Cálculo Numérico 01 - Introdução ao Calculo PDF

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Cálculo Numérico

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO NUMÉRICO

APRESENTAÇÃO

C

aro aluno seja bem-vindo! Estamos começando, hoje, a disciplina de Cálculo Numérico e estou contando com você, com a sua disposição para muito esforço

e dedicação.

Essa disciplina irá elucidar, o máximo possível, o conjunto básico de

ferramentas que proporcionam soluções para problemas matemáticos que possam ser resolvidos por meio de operações aritméticas. Evidentemente, essas ferramentas – ou mais precisamente, métodos numéricos – invariavelmente provocam uma considerável quantidade de cálculos matemáticos muitas vezes tediosos e de passos repetitivos. Contudo, com o uso do computador, a aplicação desses métodos na resolução de problemas, que resolvem, por programação, essa grande quantidade de operações, tem tomado espaço significativo na solução de problemas, seja na engenharia ou em qualquer área em que a matemática seja utilizada para simular eventos naturais ou físicos. Estaremos, então, ao longo do nosso estudo, refletindo sobre o conhecimento necessário para trabalhar com diversas técnicas numéricas. Neste módulo vamos estudar qual os fundamentos dos métodos numéricos, conceito da expressão e objetivo. Bons estudos e boa aprendizagem!

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao final do módulo, espera-se que o aluno seja capaz de: •

Compreender a necessidade dos estudos dos diversos métodos numéricos;

•

Adquirir entendimento necessário sobre a importância dos métodos e sua aliança aos computadores;

•

Entender que alguns fundamentos matemáticos são necessários para o estudo do

FICHA TÉCNICA

cálculo numérico.

FUMEC VIRTUAL - SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes Paixão Transposição Pedagógica Riane Gervásio

Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M. Valadares Design Multimídia Paulo Roberto Rosa Júnior

BELO HORIZONTE - 2019

Infra-Estrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva AUTORIA Prof. Elmo Alves

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO NUMÉRICO

Introdução Nosso primeiro objetivo é discutir de forma breve

Muitos dos métodos que estudaremos aqui

a grande capacidade dos métodos numéricos.

datam dos primórdios do estudo matemático e,

Cabe aqui, entretanto, estabelecermos uma

evidentemente, com o advento da calculadora

diferença conceitual entre os temos cálculo

(até mesmo mecânica) a utilização desses

numérico e métodos numéricos.

métodos se tornou cada vez menor. Contudo, podemos dizer que a forma de construção

Temos que cálculo numérico é o processo o

– ou mesmo a forma de processamento

qual se utiliza de alguma técnica numérica

ou programação – dos computadores se

(e aqui entendemos esse termo como

utilizou o poder do cálculo numérico para

sendo caracterizado pelo uso de operações

seu indiscutível poder e status adquirido na

aritméticas simples, tabelas, funções, etc., ou

capacidade de soluções de problemas. O

seja, métodos numéricos) na solução de um

casamento dos métodos numéricos com a

problema. Um grande potencial se encontra

computação digital criou então o poder de

ao manipularmos esses métodos, entretanto

analise que possibilita o manejo de enormes

nos deparamos com uma ou outra limitação

equações simultâneas que modelam uma

ou imprecisão nos resultados.

situação física real, onde se evidencia uma

Os métodos numéricos conseguem resolver uma enorme quantidade de problemas matemáticos e até mesmo situações da física, mesmo empregando unicamente operações aritméticas e a agilidade do processo pode ser acelerada pelo uso dos computadores que, como já foi mencionado, pode se ocupar com o processamento dos cálculos ou iterações sucessivas ou repetitivas, porém necessárias.

grande quantidade de variáveis envolvidas.

Os métodos anteriores ao surgimento do computador, utilizados nas soluções de problemas se restringiram, basicamente, a três situações. Sendo estas exatas, gráficas e as que envolviam cálculos manuais (por meio de réguas de cálculo – pesquise sobre elas!). Os cálculos manuais costumam serem vagarosos e enfadonhos, provocando erros ou enganos normais quando tarefas manuais são realizadas em grande número. Desde o final da década de 1940, a multiplicação e disponibilidade de computadores digitais iniciou-se uma explosão do fluxo no processamento de dados e de cálculos. Em princípio, este crescimento ficou limitado aos enormes computadores, fazendo com que muitos engenheiros ainda trabalhassem de forma analítica na busca de soluções de seus problemas. Mas essas soluções possuem valor prático limitado devido ao fato de que, na grande maioria, os problemas reais não são lineares, envolvendo formas mais complexas. Mas com o desenvolvimento dos computadores pessoais e de baixo custo, assim como as calculadoras programáveis, ocorreu o acesso às pessoas às poderosas capacidades da Computação. Dessa forma, acredito então que você comece a questionar sobre a real necessidade do estudo dos métodos numéricos. As razões para isso não são poucas, mas posso citar algumas:

Os métodos

m

se apresentam

como ferramentas

as destinadas às

soluções de proble

is, seja por meio

das manipulações

ndes equações

lineares ou mesmo d

geométricas mais

elaboradas, o que

m na engenharia

e que se torna de d

Inúmeros softwares baseados nos mét e o conhecimento

rciais são numéricos, s facilita o uso

dessas ferrament

ução analítica.

