. calculo integral felicitas morales alvarez PDF

Preview

Summary

www.freelibros.org www.freelibros.org www.freelibros.org www.freelibros.org .. . . . . Cálculo integral . para cursos con enfoque .. .. por competencias . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Felicitas Morales Álvarez Doctora en Mat...

Description

www.freelibros.org

www.freelibros.org

www.freelibros.org

www.freelibros.org

.. . . . .

Cálculo integral para cursos con enfoque por competencias

. .. ..

. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Felicitas Morales Álvarez Doctora en Matemática Educativa Centro de Investigación y de Estudios Avanzados-IPN (CINVESTAV-IPN) Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzcalll Ｈｔｅｓｃｾ＠

Revisión técnica María del consuelo Macias González Academia de Ciencias Básicas Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán lzca/R (TESCIJ Enrique Martínez Negrete DlviSlón de Ingeniería en Sistemas Computacionales Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautltlán tzca/O (TESCI) Gabrlela lópez Ballesteros Maestra en Matemática Educativa

www.freelibros.org PEARSON

/

Duosdecatalog:aciónbibliogdfica

MOllALl!S ÁLVAllEZ, FEÚCJTAS

Oi/"1Jllo •urr-JJltllTI ntl'WICOlf oif'.- 1'0' "'*'JfdmdCI

Airo.era cdki6o

PBARSON IIDUCAOON, M6xico, 2014 ISBN: ￁ｲｾＮ｡Ｚ＠

ＹＱＸｾﾷｊｍＲａＭ￳＠

ti.útmláticu

Rirm4to: 2 t x 27 cm

P.ljjj...,: 212

Dirooción Ocncral: Oim:ción Eclucocióo Superior:

Pbilip de la Vega Mario Contreras

Edit0 O y a< b obtenemos Ja fórmula para el cálculo del área de un rectángulo.

J'¡+g

www.freelibros.org b) La integral de/está definida como límtf(x,Xx,-x,_,) , escriblrá como: ..-oo t•t

J.'t +g

0

se

28

UNIDAD 1 Teorema fundamental del calculo

=J..

[f(x) + g(,r)]dx

=

"

11

;.a

;.i

lím [Lf(x, )(.K, -x,_,)+ LKe como:

J :lf 1

La integral converge en 3(1 + Vi.) .

Po r taf olio de ev idencias 10

..

Debamn grupalmenle el significado geoméltico (véase figura 1.18) de que 1 - dx ;! (no existe).

J.

1

X

www.freelibros.org Escriba su conclusión y ejemplifique con otra función de comportamiento similar.

1.10 Integrales impropias 43

Existe otro tipo de integrales impropias que abarcan los casos donde la función por integrar es discontinua en valores específicos de la ''3riable dentro de los llmites de integración. Consideramos en esta secdón dos casos por definir.

Oefl nlclón 6. Si a < b y e> O, cuando la función está definida o es continua \/los valores de x excepto x = a, entonces,

J."•

a J-x ,--a' 2a x+a

a' dx = a' +e lna

1

1 a+x ln--+c.oonx2 < a 1 2a a-x

-

J sec2xdx=tgx+c

Jcsc'xdx =-ctgx+c J secx tgx dx = secx +e

2

Ｍ［］

ｊ

､ｸ ］ｾ＠ = are sen !!.. +e Ja2 -x1 a dx

J Jx 2 ±a2

- ln(x+ Jx'±a')+c

Por supuesto, el estudiante debe ser capaz de comprobar sin ningún problema los

resultados anteriores.

Ejemplo 1

!(x+Jx'+a'} F'(x) = ｾＭＬＮ］ﾭ x + Jx' +a2

J+

X

x2 +a'

x+,/x'+a'

Jx' +a' + x

www.freelibros.org Tal como lo expresa la tabla:

J Jx'dx+a' - ln(x+.Jx'+a')+c

58 UNIDAD 2 Integral indefullila y métodos de integración

Portalollo de evidencias 1 y

Rcin2.2

La interior es la gráfica de una función!cuya antiderivada es F; como sabemos que F(O) = 3 dibuje una gráfica aproximada de F.

