Calcolo dei gradi di libertà di strutture semplici e articolate PDF

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Esempi di calcolo di reazioni vincolari...

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Appunti di Fondamenti di Meccanica Strutturale

Anno accademico 2017-2018

Calcolo dei gradi di libertà di strutture semplici e articolate PARTE A Questa parte dell’esercitazione ha come oggetto una serie di esercizi sul calcolo del numero dei gradi di libertà di corpi rigidi nel piano. In particolare sono proposti esercizi a partire da un grado di difficoltà elementare fino a un grado di difficoltà media. CORPO RIGIDO NEL PIANO A) ASTA LIBERA NEL PIANO L’asta è un corpo rigido. Quanti gradi di libertà (DOF) ha un asta nel piano? n-m=l 3-0=3 l=3

Per descrivere la posizione dell’asta possiamo utilizzare ad esempi le tre coordinate xA, yA ed . Intuitivamente possiamo concludere che l’asta nel piano ha tre gradi di libertà. Non essendo presente nessun vincolo. “In generale qualunque corpo rigido non vincolato nel piano ha tre DOF”

B) ASTA INCERNIERATA AD UN ESTREMO Qual è il numero di gradi di libertà (DOF) dell’asta? Uno. Ad esempio .

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C) ASTA INCERNIERATA AD UN CARRELLO Numero di DOF dell’ asta? Due DOF: xA , ed .

D) TRAVE INCASTRATA Numero di DOF della trave o asta incastrata? Nessun movimento possibile. Zero DOF.

OSSERVAZIONE: Abbiamo visto le caratteristiche dei più comuni vincoli nel piano. Ogni vincolo elimina alcuni dei DOF del corpo libero: possiamo schematizzare così i vincoli in base al numero di DOF che eliminano: INCASTRO: m=3 CERNIERA FISSA: m=2 CERNIERA INTERNA: m=2 CARRELLO (APPOGGIO): m=1

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E) LASTRA INCERNIERATA AD UN ESTREMO Numero di DOF? Anche la lastra è un corpo rigido. Nel piano ha n=3. La cerniera ne toglie DUE. n-m=l 3-2=1 DOF

F) ASTA INCERNIERATA IN A ED APPOGGIATA IN B Numero di DOF? Corpo rigido nel piano =3 DOF (n=3) Cerniera Fissa = -2 DOF (m=2) Appoggio = -1 DOF (m=1) Totale 0 DOF (l=0) “Una struttura con zero DOF si definisce ISOSTATICA”

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G) ASTA INCERNIERATA A DUE CARRELLI ORIZZONTALI

Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Appoggio = -1 DOF (m=1) Appoggio = -1 DOF (m=1) Totale 1 DOF (l=1) “Una struttura con un numero di DOF maggiore di zero si dice LABILE o IPOSTATICA”

H) ASTA INCERNIERATA-INCERNIERATA Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Totale = -1 DOF (l=-1) “Una struttura con un numero di DOF minore di zero si dice IPERSTATICA”

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Anno accademico 2017-2018 I) ASTA INCASTRATAINCERNIERATA Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Incastro =-3 DOF (m=3) Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Totale = -2 DOF (l=-2) “Struttura due volte iperstatica”

L) ASTA APPOGGIATA AD UNESTREMO ORIZZONTALMENTE E ALL’ALTRO VERTICALMENTE Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Appoggio =-1 DOF (m=1) Appoggio =-1 DOF (m=1) Totale 1 DOF (l=1) A piacere possiamo prendere xB o yA. Fissata la lunghezza dell’asta ciascuna delle coordinate è legata all’altra. Una sola variabile indipendente.

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M) LASTRA DI FORMA QUALUNQUE INCERNIERATA IN DUE PUNTI NEL PIANO

Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Cerniera FISSA =-2 DOF (m=2) Totale = -1 DOF (l=-1)

SISTEMI DI CORPI RIGIDI N) ASTA INCASTRATA IN A ED INCERNIERATA AD UNA SECONDA ASTA IN B Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n=3 Incastro =-3 DOF (m=3) Cerniera tra due aste =??? Si può vedere che in Totale l= 1 , ad esempio .

