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Übungen zur Analysis 2 1-12...

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PD Dr. Markus Szymik

Thomas Ueckerdt

¨ Ubungen zur Analysis II WS 2011 / 2012

Blatt 1

1. Normspielchen: Betrachte f¨ ur v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn die folgenden Normen. • kvk∞ :=P max {|vi | | i ∈ {1, . . . , n}} n |v | • kvk1 := i=1 pPn i 2 • kvk2 := i=1 |vi | a) Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen. k · k1 ≥ k · k2 ≥ k · k∞ b) Finden Sie f¨ur beliebiges n ∈ N die kleinste Konstante c(n) f¨ ur welche die Ungleichung c(n) · kv k∞ ≥ kv k1 f¨ur alle v in V gilt. 2. Konvexe Mengen: Eine Teilmenge A eines normierten Vektorraumes (V, k · k) heißt konvex, falls f¨ur alle v, w ∈ A die verbindende Strecke vollst¨ andig in A liegt, also falls t · v + (1 − t) · w ∈ A f¨ ur alle t ∈ [0, 1] gilt. Seien p ∈ V und r ∈ R beliebig. Zeigen Sie, dass die Menge {v ∈ V | kv − pk ≤ r } konvex ist. 3. Inverser Phythagoras (Πυθαγoρας ´ ) und der Satz von Thales (Θαλη˜ς): Sei (V, h·, ·i) ein euklidischer Vektorraum und bezeichne k · k die vom Skalarprodukt induzierte Norm (kv k2 := hv, vi). a) Zeigen Sie, dass aus kv + wk2 = kv k2 + kwk2 die Orthogonalit¨at von v und w (bezeichnet durch v ⊥ w) folgt: hv, wi = 0. b) Zeigen Sie, aus kvk = kwk folgt (v + w) ⊥ (v − w).

Abgabe: bis Freitag den 21.10.2011 um 10:30Uhr

PD Dr. Markus Szymik

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Blatt 2

4. Lipschitz-stetige Funktionen: Sei (X, d) ein metrischer Raum, der wenigstens 2 Punkte enth¨ alt. F¨ur jede Lipschitz-stetige Funktion f : X → X definiere die LipschitzKonstante k(f ) durch k(f ) := inf {k > 0 | d(f (x), f (y)) ≤ k · d(x, y ) ∀x, y ∈ X} . a) Bestimmen Sie k(idX ). ur alle Lipschitz-stetigen Abbildungen f, g b) Beweisen Sie f¨ k (f ◦ g) ≤ k (f ) · k (g). c) Zeigen Sie, k(f ) = 0 genau dann wenn f konstant ist. 5. Verallgemeinerter Banach: Sei (X, d) ein nichtleerer, vollst¨ andiger metrischer Raum und f : X → X ur die ein n ∈ N existiert, sodass f n = f ◦f ◦. . .◦f eine beliebige Funktion, f¨ Lipschitz-stetig ist mit k(f n ) < 1. Zeigen Sie, dass f genau einen Fixpunkt hat. 6. Missverstandener Banach: Sei V = C 0 ([0, 1]) mit der d∞ Metrik gegeben durch d∞ (f, g) := sup {|f (t) − g(t)|} = kf − g k∞ t∈[0,1]

und sei

   v(0) = 0, v(1) = 1 ⊂ V. X := v ∈ V  v(t) ∈ [0, 1] ∀t ∈ [0, 1] Desweiteren betrachte f : X → X, gegeben durch [f (v)] (t) := t · v(t). 

a) Zeigen Sie, dass X konvex, abgeschlossen in (V, d∞ ) und beschr¨ankt bez¨uglich d∞ ist. andiger metrischer Raum. Bemerkung: (X, d∞ ) ist also ein vollst¨ b) Zeigen Sie: d∞ (f (v), f (w)) ≤ d∞ (v, w) f¨ ur alle v, w ∈ X . c) Zeigen Sie, dass f keinen Fixpunkt hat und begr¨unden Sie, warum dass kein Widerspruch zum Banach’schen Fixpunktsatz ist. Abgabe: bis Freitag den 28.10.2011 um 10:30Uhr

