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Apuntes de M´ etodos Espectrales Manuel Arias Zugasti, y Pedro C´ordoba Torres

´ Ultima modificaci´on: 15 de octubre de 2013

ii

´Indice Prefacio

V

1. Introducci´ on a los M´ etodos Espectrales 1 1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Aproximaci´on por M´ınimos Cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3. Repaso de Teor´ıa de la Aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1. El problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Elecci´on de la base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Galerkin and Orthogonal Collocation Methods 15 2.1. Galerkin method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Galerkin-Tau method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Orthogonal Collocation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1. Orthogonal Collocation-Tau method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2. Efficient implementation of the Orthogonal Collocation Method . . . . . . . . 19 2.3. Application in higher dimensions, complex geometries, and presence of large gradients 21 Bibliograf´ıa

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iii

iv

´ INDICE

Prefacio Contexto y objetivos Las ecuaciones de la f´ısica Todas las ecuaciones de la f´ısica son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP), cuya soluci´on, en la inmensa mayor´ıa de los casos, requiere el uso de m´etodos num´ericos. El objetivo de esta parte del curso es introducir algunos de los m´etodos num´ericos m´as estables y mejor fundamentados matem´aticamente que existen para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: los m´etodos espectrales. S´olo por mencionar unos pocos ejemplos de EDPs de inter´es en f´ısica (usando la notaci´on m´as extendida en cada caso), tenemos las ecuaciones de Navier-Stokes de la Mec´anica de Fluidos1 , las ecuaciones de conservaci´ on de las especies qu´ımicas en una mezcla2 , o la ecuaci´on del calor3 (tan importantes en todas las ramas de la ingenier´ıa y en meteorolog´ıa). Por otra parte tenemos las ecuaciones del Electromagnetismo de Maxwell4 , las ecuaciones de la Relatividad General de Einstein5 , las ecuaciones de la Mec´anica Cu´antica (ecuaci´ on de Schr¨odinger6 en el caso no relativista y 7 de Klein-Gordon para el caso relativista), o la ecuaci´on de evoluci´on de la densidad de probabili1

∂ρ + ∇ · (ρv) = 0, ∂t

ρ

(

∂v + (v · ∇) v ∂t

)

= −∇p + ∇ · τ ′ + ρf

(1)

2

ρ

(

∂Yi + (v · ∇) Yi ∂t

)

= −∇ · j i + Wi

(2)

3

∂T = α∆T ∂t

(3)

4

∇ · D = ρ,

∇ · B = 0,

∇×E = −

∂B , ∂t

∇×H = J +

∂D ∂t

(4)

5

Gµν =

8πG Tµν c4

(5)

6

ℏ2 ∂ψ ∆ψ + V ψ =− 2m ∂t

(6)

1 ∂2 ψ m2 c 2 + 2 ψ = ∆ψ ℏ c 2 ∂t2

(7)

