Cap5 - Grandezze cinematiche fondamentali e elementi caratteristici del moto PDF

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Grandezze cinematiche fondamentali e
elementi caratteristici del moto
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Gran Grandezze dezze cinematiche ffondamentali ondamentali e elementi car caratteri atteri atteristici stici del moto Argomenti • Grandezze cinematiche fondamentali: – Velocità e accelerazione – Descrizione Euleriana e Lagrangiana • Elementi caratteristici del moto: – Traiettorie – Linee di corrente o di flusso – Linee di emissione o di fumo • Classificazione dei moti Cinematica dei fluidi, gen generalità eralità e definizioni • E’ la disciplina che studia il movimento indipendentemente dalle cause che lo provocano. Grandezze cin cinematiche ematiche fondamenta fondamentalili • Un campo di moto fluido è compiutamente descritto dal punto di vista cinematico quando è noto il vettore velocità in ogni punto. • Definito il vettore posizione r (come da figura) di una particella al variare del tempo t, si descrive la variazione dopo il tempo Δt. • La velocità e l’accelerazione vengono dedotte per derivazione.

• La velocità potrà essere espressa in forma vettoriale in funzione della terna di posizione x,y,z e del tempo t; oppure in forma scalare con tre espressioni scalari. Tale metodo di descrizione è detto Euleriano. Prende in considerazione determinate entità geometriche (punti, linee, ecc.) e su di esse descrive il variare delle grandezze incognite (velocità, pressione, ecc.).

• In contrapposizione a tale metodo si definisce il criterio Lagrangiano. • metodo di studio del moto che prende in esame una singola particella invece che particolari punti geometrici e le incognite da studiare diventano i punti raggiunti dalla particella nei successivi istanti di tempo. • In sostanza viene individuato un sistema materiale, che si tratti di una o più particelle o un corpo rigido, e segue gli spostamenti nello spazio. Per ogni istante sono descritti gli spostamenti e la posizione ottenendo una completa descrizione spazio-temporale. • Dal punto di vista matematico, la differenza tra i due approcci risiede nei termini che contengono derivate temporali: – Lagr Lagrangiano angiano angiano. Data una generica grandezza, la sua derivata totale (o sostanziale) rispetto al tempo è riferita a posizioni spaziali dive diverse rse rse. – Euleriano Euleriano. In contrapposizione la deriv derivata ata locale (o parziale), considera la variazione della grandezza in uno stesso punto geometrico negli istanti successivi. Quindi il riferimento è la medesima posizione spaziale ma a particelle diverse al variare del tempo. • Il passaggio da una descrizione di tipo Lagrangiana ad una descrizione di tipo Euleriano è evidente per la grandezza accelerazione. • Può essere espressa come derivata sostanziale del vettore velocità rispetto al tempo (descrizione Lagrangiana): • Esplicitando tale derivata, si individuano due termini: il primo termine ∂ v /∂ t descrive la derivata locale (rappresenta il contributo di accelerazione nel singolo punto), il secondo (racchiuso tra parentesi) è l’accelerazione convettiva (pari alla variazione di velocità dovuta allo spostamento della singola particella) (descrizione Euleriana): • In generale, partendo da una formulazione della derivata sostanziale sostanziale, è possibile esplicitarla come somma dei due termini (derivata locale più termine conv convettivo ettivo ettivo). • Tale metodo, detto anche “ regola di derivazione Euleriana ”, permette di calcolare la variazione nel tempo di una qualsiasi grandezza in funzione della posizione spaziale e del tempo. • Il passaggio dal primo al secondo membro rappresenta a livello concettuale la trasformazione da un sistema Lagrangiano ad uno Euleriano.

Elementi car caratteristici atteristici del moto il campo di moto di un fluido può essere visualizzato mediante il tracciamento di 3 famiglie di linee. • Le traiettorie sono le linee luogo dei punti successivamente occupati dalle singole particelle fluide in moto. Sono linee che individuano la storia di ogni particella. • Dal punto di vista matematico si ricavano scrivendo lo spostamento della generica particella nel generico intervallo di tempo dt.

• Le linee di flusso o di corrente sono quelle curve tangenti al vettore velocità in ciascuno dei suoi punti. • Per ogni punto del campo di moto passa una sola linea di corrente. • Le relazioni differenziali che descrivono le linee di corrente si ottengono imponendo il parallelismo tra i tratti elementari della curva e vettore velocità: • Le traiettorie e le linee di corrente sono due entità ben distinte. Considerando una particella fluida che si trova in un generico punto mo in un intervallo infinitesimo dt questa si sposta lungo una traiettoria che coincide col segmento elementare della linea di corrente e si trova in un nuovo punto m1 in cui la velocità è cambiata nel tempo dt e pertanto in generale non è più tangente alla stessa linea di corrente. • Le linee di emissione o di fumo sono definite come quelle curve luogo dei punti occupati al generico istante dalle particelle che sono passate per un determinato punto. Corrispondono alle linee occupate istante per istante dal fumo di un camino o di una sigaretta. • Se il vettore velocità in ogni punto del campo di moto è indipendente dal tempo (moto permanente), allora e solo allora le traiettorie, le linee di corrente e le linee di fumo coincidono. • Qualitativamente le traiettorie sono curve che definiscono un quadro delle posizioni successivamente assunte nel tempo da singole particelle. • Le linee di corrente individuano le velocità nei vari punti del campo di moto in un determinato istante (variabili da istante a istante). • Le linee di e missione definiscono la posizione che in un certo istante occupano le particelle che precedentemente sono passate per un determinato punto P del campo di moto (variabili da istante a istante). ● Considerando una linea chiusa immersa in un campo di moto, si tracciano tutte le linee di corrente che passano per i punti della linea chiusa. Esse formano una superficie tubolare che gode della proprietà di non essere attraversata da fluido. ● Lo spazio delimitato da tale superficie laterale è detto tubo di flusso. ● Presa una sezione trasversale di cui si considera l’elemento infinitesimo dA con versore dn, su tale elemento passerà una portata elementare dQ. Integrando su tutta la superficie si ottiene portata totale e velocità media media:

Classificazione dei moti • Riguardo i vari tipi di moto avremmo: –

–

moto permanente caratterizzato da grandezze cinematiche che non dipendono dal tempo; ne segue che le tre componenti della velocità u,v,w sono funzioni di x, y, z soltanto. moto vario con grandezze funzione anche del tempo;

–

moto uniforme* quello nel quale la velocità è invariabile nel campo di moto (oltre che indipendente dal tempo);

–

moto piano per cui la velocità giace in un piano.

* In meccanica dei fluidi si intende in modo più ampio quando le grandezze sono costanti lungo le traiettorie, ma possono variare da una traiettoria all’altra (traiettorie rettilinee). Riferimento bibliografico: Citrini-Noseda Par. 3.1 – 3.2 – 3.3...