Os métodos numéricos são ferramentas eficientes para os comput a maneira

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erecidos por grande escala,

como serão estudados mais a frente.

Na solução de problemas, ao utilizarmos os métodos numéricos, encontramos, entretanto, algumas dificuldades: 1.

Nenhum fenômeno físico pode ser exatamente simulado por um modelo matemático, devido à enorme quantidade de variáveis envolvidas;

2.

Nenhum método numérico é completamente exato;

3.

Não há um método numérico perfeito para todas as situações.

Dessa forma, um estudo se faz necessário. Trata-se dos erros e das precisões necessárias a cada situação. Mas isso veremos à frente.

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Introdução ao Cálculo Numérico

Conhecimentos prévios necessários Parece desnecessário dizer que alguns conhecimentos básicos se fazem presentes antes de iniciarmos os estudos de cálculo numérico. Trata-se do entendimento dos fundamentos matemáticos. Mas abaixo relaciono alguns itens mais comuns que devem ser já bem entendido por você. E se não o forem, cabe um estudo ou releitura.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Que é um grupo de equações que procuram um conjunto de valores que satisfaça, ao mesmo tempo, a todas as equações lineares do grupo. O uso dessas equações aparece em uma considerável quantidade de situações e problemas em diversas disciplinas na engenharia. Quando o assunto se referir a transformar um fenômeno ou situação em uma equação matemática que o descreva (o que denominamos modelagem, lá estará a possibilidade de utilizarmos um sistema de equações lineares.

Exemplo:

x2

Solução

x1

Sejam conhecidos os valores de

a1 ,a2 ,b1 ,b2 , c1 e c2 , encontre x1 e x2 :  a1x1 + b1 x 2 = c 1  a2 x1 + b2 x 2 = c2

Nota-se aqui que cada solução, que seria indicada pela interseção de duas (como nesse exemplo) ou mais equações, é o local comum que responde à todas as equações do sistema.

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RAÍZES Seria o valor de uma variável que se oferece como resultado de uma equação.

Exemplo: Dada uma função, encontre o determinado x:

f (x)

Raiz

x

Em diversos casos, a transformação de um problema em uma equação matemática, se faz necessária a determinação de um valor (raiz), e este representa a solução desse problema.

OTIMIZAÇÃO Para problemas que necessitam que sejam encontrados valor ou valores que melhor representem (valor ótimo) uma solução. Tais valores seriam os mínimos e/ou máximos que aparecem rotineiramente na engenharia. Inúmeros métodos numéricos se destinam a encontrar esses valores.

Exemplo:

f (x)

Mínimo

x

Determinar valores mínimos e/ou máximos de alguns problemas, em outras palavras, pode significar quais resultados de variáveis que provocam uma situação ótima que ajudam a determinar a tomada de decisões para resolver estes problemas. Exemplos são vários. Podemos querer saber qual hora do dia que existe um maior fluxo de veículos em determinada estrada (máximo) ou encontrar a menor temperatura a qual um grupo de bactérias se reproduz mais lentamente (mínimo).

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AJUSTE DE CURVAS Com frequência é necessário determinar o comportamento de uma curva que representa graficamente um conjunto de dados conhecidos. As técnicas são conhecidas como interpolação e regressão.

Exemplo:

f (x)

f (x)

Interpolação Regressão

x

x

Temos aqui um exemplo de predição, por meio de dados conhecidos de um determinado problema, oferecendo uma estimativa plausível e coerente de acordo com os dados conhecidos. Um exemplo pode ser dado se referindo à economia. Qual seria um dado futuro da bolsa de valores se permanecessem os parâmetros dos últimos meses (interpolação/ extrapolação). Ou ainda, se analisando o número de indivíduos de uma comunidade, qual teria sido esse número quando se iniciou tal grupo (regressão).

INTEGRAÇÃO Uma integração numérica atende à necessidade de se determinar a área abaixo de uma curva.

Exemplo:

f (x)

Área

x

Determinar áreas sob uma curva cujo formato característico seja uma figura geométrica simples (quadrado, triângulo, Trapézio, etc.) torna-se uma tarefa fácil devido ao estudo das figuras geométricas do ensino médio. Entretanto, se tal área foge desses formatos, faz-se necessária a utilização da Integração, estudada em Cálculo Infinitesimal, ou aproximações proporcionadas por métodos numéricos, objeto esse do nosso estudo atual.

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Síntese Nesse módulo, vimos que diversos problemas ou fenômenos físicos podem ser solucionados por um conjunto de métodos, os quais utilizam conceitos de matemática fundamental, operações algébricas, etc. Esse conjunto de métodos numéricos fazem parte do cálculo numérico. Tais métodos, que nos trazem resultados de conveniente aproximação no que se refere aos valores obtidos, muitas vezes apresentam o inconveniente de necessitarem tempo e trabalho árduo na sua implementação. Isso é hoje solucionado com o rápido processamento de dados dos computadores.

Referências CHAPRA, Steven C.. Métodos Numéricos para Engenharia, Bookman, AMGH, 2016. HORNBECK,R.W.. Numerical Methods. Quantum Publishers. 1975. NIEVES A. e DOMINGUEZ, F. Métodos Numéricos Aplicados a la Ingenieria. CESA, México, 1995.

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