iℏ 7

v

PREFACIO

vi

dad para un sistema estoc´astico (ecuaci´on de Fokker-Planck8 ). Incluso la Mec´anica Cl´asica puede formularse por medio de una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales (la ecuaci´on de HamiltonJacobi9 ) aunque es m´as habitual su formulaci´ on en t´erminos de ecuaciones diferenciales ordinarias 10 (la ecuaci´on de Newton , las ecuaciones de Euler-Lagrange11 o las de Hamilton12 ), por no hablar de la ecuaci´on de ondas13 , o de la ecuaci´on de Laplace14 y podr´ıan citarse f´acilmente otros muchos ejemplos. Todas las leyes de evoluci´ on de la f´ısica pueden expresarse como ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Esto no es sorprendente si tenemos en cuenta que, en general, cualquier ley f´ısica que exprese un principio de conservaci´on para una magnitud descriptible por medio de un campo (una funci´on del espacio, del tiempo, y posiblemente de otros grados de libertad internos) llevar´a a una relaci´on que deben cumplir las derivadas de esa funci´on respecto de sus variables, es decir, a una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales. Desde el punto de vista pr´actico la principal consecuencia es que para hacer una predicci´on sobre la evoluci´on temporal de pr´acticamente cualquier sistema f´ısico es necesario resolver una ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales, el problema es que normalmente ninguna de estas ecuaciones puede resolverse de manera exacta (anal´ıtica) en ning´un caso realista. Esto tampoco es demasiado sorprendente si tenemos en cuenta la gran riqueza de comportamientos observados en los sistemas f´ısicos que vemos a diario, como por ejemplo algo tan com´ un y a la vez tan complejo como la turbulencia en el flujo de un fluido aparentemente sencillo15 a n´umeros de Reynolds elevados, descrita satisfactoriamente por las ecuaciones de Navier-Stokes. Esa gran riqueza de comportamientos posibles es compatible con las ecuaciones de evoluci´ on que expresan las leyes f´ısicas verificadas por esos procesos. Es evidente que una ecuaci´on de evoluci´on capaz de encerrar en el conjunto de sus soluciones tal variedad de comportamientos y de posibilidades no puede ser algo sencillo, susceptible de ser resuelto anal´ıticamente de manera trivial. 8

∂f + ∇ · (U f ) = ∆ (D f) + H ∂t

(8)

( ) ∂S ∂S ∂S H q1 , . . . , qN ; ;t + =0 ,..., ∂t ∂q1 ∂qN

(9)

9

10

F =m

dv dt

(10)

11

∂L d ∂L − =0 ∂qi dt ∂ q˙i

(11)

12

q˙ i =

∂H , ∂pi

p˙i = −

∂H ∂qi

(12)

13

∂2 f = c 2 ∆f ∂t2

(13)

∆f = 0

(14)

14

15 un fluido incompresible con viscosidad constante, formado por un ´ unico componente en una sola fase en ausencia de reacciones qu´ımicas

vii Por tanto, para hacer predicciones sobre la evoluci´on temporal de pr´acticamente cualquier sistema f´ısico tendremos que recurrir a un m´ etodo num´ erico, es decir, una aproximaci´on que transforme los operadores de derivaci´on que aparecen en la ecuaci´on original por operaciones algebraicas, aproximando as´ı la EDP de partida por la correspondiente ecuaci´ on algebraica. Esto implica que la predicci´on que seremos capaces de realizar ser´a necesariamente aproximada (nunca exacta), lo cual tampoco es tan grave si tenemos en cuenta que en la formulaci´ on de la propia ley de evoluci´on que queremos resolver tambi´en se han realizado aproximaciones. La consecuencia m´as grave es que nuestras predicciones estar´an siempre limitadas a un determinado intervalo de tiempo finito. Aunque la regla general es que necesitamos un m´etodo num´erico para hacer predicciones, tambi´en hay casos excepcionales, casos l´ımite, en los que es posible obtener una soluci´on anal´ıtica, o bien de manera exacta (por medio del m´ etodo de las caracter´ısticas o de el de separaci´ on de variables [29, 31, 39], o por medio del an´alisis de simetr´ıa de la ecuaci´on diferencial—invariancia Lie [42]) o bien de manera aproximada (por medio de m´etodos perturbativos o de desarrollos asint´ oticos [37, 40, 41, 43]). El inter´es de los casos l´ımite en los que es posible obtener soluciones anal´ıticas no es meramente acad´emico, ya que gracias a la informaci´on que se extrae de dichos casos es posible generar el conocimiento que permite comprender lo que sucede en situaciones m´as complicadas. Aunque no es el objetivo de este curso, hay que recordar que el traba jo de integrar una ecuaci´on de evoluci´on no termina cuando se encuentra la soluci´ on num´erica, la parte f´ısicamente m´as importante viene despu´es con la interpretaci´ on f´ısica del resultado obtenido y la extracci´on de conclusiones que nos permitir´a hacer predicciones cualitativas para casos similares sin necesidad de hacer ning´un c´alculo. El objetivo en f´ısica o en ingenier´ıa no es generar una soluci´on num´erica sino comprenderla, es decir, alcanzar cierto grado de conocimiento sobre el comportamiento del sistema.

