Apuntes, lecciones 8 - el esfuerzo axil PDF

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Lecci´ on 8

El esfuerzo axil Contenidos 8.1. Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos axiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.2. Deformaciones el´ asticas y desplazamientos debidos a un axil centrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.3. Sistemas hiperest´ aticos sometidos a esfuerzo axil . . . . 107 8.4. Cargas t´ ermicas y faltas de ajuste . . . . . . . . . . . . . 109 8.4.1. Cargas t´ermicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.4.2. Falta de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

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8.1

Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Distribuci´ on de tensiones normales est´ aticamente equivalentes a esfuerzos axiles

Una barra prism´atica trabaja a esfuerzo axil, de tracci´on o compresi´on, cuando al deformarse desarrolla en cada secci´on normal a la directriz de la barra (secci´on recta), tensiones est´aticamente equivalentes a un esfuerzo axil. Esto implica que los esfuerzos cortantes y los momentos flectores y torsor son nulos. Por tanto, la distribuci´ on de tensiones normales, dada por (7.11), queda como N (x) (8.1) S En este tipo de solicitaci´on el eje neutro nunca corta a la secci´ on. Se ha comprobado experimentalmente que en una barra sometida exclusivamente a esfuerzo axil, cualquier secci´on transversal recta y plana, sigue siendo recta y plana tras la deformaci´ on. Es decir, todos los puntos de una secci´on tienen la misma deformaci´on. Si la secci´ on es homog´enea, la distribuci´ on de tensiones es uniforme en toda la secci´ on. El tensor de tensiones en cualquier punto de la secci´ on, es   σx 0 0 (8.2) σ = 0 0 0  0 0 0 σx (x, y, z) =

En la Figura 8.1 se representa la distribuci´on de tensiones correspondiente.

Figura 8.1 Distribuci´on uniforme de tensiones en una secci´on sometida exclusivamente a esfuerzo axil En una barra con secci´on transversal constante sometida a un esfuerzo axil constante, todos y cada uno de los puntos de cualquier secci´ on transversal de la barra, y todas y cada una de las secciones (por tanto todos los puntos de la barra) tendr´ an la misma tensi´on. Si la secci´ on y/o el esfuerzo axil no son constantes, la distribuci´on de tensiones ser´a uniforme en cada secci´on, pero variar´a su valor de una secci´on a otra. Un ejemplo ser´ıa un cable colgado que resiste la acci´on de su propio peso.

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El esfuerzo axil

Figura 8.2 Esfuerzos y tensiones en una secci´on inclinada respecto a la directriz, de una barra sometida exclusivamente a esfuerzo axil El estado tensional en cualquier punto de una secci´ on que no sea recta, como la que se muestra en la Figura 8.2 a), se obtiene descomponiendo la fuerza axil actuante en una componente normal y otra tangencial al plano considerado, como se muestra en la Figura 8.2 b). Las tensiones correspondientes se obtienen al dividir dichas componentes por el ´area S de la secci´on inclinada, tal y como se muestra en la Figura 8.2 c). En la Figura 8.3 se muestra el c´ırculo de Mohr que representa un estado tensional de tracci´on uniaxial. Se comprueba que dependiendo del plano considerado, pueden existir tensiones tangenciales. La m´axima tensi´on tangencial (τm´ax en la figura) corresponde al plano que forma 45◦ con la directriz de la pieza.

Figura 8.3 C´ırculo de Mohr para un estado de tracci´on uniaxial

8.2

Deformaciones el´ asticas y desplazamientos debidos a un axil centrado

Para el estudio de las deformaciones en una barra prism´ atica cargada axialmente se har´ a uso de la ley de Hooke generalizada. Si la secci´on est´ a sometida exclusivamente a un esfuerzo axil en direcci´on del eje x, se verifica que σy = σz = τxy = τxz = τyz = 0. Las ecuaciones de la ley de Hooke (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

εx = εy = εz = γxy = γxz = γyz =

σx − E σy − E σz − E τxy G τxz G τyz G

1 ν (σy + σz ) = [σx − ν (σy + σz )] E E 1 ν (σx + σz ) = [σy − ν (σx + σz )] E E 1 ν (σx + σy ) = [σz − ν (σx + σy )] E E

se reducen a σx E ν = εz = − σx E

εx =

(8.3)

εy

(8.4)

Es decir, adem´as de la deformaci´ on longitudinal unitaria en la direcci´on de aplicaci´on de la carga, ecuaci´on (8.3), se producen deformaciones transversales, ecuaci´ on(8.4). Teniendo en cuenta que la distribuci´on de tensiones normales en una secci´on sometida exclusivamente a esfuerzo axil es N (8.5) S sustituyendo (8.5) en (8.3), el alargamiento unitario en la direcci´on de aplicaci´on de la carga es σx =