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Blatt 3

7. Grenzwerts¨atze: Sei (V, k · k) ein normierter Vektorraum. Seien (vn | n ∈ N) und (wn | n ∈ N) darin konvergente Folgen mit Grenzwerten v, w ∈ V . Sei ferner (λn | n ∈ N) eine reelle Zahlenfolge die gegen λ ∈ R konvergiert. Zeigen Sie, dass (λn · vn | n ∈ N) sowie (vn + wn | n ∈ N) gegen λ · v bzw. gegen v + w konvergierende Folgen sind. 8. Die Operatornorm: Sei f : (V, k · kV ) → (W, k · kW ) eine stetige lineare Abbildung zwischen aumen. zwei normierten Vektorr¨ a) Zeigen Sie die folgende Identit¨at. kf k := inf {k > 0 | kf (v)kW ≤ k · kvkV , ∀v ∈ V }   kf (v)kW ! = sup | ∀v ∈ V \ 0 kvkV b) Zeigen Sie, dass die oben definierte Abbildung k · k eine Norm auf dem Vektorraum der steitgen linearen Abbildungen zwischen V und W definiert. 9. Stetigkeit und ihre Folgen: F¨ur ein f ∈ C 0 ([a, b]) sind die folgenden Normen Z b kf k1 := |f (x)|dx und kf k∞ := sup {|f (x)|}. x∈[a,b]

a

definiert. a) Testen Sie die folgenden beiden Abbildungen i, j auf Stetigkeit.     i : C 0 ([a, b]), k · k∞ → C 0 ([a, b]), k · k1     j : C 0 ([a, b]), k · k1 → C 0 ([a, b]), k · k∞ i(f ) := f =:j(f )

¨ ¨ Sie, ob die beiden Normen auf C 0 ([a, b]) aquivalent ufen ¨ b) Uberpr sind. Abgabe: bis Freitag den 04.11.2011 um 10:30Uhr

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Blatt 4

10. Kompakte Mengen sind d¨unn. Sei (V, k · k) ein normierter Vektorraum und K ⊆ V kompakt. Zeigen Sie, dass f¨ur jedes ε > 0 ein endlich-dimensionaler Untervektorraum U (ε) ⊆ V existiert, so dass es zu jedem Vektor k in K einen Vektor u in U (ε) gibt, der kk − uk < ε erf¨ullt. 11. Nicht kompakt! a) Sei (X, δ) eine beliebige Menge X mit der Kronecker-Metrik δ. ( 1 x 6= x′ δ(x, x′ ) = 0 x = x′ Zeigen Sie, dass (X, δ) genau dann kompakt ist, wenn X nur endlich viele Elemente hat. b) Habe X unendlich viele Elemente, so dass nach a) also (X, δ) nicht kompakt ist. Zeigen Sie, dass (X, δ) aber beschr¨ankt und abgeschlossen in (X, δ) ist. 12. H¨aufungspunkte. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Ein Punkt h ∈ X ist ein H¨ aufungspunkt einer Folge (xn ) in X, wenn f¨ ur jedes ǫ > 0 die Menge der nat¨urlichen Zahlen n mit d(xn , h) < ε unendlich ist. Wenn (xn ) konvergiert, dann ist der Grenzwert also ein H¨aufungspunkt. Zeigen Sie: Ist X kompakt, so hat jede Folge einen H¨aufungspunkt. Hinweis: Nehmen Sie an, dass x keinen H¨aufungspunkt habe. Konstruieren ¨ der Form Sie unter dieser Annahme eine offene Uberdeckung [ X= U (h). h∈X

¨ Nutzen Sie diese Uberdeckung und die Kompaktheit von X, um zu einem Widerspruch zu gelangen.