M´ etodos num´ ericos En el c´alculo simb´olico se manejan de manera rutinaria objetos matem´aticos cuya descripci´on completa umero irracional √ precisa una cantidad infinita de informaci´on, por ejemplo un simple n´ (como 2) tiene un n´ umero infinito de d´ıgitos, una funci´on anal´ıtica requiere un conjunto infinito de valores, o de manera alternativa un conjunto infinito de coeficientes de su desarrollo en serie de Taylor, o de Fourier. Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales afectan a objetos matem´aticos que no son nada sencillos, excepto cuando es posible generar una soluci´on anal´ıtica en t´erminos de funciones conocidas. Cuando esto no es posible es preciso emplear un m´etodo num´erico, con el que en primer lugar aproximamos las variables dependientes por una colecci´on finita de datos num´ericos de precisi´on finita (por ejemplo los valores de la funci´on en un conjunto finito de puntos, o unos pocos t´erminos del desarrollo de la funci´on en serie de Fourier), una vez que tenemos esta aproximaci´on, su sustituci´on en las ecuaciones de evoluci´ on nos proporciona las correspondientes ecuaciones algebraicas (o trascendentes), que ya son susceptibles de ser resueltas por los m´etodos est´andar de c´alculo (por ejemplo inversi´on de matrices para resolver sistemas lineales, o el m´etodo de Newton-Raphson para resolver ecuaciones no lineales), al menos de manera aproximada, ya que cualquier c´alculo num´erico nos limita necesariamente a manejar n´umeros de precisi´on finita, es decir, en ´ultima instancia n´ umeros racionales. A pesar de este c´ umulo de aproximaciones normalmente es posible acotar el error que se est´a cometiendo, de tal forma que podemos generar soluciones num´ericas muy precisas. Gracias a la potencia computacional de que se dispone en la actualidad, resolver por m´etodos num´ericos una EDP bien planteada es algo rutinario. En este sentido, los m´etodos espectrales objeto de este curso son algunos de los m´etodos m´as empleados, debido a su alta precisi´on y estabilidad. Dependiendo de c´omo definamos este conjunto finito de datos en el que se va a basar nuestra