Demuestre que

lncx. •

Jdx = lnx+c, pero ｴ｡ｭ｢ｩｾｮ＠

puede expresarse como:

X

La antiderivada o integral se verifica al calcular la derivada de la respuesta;

pero también puede apoyarse gráficamente. Obtenga la gráfica de la función f(x) = .!. y su antiderivada F(x) = lnx + C ó F(x) =In ex. X

Describa el comportamiento de ambos gráficos en su intervalo dado y anote las conclusiones que le pennitan realiU1r dicha comprobación.

Actividad de trabajo 2 . 1

1. Verifique las fórmulas de la tabla 1 usando derivación.

2. Encuentre por integración el área de la rcg!_ón limitada por la recta y = l, el eje de las ordenadas y la curva y= .Jx usando el siguiente método: escribiendo x como función de y. Explique su resultado. 3. La velocidad de una partícula (dada en

está dada por la función:

v(1) = 2t-6 en

'is) y que se mueve en línea recta [0,3]

Encuentre el desplazamiento y la distancia recorrida por la partícula en el intervalo dado.

'%2

4. La aceleración ca y la velocidad inicial de una partlcula que se mueve m línca recta se da a continuación:

www.freelibros.org 0(1)=1 + 6

v(o)=3 re[0,10]

Encuentre la velocidad en el instante t y la distancia recorri.da durante [ll, 10].

2.2

s.

Preguntas de reflexión

Propiedades de la integral indefinida 59

Encuentre la integral indefinida, en su caso, de las siguientes funciones: a)

JJx' dx

g)

b)

J Jzx+ldx

h) Í,Y;.csc2 0d0

e)

J x/idx

d)

Jssdx

e)

j cscO tg(I d(J

t)

f ｾ､ｸ＠

f l/X dx

ｾＧ＠

i) j)

J.'(fr - Jr )dr J.• 3x 2 +2x+l dx X

1

• ¿Entiendo la düerencia que existe entre integral deflllida e indefinida1 • ¿Entiendo la integral como un operador inverso a un operador düercncial? • ¿Comprendo la importancia del uso de la notación en el cálculo integral? • ¿Al obtener la primitiva de una función. soy capaz de distinguir qué parte

del teorema fundamental del cálculo estoy aplicando?

• ¿Entiendo el concepto y la función de la constante de integración? • ¿Soy capaz de obtener una constante cualquiera de integración a partir de la ootiderivada de una función?

_,;¡- Propiedades de la Integral Indefinida Como hemos remarcado, las dos partes del teorema fundamental establecen una conexión entre las antiderivadas y las integrales definidas. Debido a esra relación, la notación o

Jf(x) dx se usa para denotar una integral indefinida. As!, el símbolo Jf

Jf(x) dx significa una primitiva de/oel conjunto de todas ellas. f J(¡c) dx = F(x)

significa

F'(;c) = f (x )

www.freelibros.org la utilidad del teorema fundamemal puede verse mejor si contamos coa una lista de

las antiderivadas más generales. A estas las llamamos integrales inmediatas y son aquellas que ya listamos ea la rabia 1, las cuales pueden verificarse por simple derivación.

60 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

Es importante resolver en este punto dos fónnulas generales, en algunos casos Uamadas también teoremas, y que surgen como consecuencia de la derivación.

Jf(x)d:c + Jg(x)dx Jc /(x)dx= eJf(x)dx

j(f(x) + g(.x))d:c=

EstaS nos dicen que primero hay que encontrar la antiderivada o primiti"11 de una suma de funcionesf{x) y luego sumarla a la antiderivada deg(x). Dicho de otra manera: la integral (primitiva) de una suma será igual a la suma de las integrales o (primitivas).

Thmbién la antiderivada de una función /(x) multiplicada por una constante será equivalente a encontrar la primitiva de la función y después multiplicarla por dicha consiaotc. En resumen: la integral de una constante multiplicada por una función es igual a Ja constante

por la integral de la función. Estas dos formulaciones se conocen como las propiedades más importantes de la integral indefinida y le asignan a esta el carácter de un operador lineal, al igual que su operador inverso, la derivada. las formulaciones anteriores se cumplirán siempre y cuando /(x) y g(x) sean integrables, o bien, teog;m una primitiva propiamente dicha. Pero en esta unidad nuestro objetivo es convertir el proceso de búsqueda de primiti\'llS en algo tan mecá· nico para el estudiante como sea posible. Esto, en el contexto del cálculo integral, se logrará recurriendo principalmente a algunos procedimientos de integración que los matemáticos han ido acumulando a través del desarrollo de esta herramienta poderosa y que se conoce también como "técnicas de integración".