Abgabe: bis Freitag den 11.11.2011 um 10:30 Uhr

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Blatt 5

13. Abgeleitetes Produkt Betrachten Sie die durch 

 x1 f  x2  = x1 · x2 · x3 . x3

definierte Abbildung R3 → R. Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist, indem Sie f¨ur jeden Punkt p des R3 eine stetige Abbildung   σpf : R3 → Hom R3 , R

finden, welche die Gleichung

f (p) − f (x) = σpf (x)(p − x) ost; werten Sie dann σpf an der Stelle p aus um f ′ (p) zu f¨ur alle x aus R3 l¨ erhalten. 14. Elementarsymmetrische Differenzierung Betrachten Sie die durch     x1 x1 + x2 f = x2 x1 · x2 definierte Abbildung R2 → R2 . Zeigen Sie, dass f differenzierbar ist, indem sie wie in der Aufgabe zuvor verfahren. Diesmal ist σpf eine stetige Abbildung R2 → Hom (R2 , R2 ). 15. Nichtabelsches Ableiten Sei V = Hom (R2 , R2 ) und sei f : V → V durch f (X) = X 2 = X ◦ X definiert. Bestimmen Sie f¨ ur jedes P aus V eine stetige Abbildung σPf : V → Hom(V, V ) mit

f (X) − f (P ) = σPf (X)(X − P )

f¨ur alle X aus V . Hinweis: Verkettung ist nicht kommutativ, also σPf (X) 6= X + P . Abgabe: bis Freitag den 18.11.2011 um 10:30 Uhr

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Blatt 6

16. Fixpunktsuche Betrachten Sie die durch   x1  x2   f  ...  = xn

    

xn −n 1+(n−xn )2 xn−1 −(n−1) 1+((n−1)−xn−1 )2

.. .

x1 −1 1+(1−x1 )2



 1   2      +  ..   . n 

gegebene Abbildung f : Rn → Rn . Finden Sie alle Fixpunkte von f . 17. Umkehrableitungen Sei f : X → Y eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei offenen Teilmengen von Banach-R¨aumen, X ⊆ V und Y ⊆ W , und sei f −1 eine ur alle x aus X, dass die differenzierbare Umkehrabbildung. Zeigen Sie f¨ ′ stetige lineare Abbildung f (x) invertierbar ist, und dass das Inverse durch f ′ (x)−1 = (f −1 )′ (f (x)) gegeben ist. 18. Bilinearer Taylor Sei f: V ×V → W eine bilineare, stetige Abbildung. Geben Sie die Taylor-Entwicklung von f (bis zur maximal m¨oglichen Ordnung) an. Zusatz 1. Beschr¨ankte Ableitung Betrachte eine konvexe, kompakte Menge X ⊆ Rn und eine stetig differenzierbare Abbildung f : X → Rm , welche folgende Eigenschaften erf¨ ullt: (i) Es existiert ein A > 0 so dass kf ′ (x)k ≤ A · kf (x)k f¨ur alle x ∈ X (ii) Es gilt f (p) = 0 f¨ ur einen Punkt p ∈ X . Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes f¨ ur Abbildungen, dass f = 0 gilt, also f (x) = 0 f¨ur alle x ∈ X .

Abgabe: bis Freitag den 25.11.2011 um 10:30 Uhr

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Blatt 7

19. Differenzierte Identit¨at a) Berechnen Sie partiellen Ableitungen der durch die folgenden Gleichungen definierten Funktionen f : R3 → R jeweils nach x, y und z .     x x f  y  = x3 + y 3 − 2xy f  y  = x3 cos(y) sin(z) z z     x x x2 − z 2 2 3    y= 2 y f = exp(xy z ) f x + y2 + 1 z z

b) Sei f : R → R eine differenzierbare Funktion und definiere g : R2 → R durch   x = y · f (x2 − y 2 ). g y Zeigen Sie, dass g die partielle Differentialgleichung       ∂g x x x 2 ∂g = x·g + xy · y · y y ∂y ∂x y erf¨ullt. 20. Einfache Ableitungen Betrachte   die Abbildung f : ]0, ∞[×]0, ∞[→ R gegeben durch   1 x ur a = f . = xy . Berechnen Sie f (a), f ′ (a) sowie f (2)(a) f¨ 1 y 21. Differenzierbare Norm Zeigen Sie, dass die Funktion f : R2 → R mit    2  x  x 2  f =  y  = (|x| + |y |) y 1

nicht u¨ berall differenzierbar ist.