N (8.6) ES El alargamiento unitario expresado como una variaci´on del alargamiento longitudinal es εx =

εx =

du dx

(8.7)

Igualando (8.6) y (8.7), se obtiene N du = (8.8) dx ES El desplazamiento u de una secci´ on de abscisa x, seg´ un se muestra en la Figura 8.4, se obtiene a partir de la integraci´ on de la ecuaci´on (8.8): Z x N u= dx (8.9) 0 ES

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El esfuerzo axil

Figura 8.4 Alargamiento de una barra sometida exclusivamente a esfuerzo axil El incremento de longitud de la barra se obtiene a partir de la ecuaci´on (8.9): ∆L =

Z

L 0

N NL dx = ES ES

(8.10)

La expresi´on (8.10) es v´ alida en el caso de ´area y carga constantes. Si la barra est´ a sometida a fuerzas axiles diferentes en varias secciones, o si la secci´on transversal o el m´ odulo de elasticidad cambian a lo largo de la barra, la ecuaci´on (8.10) se aplica a cada uno de los n tramos de la barra donde las magnitudes se˜ naladas anteriormente sean constantes. El incremento de longitud de la barra se obtiene mediante la suma del desplazamiento de cada tramo. n X N i Li ∆L = (8.11) E S i=1 i i

8.3

Sistemas hiperest´ aticos sometidos a esfuerzo axil

La forma de abordar este tipo de problemas hiperest´aticos es planteando las ecuaciones de equilibrio y tantas ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos como grado de hiperestaticidad de la estructura. La barra de la Figura 8.5 a), de un material de m´odulo de elasticidad longitudinal E, est´ a constituida por dos tramos de igual longitud, con secciones transversales circulares de di´ametros diferentes. Est´ a empotrada en ambos extremos. En el centro de gravedad de la secci´ on com´ un a ambos tramos act´ ua una carga axial P.

Figura 8.5 a) Barra prism´atica hiperest´atica sometida a axil. b) Reacciones En los empotramientos A y B, al estar la barra trabajando u ´ nicamente a esfuerzo axil, solo habr´a reacciones horizontales, como se muestra en la Figura 8.5 b). La u ´ nica ecuaci´ on de la est´ atica que puede plantearse es (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

X

Fx = 0, RAx + P + RBx = 0

(8.12)

Se tienen dos inc´ognitas (RAx y RBx ) y una ecuaci´ on (8.12); por tanto, el grado de hiperestaticidad es uno. Es necesaria una ecuaci´on adicional. La disposici´on de los apoyos impide que la longitud de la barra var´ıe, por lo que puede plantearse como ecuaci´ on adicional la ecuaci´ on de compatibilidad ∆L = ∆LAC + ∆LC B = 0

(8.13)

Para resolver el sistema formado por (8.12) y (8.13) es necesario expresar esta u ´ ltima en funci´on de las inc´ognitas hiperest´aticas. La ecuaci´ on NL (8.14) ES expresa el alargamiento en una barra sometida a esfuerzo axil en funci´on del axil (N ), el ´area (S ) y el m´odulo de elasticidad longitudinal del material (E ). En la Figura 8.6 se muestran los s´olidos libres de cada uno de los tramos para el c´ alculo de los esfuerzos axiles. ∆L =

Figura 8.6 a) S´olido libre del tramo AC. b) S´ olido libre del tramo CB Los esfuerzos axiles son Tramo AC : 0 ≤ x ≤ L Nx (x) = −RAx

(8.15)

Nx (x) = − (RAx + P )

(8.16)

Tramo CB: L ≤ x ≤ 2L

Sustituyendo (8.15) y (8.16) en (8.14) y el resultado en (8.13), se obtiene ∆L =

NxAC L NxCB L RAxL (RAx + P ) L − + =− =0 ESAC ESCB ESAC ESCB

(8.17)

De (8.17) se obtiene RAx , RAx = −

P SAC SAC + SCB

(8.18)

Sustituyendo (8.18) en (8.12) se obtiene RBx, RBx = −

P SC B SAC + SCB

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(8.19)

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El esfuerzo axil

Conocidas las reacciones en los apoyos, las leyes de esfuerzos axiles y la variaci´ on de longitud de cada tramo se obtienen sustituyendo las reacciones en las ecuaciones (8.14), (8.15) y (8.16).