viii

PREFACIO

aproximaci´on existen dos grandes familias de m´etodos num´ericos cl´asicos para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: los m´etodos de diferencias finitas [25] y los m´etodos espectrales [12]. Aparte de estas dos familias tambi´en est´an los m´etodos estoc´asticos (como el m´etodo de Monte Carlo), que resulta venta joso respecto de los anteriores cuando el n´ umero de variables independientes es grande (normalmente para 5 o m´ as variables independientes). Diferencias finitas B´asicamente, los m´etodos de diferencias finitas consisten en discretizar las variables independientes con un determinado paso, generando un mallado, de tal forma que las variables dependientes quedan descritas por sus valores en los nodos del mallado y las derivadas quedan aproximadas por las correspondientes diferencias finitas. En ´ultima instancia la justificaci´on matem´atica de este m´etodo reside en la teor´ıa de desarrollos en serie de Taylor para funciones anal´ıticas. Los m´etodos de diferencias finitas son f´aciles de comprender y de implementar, y son eficientes en su dominio de aplicabilidad. El problema de estos m´etodos es que en algunos casos es necesario emplear discretizaciones extremadamente finas, haciendo que sean computacionalmente costosos. La gran venta ja de estos m´etodos, aparte de su facilidad de implementaci´on, es que se adaptan sin demasiada dificultad a geometr´ıas complicadas y a la presencia de fuertes gradientes. M´ etodos espectrales En los m´etodos espectrales se considera a las variables dependientes del problema como elementos de un determinado espacio funcional de dimensi´on infinita, y el conjunto finito de datos con el que aproximamos estas funciones se define como su proyecci´on sobre un subconjunto de dimensi´ on finita del espacio funcional completo. De esta forma obtenemos una colecci´on finita de coeficientes del desarrollo de la funci´on de partida en t´erminos de una determinada base truncada. El ejemplo m´as sencillo de m´etodo espectral consiste en aproximar una determinada funci´on por medio de su desarrollo en serie de Fourier hasta un determinado orden finito (asumiendo que los coeficientes de orden superior son nulos). Este ejemplo nos muestra una diferencia fundamental entre los m´etodos espectrales y los de diferencias finitas. En los m´etodos espectrales los valores de los coeficientes del desarrollo empleado est´an condicionados por los valores de la funci´on en todo su intervalo de definici´on, mientras que los valores en los que se basan las aproximaciones de diferencias finitas s´olo dependen del valor de la funci´on en el punto considerado. Por este motivo se dice que los m´etodos espectrales aproximan la soluci´on de manera global, mientras que los de diferencias finitas lo hacen de manera local. Como consecuencia los m´etodos espectrales son m´as estables que los m´etodos de diferencias finitas para aproximar funciones suaves, pero tienen peor comportamiento en el caso de funciones con variaciones muy fuertes, o con discontinuidades. Los m´etodos espectrales se basan en sustituir la dependencia respecto de algunas variables por un desarrollo en t´erminos de una determinada base truncada del espacio funcional (generalmente de Hilbert) al que pertenece la soluci´on del problema. La gran ventaja de los m´etodos espectrales sobre los de diferencias finitas es que son muy estables y precisos. Gracias a esto es posible obtener soluciones cualitativas por medio de desarrollos espectrales con muy pocos t´erminos (entre 3 y 5) con un coste computacional realmente bajo. En algunos casos es posible obtener soluciones aproximadas de baja calidad (pero que tambi´en proporcionan informaci´on valiosa) de manera anal´ıtica. Esta versatilidad contrasta con la rigidez de los m´etodos basados en diferencias finitas, que no permiten extraer ninguna informaci´on hasta que el mallado es lo suficientemente fino, en cuyo caso la soluci´on que se encuentra es una buena aproximaci´on pero el coste computacional es alto. Por