Portafol i o de ev i dencias 2

2cx-x' para toda e > O. Grafique para algunos valores de e, l. sea /(x ) e3 f(x) y observe las áreas encerradas entre las funciones y el eje x. Debatan en equipos y reporten por escrito sus observaciones y conclusiones acerca de cómo están relacionadas las rcspecti"11S áreas gralicadas y la forma de la gráfica.

www.freelibros.org 1

2. Calcule el siguiente lfmite: Um,_0 .!.J.'{1-tg método que utilizó para resolverlo.

X O

21id1. Escriba cada paso y

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 61

Pregunta s de refl exl ón

• ¿Entiendo el concepto de p:imitiva de una función? • ¿Entiendo el proceso de integral como un operador? • ¿Puedo decir cuáles son las dos principales propiedades de la integral indefinida? • ¿Entiendo el significado de que la integral sea un operador lineal?

- -Cálculo de Integrales Indefinidas o técnicas de Integración Hemos decidido llamar a este inciso "técnicas de integración'', debido a que a continuación desarrollamos un conjunto de saberes y anificios (procedimientos o técnicas) que nos permitan obtener las primitlvas deseadas en ｴｾｲｮｩｯｳ＠ de funciones. Esto, al igual que en cualquier técnica, requiere destreza algebraica e ingenio. Algunas de las técnicas desarrolladas han nacido de la prueba y el error, y han mejorado con la práctica; además, cada estudiante le imprimirá su acervo personal o partlcular.

2.3.1 Directas (integrales directas) La íntegración se considerará entonces a partlr de este punto como un procedimiento esencialmente de ensayos. Por ello, para facilitar el trabajo, es conveniente que el alumno elabore o adquiera una tabla de integrales ya conocidas (como las que se presentan en la tabla 2 de esta unidad). Esta tabla de integrales inmediatas permitirá realizar alguna integración ónicameote de la comparación de la expresión diferencial que se desea obtener, con alguna en la tabla. Si se encuentra escrita. entonces ya conocemos la integral. Si no es as!, probaremos algunas manipulaciones algebraicas pira reducirla a una de las fórmulas de las tablas. La tabla 2 se elaboró reescribiendo la 1, pero incluyendo las propiedades o fórmulas de la íntegral indefinida y algunas otras ínmediatas.

Ja.!>la...2. ..ｬｮ Ｎ ｾＦＧＡｬﾷ

ﾷｾ

ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷﾷﾷ ﾷﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ

ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷ ﾷ ﾷﾷﾷ ﾷ ﾷﾷﾷ ﾷ ﾷ ﾷ ﾷﾷ ﾷﾷ ﾷ

ﾷ ﾷ＠ ·······················-

J die +dy+dg= J tlx + J dy+ J dg

(1)

J seo x tlx = - d'- (18) ｸＱｾ｡Ｒ＠ 2a x+a 1 lna+x e, conx 1 < a1 {19) J ｡ Ｒ ｾｸ Ｒ＠ 2a --+ a-x J d< = arcsen -X +e (20) ../d'- -x2 a x1+a1

Ejemplo 2 l. Encuentre

Jx d'>1Ys +1Y> F.sta forma del binomio permitirá usar la entrada ( 1):

2. Obtenga

x'

f --dx. x+2

SOLUCIÓN

ｾ］ｸｬ＠

-2x2 +4x-8+___!!_ (Realizando la divísión) x+2

x+2 J

ｸｾ

Ｒ

､ｸ］＠

J x't1x-2J x1 d.x+4J xdx-8J dx+16J x! 2 =x' 4

3. Obtenga

Ｍ ｾｸＧＫＲ

3

Ｍ ＸｸＫＱＶｮＨ

Ｋ ＲＩＫｃ＠

Jl+cosO dO .

