p^qvr” es ambigua porque puede ser “p^(qvr)” o “(p^q)vr”. Ahora debemos establecer la distinción entre condiciones necesarias, condiciones suficientes y condiciones necesarias y suficientes. A es condición suficiente para B: A->B

Si A, entonces B

Dominar inglés es suficiente para conseguir la plaza

p->q

A es condición necesaria para B: B->A

B sólo si A

Dominar inglés es necesario para conseguir la plaza

q->p

A es condición necesaria y suficiente para B: AB

A si y sólo si B

Se obtiene la plaza si y sólo si se domina el inglés

pq

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Lo importante es la cláusula que gobierna.

Leyes de Morgan p^q ¬(¬pv¬q)

contrarias

¬p^¬q ¬(pvq)

subalternas

subalternas

Conocidas como Leyes de Morgan, asociadas a éste aunque ya eran conociadas por los lógicos medievales. -

pvq ¬(¬p^¬q)

subcontrarias

¬pv¬q ¬(p^q)

-

Cambio de ^ por v o viceversa. Cambio de signo (¬) de cada componente. Cambio de signo (¬) del compuesto, toda la fórmula. Cada par de sus vértices es equivalente.

· Las contrarias pueden ser ambas falsas, pero nunca ambas verdaderas, es decir, si una es V, la otra será F, pero del hecho de que una sea F no se sabe si la otra es V. · Las subcontrarias ambas no pueden ser F, pero sí V, por lo tanto la falsedad de una implica la veracidad de la otra, pero si una es V, no podemos intuir si la otr...