ix otra parte, si lo que nos interesa es aproximar la soluci´on buscada con gran precisi´on, entonces el coste computacional del m´etodo espectral es comparable al basado en diferencias finitas, pero si realizamos una buena elecci´on para la base espectral la calidad de la soluci´on puede ser mucho mejor gracias al fen´omeno de convergencia exponencial. En cualquier caso los m´etodos espectrales permiten tener un mayor control sobre el error y est´an mejor fundamentados desde el punto de vista matem´atico que los de diferencias finitas. Las limitaciones de los m´etodos espectrales son principalmente la dificultad que tiene su aplicaci´on en casos de geometr´ıa complicada y la dificultad introducida por la presencia de gradientes intensos y/o de discontinuidades. Relaci´ on entre ambos: M´ etodo de Descomposici´ on del Dominio En la aplicaci´on de los m´etodos espectrales para resolver problemas de evoluci´ on, lo m´as habitual es aproximar la dependencia respecto de las variables espaciales de la soluci´on por desarrollos espectrales, quedando los coeficientes de ese desarrollo como funciones del tiempo. Cuando se emplean desarrollos espectrales en m´as de una dimensi´on espacial la base espectral se suele construir como el producto tensorial de las bases espectrales empleadas en cada una de las direcciones, lo cual implica que (en t´erminos de las variables espaciales empleadas) el dominio espacial es un hipercubo. Como consecuencia, si la geometr´ıa del problema es complicada resulta imposible aplicar un m´etodo espectral, en ese caso la u ´nica forma de resolver el problema es con diferencias finitas, empleando mallados desestructurados en el caso de geometr´ıas realmente muy complicadas (como por ejemplo el flujo en torno a los motores de un avi´ on). Si la geometr´ıa no es demasiado complicada el M´etodo de Descomposici´on del Dominio permite resolver el problema dividiendo el dominio original en trozos (subdominios) de geometr´ıa sencilla, e introduciendo posteriormente un desarrollo espectral independiente en cada uno de los subdominios. Este m´etodo tambi´en se aplica con ´exito para resolver casos con discontinuidades y/o gradientes intensos, dividiendo el dominio en subdominios donde la soluci´on es suficientemente suave. En este caso es frecuente combinar la descomposici´on del dominio con cambios de variable o mappings que proporcionan mayor resoluci´on espacial en aquellas zonas donde es precisa. El M´etodo de Descomposici´on del Dominio establece tambi´en un puente entre los m´etodos de diferencias finitas y los m´etodos espectrales, aparentemente independientes. En efecto, es f´acil darse cuenta de que resolver un problema en un dominio determinado por el m´etodo de diferencias finitas usando un mallado muy fino es equivalente a introducir una descomposici´on del dominio muy fina y posteriormente emplear en cada subdominio un desarrollo espectral de orden muy bajo (por medio de un polinomio de orden 1 o, a lo sumo, cuadr´atico). En el otro extremo, la aplicaci´on de un m´etodo espectral puro consiste en no subdividir el dominio espacial de partida y aproximar la soluci´on por medio de un desarrollo espectral de orden muy alto (por ejemplo por un polinomio de grado alto). La opci´on intermedia entre estos dos extremos es el M´etodo de Descomposici´on del Dominio, que consiste en considerar una subdivisi´on del dominio intermedia e introducir un desarrollo espectral de orden intermedio en cada uno de los subdominios. El M´etodo de Descomposici´on del Dominio es la forma ´optima de resolver problemas sobre dominios espaciales extensos, ya que por un lado hereda las venta jas de ambos m´etodos, por otro lado la acumulaci´on de errores de redondeo hace que sea m´as eficiente esta soluci´ on intermedia que aumentar infinitamente el orden del desarrollo espectral o que subdividir infinitamente el mallado para las diferencias finitas, y por u ´ltimo su propia estructura hace que sea f´acilmente paralelizable.

x

PREFACIO

Gu´ıa de estudio Agradecimientos Nos gustar´ıa dejar constancia de nuestro agradecimiento hacia la Free Software Foundation y el proyecto GNU por poner a nuestra disposici´on herramientas inform´aticas gratuitas de verdadera calidad. Este documento ha sido elaborado ´ıntegramente con el procesador de textos LATEX 2ε , los esquemas que aparecen en las figuras se han llevado a cabo o bien en LATEX o bien con el programa de dise˜ no xfig, ambos programas van incluidos en cualquier distribuci´on del sistema operativo gratuito Linux.

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on a los M´ etodos Espectrales El objetivo de esta parte del curso es presentar diversos m´etodos num´ericos basados en desarrollos truncados en t´erminos de bases de espacios de Hilbert, aplicables para resolver de manera aproximada ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, este tipo de m´etodos num´ericos se denominan m´ etodos espectrales. En este tema presentaremos una introducci´on general del curso. El problema que queremos resolver inicialmente es una EDP totalmente general en 1 + 1 dimensiones, que podemos denotar por Df = 0 (1.1) donde f = f (x, t) y el operador D es un operador diferencial respecto de las variables independientes, que llamaremos x y t. En principio supondremos que D es un operador diferencial de orden no superior a dos (aunque esta restricci´on no es necesaria) y supondremos que puede ser un operador no lineal ) ( ∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f , , , ,... (1.2) D = D x, t, f, ∂x ∂t ∂x2 ...