SOLUCIÓN

1-cosO {l+coso)(l-cosO)

l+cosO

Ｒ

1-cosO 1- cos'O

Multiplicar por una unidad (mismo valor en el numerador que en d denominador) es un truco alge-

braico muy recurrente

-a;s O (usando la identidad trigonométrica sen sen O

1

=

20

scn

20

+ cos21J = 1)

cosO (separando el argumento) sen O·sen O

= csc20 - ese Ocot O.

www.freelibros.org Entonces,

dO f l+cosO

Jcsc20d0 -JcscOcotOdO=-ctgO+csco+c

(usando las entradas (10) y (13) de Ja tabla).

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 65

4. Obtenga

Jｸｾｳﾷ＠

SOLUCIÓN

Por simple observación se tiene que ldx es la diferencial de x, pero también la de x + 5; de manera tal que si toda la expresión (x + 5) fuera una nueva variable, por ejemplo 11 = x + S, 1u• ｾｴ･＠

J..!!=_ podría expresarse como: J du. x+5 u sencillo cambio de variable permite usar de manera directa la entrada (5) de

la tabla. Entonces,

In(x+5)+c J..!!=_= x+S

pero u=x+5 J-=lnu+c; "

d1'

2.3.2 Integrales con cambio de variable El cambio de variable reali7.ado en el ejemplo 4 es, como veremos a continuación, muy útil y susceptible de repetirse en algunas otras expresiones del integrando.

Ejemplo 5

= J z(a2 +b2z2)U 2b dz 2b

(Se utiliza aqul la multiplicación por una unidad tir la diferencial]

d(a1

+

,).{ b2z2

r . = 2bz dz)

Si a1 +b2 z2 fueraunanuevavariableu

211

2b

que, a su vez, permitirá compar·

11•

las operaciones principales en este ejemplo se realizaron con el objetivo de complew el valor de la diferencial del argumento de la integral, lo que fue posible gracias a que este contenía ya la variable z multiplicando el radical. Es importante resaltar que la manipulac.ión algebraica solo agregó valores constantes. El uso de esta técnica puede sistematizarse como una fórmula que se basa prin· cipalmeote en el siguiente teorema:

www.freelibros.org

68 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

Teorema

Sify g son funciones continuas 111•

F(g(x)) = J [F(g(x))· g'(x))d.:c.

Ese teorema, a su vez, se deriva de la regla de la cadena para derivación. A este caso se Uama regla de la cadena para integración, la cual nos dice que si F'(g(.:c)) es una función compuesta en g(.:c),

(J·g)(.:c) 111•

F'(g(.:c))=J(g(.:c))

scgúnd T.F.C.

Scgán la regla de la cadena,

!

[F(g(.:c))j = F'(g(.:c))g'(x)

n•

f(g(x))= F'(g(.:c))g'(x) = J(g(.:c))g'(.:c)

Como F(g(.:c))= J f (g(.:c))d.:c 111•

F(g(.:c)) = J J(g(.:c)) g'(.:c)d.:c

Como dice el teorema, la principal dificullad de aplicar la regla de la cadena por integración consiste en poder reconocer dentro del integrando tanto a J(g(.:c)) como a g' (x) , y esta habilidad se logra con la práctica.

Ejemplo 6 l. Encuentre

Jz(a' Ｋ｢Ｇｺｾ＠

dz.

SOLUCIÓN

De hecho se ba retomado el ejemplo anterior, donde es posible reconocer que d

J(g(z))= a2 + b'z2 y, por tanto, g'(z)= - (a2 + b2 z2 }= 2b 2z; como en el argudz mento ya existe z, solo se completa la diferencial pero si se altera el valor de Ja expresión. De esta forma, se multiplica por 1 la expresión y se multiplica f(g(z)) = Ｑ ｾ＠

111..

J

b: 2 b 2z2(a2 Ｋ｢ Ｇ ｺ Ｇｽｾ＠ 1 = - 2-

dz =

Jf(g(z))g'(z)dz

1 f f (u)d11 = - -JuY> du 2

www.freelibros.org b 2

2b

］ ＭＱｾ＠ 2b'

4

u'1 j+c

2 = .2...¡a + b'z' 8b2

J"í +e

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 67

Uaa manera abreviada de aplicar la regla de la cadena para la integración con· siste en sustítuír g(x) por una nueva variable u (o cualquíer otra) y sustítuír g'(;J+c +b 1z1

t

Ｑ

Ｍ

2!>2

Ju"du= 1/

regrcsandoa 11=ll'+b'z'

]% +e

Esta t6cnica de sustituciones ahorra los pasos intermedios que supone la aplicación del teorema y es también la razón por la que a este método se le conoce como de sus1ituci6n.

