Calc2-P1-Gabarito - Prova de cálculo 2 PDF

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Prova de cálculo 2...

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CEFET/RJ - Engenharia - C´ alculo a V´ arias Vari´ aveis Professor: Roberto Carlos Antunes Thom´ e e-mail: [email protected] homepage: www.rcthome.pro.br PROVA 01

Nome do Aluno(a): [5,0 pontos] (1) Suponha que vocˆe est´a subindo uma montanha cuja forma ´e dada pela equa¸c˜ao 0, 005x2 + 0, 01y2 + z = 1000, onde x, y e z s˜ao medidos em metros e vocˆe est´a em um ponto P com coordenadas (60, 40, 966). O eixo x positivo aponta para Leste e o eixo y positivo aponta para o Norte. (a) Qual ´e a forma dessa montanha? Fa¸ca um esbo¸co da superf´ıcie dessa montanha. (b) Encontre a equa¸c˜ao do plano tangente `a superf´ıcie da montanha no ponto P . (c) Se vocˆe andar exatamente para o Sul, come¸car´a a subir ou a descer? Com que taxa? (d) Se vocˆe caminhar em dire¸c˜ao ao Noroeste, come¸car´a a subir ou a descer? A que taxa? (e) Em que dire¸c˜ao a inclina¸c˜ao ´e maior? Qual ´e a taxa de eleva¸c˜ao nessa dire¸c˜ao?

[1,0 ponto] (2) Mostre que

5x2 y3 (x,y)→(0,0) (x + 2y 3 )2 + 3x2 y 3 lim

n˜ao existe.

[2,0 pontos] (3) Suponha que f seja uma fun¸c˜ao diferenci´avel nas vari´aveis x e y, onde g(u, v) = f (eu + sen v , eu + cos v). Use a tabela de valores abaixo para calcular gu (0, 0) e gv (0, 0). f g fx fy (0, 0) 3 6 4 8 (1, 2) 6 3 2 5

[2,0 pontos] (4) Um pacote com o formato de uma caixa retangular pode ser enviado como encomenda postal se a soma do comprimento e cintura (per´ımetro da sec¸c˜ao transversal ortogonal ao comprimento) for de, no m´aximo, 108 polegadas (1 polegada = 2,54 cent´ımetros). Determine as dimens˜oes do pacote de maior volume que pode ser enviado como encomenda postal....