8.4

Cargas t´ ermicas y faltas de ajuste

Adem´ as de las cargas externas, existen otras causas que provocan tensiones y deformaciones en las estructuras. En este apartado se estudian dos de ellas: Las cargas t´ermicas La falta de ajuste

8.4.1

Cargas t´ ermicas

Los cambios de temperatura pueden provocar un cambio en las dimensiones de una barra prism´atica. Un aumento de temperatura provoca una dilataci´ on del material y un descenso de la temperatura, una contracci´ on. Esta dilataci´on (contracci´ on) est´ a relacionada con el incremento de temperatura a trav´es de la relaci´on lineal ∆L = α L ∆T

(8.20)

siendo α una propiedad del material denominada coeficiente de dilataci´ on t´ermica. Sus unidades se miden en deformaci´on unitaria por grado de temperatura. ∆T es el incremento (decremento) de temperatura que sufre la barra. Un s´ olido no sujeto a ligaduras, al aplicarle una carga t´ermica, se deforma sin que exista tensi´on en alg´ un punto del mismo. En una estructura isost´ atica tampoco se producen tensiones por la acci´on de cargas t´ermicas, aunque s´ı deformaciones. Finalmente, una estructura hiperest´atica, puede o no desarrollar tensiones debidas a una carga t´ermica dependiendo de la geometr´ıa de la misma y del tipo de carga t´ermica.

8.4.2

Falta de ajuste

Si alguna barra de una estructura se construye con una longitud distinta a la especificada, bien intencionadamente o por fallo en su fabricaci´on, al acoplarla a la estructura, la geometr´ıa de esta es diferente a la dise˜ nada. Si la estructura es isost´atica, la falta de ajuste de una o varias barras no causan deformaciones ni tensiones. Si la barra AC de la estructura de la Figura 8.7 a) tiene mayor longitud que la especificada, al montarla, el punto C descender´a de su posici´on inicial a la C’, pero no se producir´a ning´ un estado tensional en la estructura por esta falta de ajuste. Por el contrario, si la estructura es hiperest´atica, para el montaje de las barras con falta de ajuste es necesario que se deformen otras barras, lo que origina un estado tensional. Si la barra AD de la estructura de la Figura 8.7 b) tiene mayor longitud que la especificada, para que su montaje sea posible, las barras BD y CD deben alargarse y acortarse, respectivamente, para poder ajustarse con la AD. En el montaje, las tres barras sufrir´an deformaciones y en consecuencia estar´an tensionadas al pasar el punto D a la posici´on D’. (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´ erez

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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Figura 8.7 a) Estructura isost´atica con falta de ajuste. b) Estructura hiperest´ atica con falta de ajuste

8.5

Ejercicios propuestos

Ejercicio 8.1 Para la pieza de la Figura 8.8 construida en acero

Figura 8.8 Barra cil´ındrica escalonada sometida a tracci´on Obtener: 1. Las tensiones en cualquier punto de las secciones A-A y B-B 2. El alargamiento total experimentado por la barra 3. Los di´ametros finales de las secciones transversales A-A y B-B Datos: P

= 50 kN

∅AA = 40 mm , ∅BB = 20 mm E = 200 GPa , ν = 0, 3 Soluci´ on: 1. Las tensiones en cualquier punto de las secciones A-A y B-B

σAA = 39, 789 MPa σBB = 159, 155 MPa (c) 2011 Santiago Torrano & D. Herrero P´erez

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El esfuerzo axil 2. El alargamiento total experimentado por la barra

∆L = 0, 388 mm 3. Los di´ametros finales de las secciones transversales A-A y B-B

∅AAfinal = 39, 9976 mm ∅BB final = 19, 9952 mm

Ejercicio 8.2 En la estructura de la Figura 8.9 todas las barras tienen a´rea A y son de un material de m´odulo de elasticidad E. La barra horizontal se considera infinitamente r´ıgida.

Figura 8.9 Barra cil´ındrica escalonada sometida a tracci´on Determinar: 1. Los esfuerzos en las barras 1, 2 y 3 Soluci´ on: 1. Los esfuerzos en las barras 1, 2 y 3

N1 =

P P 7P , N2 = , N3 = 12 3 12

Ejercicio 8.3 El tubo met´ alico cuadrado de la Figura 8.10, de longitud L, lado a y espesor t, se encuentra empotrado en sus dos extremos, trabajando a una temperatura de T (◦ C). Se admite que a esta temperatura el estado tensional en el tubo es despreciable. Se le aplica un incremento de temperatura ∆T .

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Apuntes de Elasticidad y Resistencia de Materiales

Figura 8.10 Barra cil´ındrica escalonada sometida a tracci´on Obtener: 1. La distribuci´on de tensiones en cualquier secci´on transversal de la pieza 2. Las reacciones en los empotramientos Datos:

L = 2 m , a = 40 mm , t = 2 mm E = 210 GPa , ∆T = 20o C , α = 12 · 10−6 m/m/o C Soluci´ on: 1. La distribuci´on de tensiones en cualquier secci´on transversal de la pieza

σx = 50, 4 MPa 2. Las reacciones en los empotramientos

RAx = RBx = 15, 32 kN

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