Ejemplo 7 l. Obtenga SOLUCt ÓH

J

ian x dx.

sen-,entonces x reescn'b'irnos: e.omo sabemosque tanx = cosx

scox

Jianxdx= J--dx cosx

=Jse¡fx Ｎｾ＠ u - sirox =

ｊｾＢ＠

Sea 11 =cosx d11 =-senxdx

､ｸ］ｾ＠

Se sustituyen es· tos resultados en la integn¡J

-senx

=-lnu+C

= ln{cosx)- 1 +C = lnsecx + C

www.freelibros.org El resultado puede verificarse en la entrada (14) de la tabla 2.

2. Encuentre

J(Ja-Ji)' Ji di, donde a es una conswnie.

68 UNIDAD 2

Integral indefinkla y métodos de integración

SOLUCIÓN

Sea

u= (Jü - Ji )=(a}1_,Y, ) d11= - .!.1Yz d1 2

dt= - 21Yz du Sustituyendo en el integrando:

ｊＨ ｊ ｾ ｊｩ ＧＩ ､ｴ ］＠

J 5r(-z ;X'du}=-2Ju3du 1

=-.!. u'+c =--(Jü- Ji)' +e 2

3. Obtenga

J

(sen x )'cosxdx.

SOLUCIÓN

Sea u=seox du = cosxdx

ｊｲ ｾ

dx = _!!!!_ cosx

4. Obtenga

-2

ＨｾＩ

］＠

J u'd11

• e =.!!..+ 4

sen'x

=--+e 4

J

baJ• dz,

SOLUCIÓN

Sea u=3z

Jba'' dz = f;Ja"du

du =3z

=- -

b a• +C (Según la entrada 3 In 11 (6) de la tabla 2).

ba3•

du

dz =-3

=-+e 3 lna

Observación: El mélodo de sustitución es muy ótil siempre y cuando se tenga presente la derivada de las funciones básicas; esto facilita al reconocimiento de g(x) y g' (,tenga

J

3x2 - 51

d:x. v/x3 -51x+23

SOLUCIÓN

Puede hacerse un cambio de variable de la forma u = x' - 5lx + 23; de esia manera, la diferencial de uestará dada por du = (3x3 - 51 )d:x. Luego,

J,/x - 5lx + 23 d:x --J.!!!. Jü 3x2 -51

1

1

=

1

J11>du =Zu>+c=2Jü+c

= 2J x3 - 5lx + 23+C Observodón: Después de introducir el cambio de variable. la solución de ta integral debe estar expresada en 1érminos de la variable original. 3. O>tenga

1x2

J4x +2 d:x. 3

SOLUCIÓN

Se hace u = 4x' + 2, de esta forma, la diferencial de 11 está dada por d11 = 12.t2d:x. En el integrando se multiplica por 12 y divide enll'e 12, para obtener la diferencial dll. Luego

'

1x2

J 4x3 +2

tbc= -7

12

J

12x 2 d:x= -7 J -1du= -7 ln lu l+ C 4x3 +2 12 u 12

www.freelibros.org = 2.ln l4x 3 + 21 +C 12

2.3 C!lculo de integrales inde6nidAs o técnicas de integ...,i6n 71

4. Obtenga ｪＨｸ

Ｓ ＭｴＩｾＸｸＲ＠

dx.

SOLUCIÓN

Sea u= Sx-2.x", du= (8 - 8x')dx = - 8(x' - l)d.c. Luego, multiplicando ｰｯｲＨｾＩ＠ dividiendo entre (-8) el integrando para obtener d11, se tiene:

5.

Obtenga

y

3x 2 - x

J 3x+2 dx.

SOLUCIÓN

3x1 -x Primero se divide la fracción impropia y se obtiene 3x + 2 Luego.
...