Abgabe: bis Freitag den 02.12.2011 um 10:30 Uhr

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Blatt 8

22. Entwicklung Bestimmen Sie die Glieder der Taylor-Entwicklung von f : R2 → R,   x−y x , = f x+y y   1 im Punkt bis zum Term, welcher die zweite Ableitung beinhaltet. 1 23. Differenzierbar oder nicht differenzierbar? Sei f : R2 → R wie folgt gegeben:    0   falls x = y = 0 x f . = 1 (x2 + y 2 ) sin sonst y 2 2 x +y

partiell differenzierbar ist? a) Zeigen Sie, dass f uberall ¨ b) Sind die Funktionen von R nach R    ∂f p ∂f t und t 7−→ t 7−→ ∂x p ∂y t f¨ur jedes fixierte p ∈ R stetig? c) Ist f differenzierbar?

24. Umkehrung leicht gemacht Bestimmen Sie die Punktmenge X ⊆ R2 , wo die Ableitung der Abbildung f : R2 → R2     x+y x = f y xy umkehrbar ist. Ist nun die Einschr¨ankung von f auf X also die Abbildung fˆ : X → R2 ,     x x ˆ 7→ f y y injektiv? Ist sie surjektiv? Abgabe: bis Freitag den 09.12.2011 um 10:30 Uhr

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Blatt 9

25. Inversion am Kreis Sei (V, h·, ·i) ein Hilbert-Raum und f : V \ {0} → V \ {0}, v 7→ v · hv, v i−1 . a) Berechnen Sie die Ableitung von f . b) Betrachten Sie die beiden Teilmengen X := {v ∈ V | 0 < kvk < 1} und Y := {v ∈ V | 1 < kvk} von V . Zeigen Sie, dass f (X) ⊆ Y gilt und entscheiden Sie, ob die Abbildung X → Y, v 7→ f (v), bijektiv ist. 26. Aufl¨osung von Gleichungen Bestimmen Sie, wo die folgenden Gleichungen lokal nach y aufl¨ osbar sind. a) x2 − y 2 = 0 c) x3 + y 3 = 0

b) (x − y )2 = 0 d) x22 + (y − x12)2 = 0

27. Regul¨are Werte Bestimmen Sie, welche Werte der folgenden Abbildungen regul¨ ar sind. a) f : R → R, x 7→ x3 − x b) f : R → R2 , x 7→ (cos(x), sin(x))t c) f : R2 → R, (x, y )t 7→ x  t d) f : R2 → R2 , (x, y)t 7→ x3 − 3xy 2 , 3x2 y − y 3 e) f : R3 → R, (x, y, z)t 7→ xyz f) f : R3 → R2 , (x, y, z)t 7→ (xy, yz)t g) f : R4 → R2 , (x, y, z, w)t 7→ (xz + yw, xw − yz)t h) f : R26 → R4 , (a, b, c, , . . . , z)t 7→ (0, 0, 0, 0)t

Abgabe: bis Freitag den 16.12.2011 um 10:30 Uhr

PD Dr. Markus Szymik

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Blatt 10

28. Der Graph als Untermannigfaltigkeit Seien V, W Banach-R¨aume, X ⊆ V offen und f : X → W stetig differenzierbar. a) Zeigen Sie, dass der Graph von f , gegeben durch G := {(x, w) ∈ X × W | f (x) = w} , eine Untermannigfaltigkeit von V × W ist. b) Bestimmen Sie den Tangentialraum von G an jedem Punkt (x, f(x)). 29. Gruppen als Untermannigfaltigkeiten Betrachten Sie die Abbildungen   x y 4 ∼ 2 2 = xw − yz − 1 f : R = R × R → R, f z w sowie