Quindi deduciamo che: Cerniera tra due aste =-2 DOF (m=2)

O) ASTA INCASTRATA IN A ED INCERNIERATA A DUE ASTE IN B Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n =3 Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n=3 Incastro =-3 DOF (m=3) Cerniera tra tre aste =??? Si può vedere che in Totale l=2 :

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Appunti di Fondamenti di Mec canica Strutturale Ad esempio

e

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.

Quindi deduciamo che: Cerniera tra tre aste=-4 DOF (m= =4)

P) ASTA INCASTRATA IN A ED E INCERNIERATA A TRE ASTE IN B Numero di DOF? 4 Corpi rigidi nel piano = 4 X 3=12 (n=12) Cerniera tra quattro astee =??? Incastro m=3 Si può vedere che in Totale l = 3 Ad esempio e .:

Quindi deduciamo che: Cerniera tra quattro aste =-6 DOF F (m=6) Possiamo ricavare una regola gen nerale: “Una cerniera fissa toglie 2 DOF F. Una cerniera che collega N corp i rigidi nel piano toglie [2x(N-1)] DOF ” OSSERVAZIONE: Tutti questi esempi sono schemattizzazioni, modelli della realtà. A fronte della a realtà si genera un modello schematico compatibile e si lavora su quello. L’esempio P potrebbe essere e il modello di una struttura reale come in figura a:

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Q) QUATTRO ASTE INCERNIERATE TRA LORO Numero di DOF? 4 Corpi rigidi nel piano = 4 X 3=12 (n=12) Cerniera tra quattro aste : N=4, m=[ 2 x (4-1) ]=6 Totale l=6 Ad esempio xA yA ,

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e :

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R) TRAVE A L INCERNIERATA AD UN ESTREMO Si può vedere come un unico corpo rigido o come due travi una incastrata all’altra, il risultato è lo stesso: Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n =3 Corpo rigido nel piano n=3 Incastro m=3 Cerniera Fissa m= 2 Totale l=1 , ad esempio .

S) PORTALE ZOPPO Si può vedere come un unico corpo rigido o come tre travi una incastrata all’altra, il risultato è lo stesso: Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n =3 Incastro m= 3 Incastro m=3 Cerniera Fissa m= 2 Totale l=0, isostatica.

T) DUE ASTE INCERNIERATE SENZA INTERRUZIONE DI CONTINUITA’ Numero di DOF? Corpo rigido nel piano n=3 Corpo rigido nel piano n=3

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Appunti di Fondamenti di Meccanica Strutturale Cerniera Fissa m= 2 Cerniera tra due aste m = 2 Appoggio m=1 Totale l=1 ad esempio x A OSSERVAZIONE: Se la cerniera avesse interrotto la continuità dell’asta C-D avremmo avuto TRE e non DUE aste, la cerniera mobile avrebbe tolto 4 DOF e in totale avremmo avuto 2 DOF (l=2).

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ESEMPIO DI MODELLIZAZIONE DEI VINCOLI REALI: U) MONTACARICHI La struttura reale montacarichi può essere vista nel piano (immaginiamo di vederla di profilo) come nella figura sotto. Il vincolo reale rappresentato tridimensionalmente per sommi capi appare come sotto:

Il vincolo A impedisce la traslazione orizzontale, ma non quella verticale ne la rotazione. Possiamo schematizzarlo con un carrello verticale con cerniera (-1 DOF) Lo stesso vale per il vincolo B. Il vincolo C (catena su anello) impedisce la traslazione verticale ma non la rotazione e, entro un certo limite, nemmeno la traslazione orizzontale. Possiamo quindi schematizzarlo come un carrello orizzontale più cerniera. In totale la struttura risulta isostatica

.

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