 x2 + y 2 − 1 x y =  z 2 + w2 − 1  . g : R4 → R3 , g z w zx + wy a) Zeigen Sie, dass die beiden Nullstellenmengen jeweils Untermannigfaltigkeiten des R4 sind. Welche Dimension haben sie? b) Berechnen Sie zu beiden Untermannigfaltigkeiten den Tangentialraum   1 0 an . 0 1 c) Zusatz: Die oben genannten Untermannigfaltigkeiten sind Untergruppen der GL(2, R). Welche? 30. Maximieren auf Untermannigfaltigkeiten a) Sei M die Untermannigfaltigkeit {(x, y, z, w)t ∈ R4 | xw − yz −1 = 0}. Finden Sie die kritischen Stellen der Funktion h(x, y, z, w) = x + w unter der Nebenbedingung M . b) Betrachten Sie die Abbildung g : R5 → R2 gegeben durch g(x, y, z, v, w) = (x2 + y 2 − z 2 − 1, v 2 + w2 − z 2 − 1). Zeigen Sie, dass P : = {(x, y, z, v, w) ∈ R5 | g(x, y, z, v, w) = 0} eine Untermannigfaltigkeit des R5 ist und untersuchen Sie die Funktion f : R5 → R, f (x, y, z, v, w) = x + y + z + v + w auf kritische Punkte unter der Nebenbedingung P . 





Abgabe: bis Freitag den 23.12.2011 um 10:30 Uhr

PD Dr. Markus Szymik

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Blatt 11

31. Konservative Vektorfelder Entscheiden Sie mit Begr¨undung, welche der folgenden Vektorfelder konservativ sind und bestimmen Sie gegebenenfalls eine Potentialfunktion.         x y −y x (ii) v = =− (i) v y x y sin(x)         x 1 1 x (iii) v = = (iv) v y xy y 1 ats und der Fertigen Sie in diesen F¨ allen auch eine Skizze des Phasenport¨ H¨ohenlinien der Potentialfunktion an. 32. Erste gew¨ohnliche Differentialgleichungen erster Ordnung ohnlichen Differentialgleichungen erster Betrachten Sie die folgenden gew¨ Ordnung. (i) (iii)

y ′ − x2 = 0 y′ + y2 − y = 0

y ′ − cos(y)2 = 0 p (iv) y ′ − 3 y 2 = 0

(ii)

Finden Sie f¨ ur die Gleichungen (i) bis (iii) und beliebige Anfangsbedingungen y(0) = y0 jeweils eine L¨osung, machen Sie die Probe, und skizzieren Sie die L¨osungen f¨ur jeweils vier verschiedene Anfangswerte. Beweisen Sie, dass die Gleichung (iv) keine lokal eindeutige L¨ osung f¨ur den Anfangswert y(0) = 0 besitzt. 33. Einige lineare Differentialgleichungen ohnlichen Differentialgleichungen y ′ = f (x, y) von Die vier expliziten gew¨ erster Ordnung mit rechter Seite – also f (x, y) – gleich y + 1,

x(y + 1),

exp(x)y,

exp(x) + y

lassen sich in die Form y ′ = a(x)y + b(x) bringen. Geben Sie jeweils a(x) und b(x) an, finden Sie alle L¨ osungen, und machen Sie die Probe. Welche der Gleichungen aus Aufgabe 32 ist auch von dieser Form? Abgabe: bis Freitag den 13.01.2012 um 10:30 Uhr Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr.

PD Dr. Markus Szymik

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Blatt 12

34. Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung Finden Sie jeweils die maximale L¨ osung der folgenden Differentialgleichungssysteme. (1) x′ = 2x − y, (2) x′ = 2x − y,

y ′ = 2y, x(0) = 1, y (0) = 2 y ′ = x + 2y, x(0) = 0, y(0) = −2

35. Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Finden Sie jeweils die maximale L¨ osung der folgenden Differentialgleichungen. (1) y ′′ + 4y = 0, y(0) = 1, y ′ (0) = 0 (2) y ′′ − 3y ′ + 2y = 0, y(1) = 0, y ′ (1) = −1 36. Inhomogene Differentialgleichungssysteme erster Ordnung Bestimmen Sie jeweils alle maximalen L¨ osungen der folgenden Differentialgleichungssysteme. (1) x′ = y, y ′ = 2 − x (2) x′ = y,

y ′ = −4x + sin(2t)

Abgabe: bis Freitag den 20.01.2012 um 10:30 Uhr...