Limiti - Regole e concetti fondamentali PDF

Preview

Summary

LIMITI - Prof. Andrea Di Giuliani - Rev - 22/12/ Definizioni Definizione di limite Limiti da destra e da sinistra Limiti da sopra e da sotto Algebra degli infiniti e degli infinitesimi A cosa servono i limiti? Forme indeterminate Categorie di limiti Limiti di bassa complessità Tecniche risolutive de...

Description

LIMITI Prof. Andrea Di Giuliani - Rev.2 - 22/12/2019

1. Definizioni............................................................................................................................................. 2 1.1. Definizione di limite ........................................................................................................................ 2 1.2. Limiti da destra e da sinistra .......................................................................................................... 2 1.3. Limiti da sopra e da sotto ............................................................................................................... 3 2. Algebra degli infiniti e degli infinitesimi..................................................................................................3 3. A cosa servono i limiti? .........................................................................................................................5 4. Forme indeterminate ............................................................................................................................6 5. Categorie di limiti ..................................................................................................................................6 6. Limiti di bassa complessità ...................................................................................................................7 7. Tecniche risolutive delle forme indeterminate .......................................................................................8 7.1. Confronto tra infiniti........................................................................................................................ 9 7.2. Relazioni tra funzioni elementari e ordini di infinito......................................................................... 9 7.3. Parte principale di infinito .............................................................................................................10 7.4. Confronto tra infinitesimi .............................................................................................................. 10 7.5. Relazioni tra funzioni elementari e ordini di infinitesimo ...............................................................11 7.6. Parte principale di infinitesimo .....................................................................................................11 7.7. Scomposizione, raccoglimento e semplificazione ........................................................................12 7.8. Razionalizzazione ........................................................................................................................ 14 8. Limiti di media complessità ................................................................................................................. 16 8.1. Limiti con forme di indecisione del tipo [ ∞ – ∞ ] ........................................................................... 16 8.2. Limiti con forme di indecisione del tipo [ ∞ · 0 ] ............................................................................ 17 8.3. Limiti con forme di indecisione del tipo [ ∞ / ∞ ] ............................................................................ 18 8.4. Limiti con forme di indecisione del tipo [ 0 / 0 ] ............................................................................. 19 8.5. Limiti con forme di indecisione del tipo [ 00 ] e [ ∞0 ] ..................................................................... 20 9. Relazioni tra tecniche risolutive e forme di indecisione ....................................................................... 20 10. Limiti notevoli.................................................................................................................................... 21 10.1. Limiti notevoli di funzioni goniometriche ..................................................................................... 21 10.2. Limite notevole del numero di Nepero........................................................................................23 10.3. Limiti notevoli esponenziali e logaritmici ....................................................................................24 10.4. Limite della potenza con differenza ............................................................................................ 25 11. Limiti di alta complessità ...................................................................................................................25 12. Equivalenze asintotiche .................................................................................................................... 26 13. Limiti notevoli in forma generale ....................................................................................................... 27 13.1. Applicazione dei limiti notevoli in forma generale .......................................................................28 14. Essenza dei limiti.............................................................................................................................. 30 15. Asintoti .............................................................................................................................................31 15.1. Asintoti orizzontali e verticali ...................................................................................................... 31 15.2. Asintoti obliqui ...........................................................................................................................32 15.3. Metodo per calcolare gli asintoti obliqui .....................................................................................32 16. Curve asintotiche .............................................................................................................................. 33 16.1. Curve asintotiche di funzioni polinomiali fratte ...........................................................................33 Tabella di derivazione dei limiti ............................................................................................................... 35

1

1. Definizioni In questo capitolo diamo la definizione di limite e qualche altra definizione che ci servirà per affrontare l’affascinante mondo dei limiti. 1.1. Definizione di limite Il limite l di una funzione f(x) in un punto x0 indica il valore a cui f(x) tende mano mano che x si avvicina a x0. a cui tende

l è il valore

la funzione f(x)

l = lim f(x) quando x tende a “x-con-zero”

x  x0

A prima vista si potrebbe pensare che per calcolare il limite di una funzione f(x) in un punto x0 si possa sempre procedere per “sostituzione diretta”, ovvero sostituendo x0 alla x in f(x) e valutando quindi f(x0 ), ma, in generale, f(x) potrebbe non essere definita in x0, oppure assumere un valore in x 0 diverso dal suo limite in x0 . L’operazione di limite non consiste nel valutare la funzione f(x) in x0 ma nell’individuare, come già scritto, il valore a cui tende la funzione mano mano che la x si avvicina a x0 . Nel calcolo dei limiti si considera l’insieme dei numeri reali R*, che è l’insieme dei numeri reali R, aumentato con i due “numeri speciali” ±∞ (più o meno infinito). Questo perché, se il punto x0 è un punto in cui f(x) non è definita, il limite di f(x) per x tendente a x0 può essere un valore reale oppure ±∞. È possibile operare con ±∞ esattamente come se fossero dei numeri normali, con opportune regole, che vengono inquadrate come “algebra degli infiniti e degli infinitesimi” e che tratteremo successivamente. 1.2. Limiti da destra e da sinistra Un limite può essere calcolato facendo avvicinare la x a x0 “da destra” oppure “da sinistra”. f(x) lim f(x) = f(x0 ) x  x 0+ lim f(x) = f(x0 ) x  x 0-

f(x0 )

x

x0

Nel primo caso si dice “limite per x che tende a xcon-zero da destra” e si indica mettendo il segno “+” come apice a x0. Nel secondo caso si dice “limite per x che tende a xcon-zero da sinistra” e si indica mettendo il segno “-“ come apice a x0.

Nella figura soprastante i valori dei due limiti di f(x) per x --> x0 da destra e da sinistra sono uguali e il loro valore è pari a f(x0) e, quindi, la funzione f(x) si dice che è “continua” nel puno x 0. Quindi, una funzione è continua in un punto x0 se: lim f(x) = f(x0)  x  x0

lim f(x) = f(x 0 ) = lim f(x) -

x  x0

+

x  x0

2

f(x)

In generale, i limiti destro e sinistro potrebbero anche non avere lo stesso valore o, uno dei due o entrambi, potrebbero non non avere un valore finito.

lim f(x) = +∞ x  x 0-

In tal caso, il limite di f(x) per “xche-tende-a-x0 ” non esiste e la funzione si dice che “non è continua n x0 ”.

x

x0

lim f(x) = -∞ x  x 0+

A sinsitra è mostrata una funzione che non è continua in x0 . I limiti da destra e da sinistra per x  x0 della funizone possono essere evidenziati con un’unica formula nel modo seguente: lim f(x) = ∞ x  x0± f(x) = sin (x)

Un altro caso di non esistenza di un limite è il limite per x che tende a ±∞ di una funzione che oscilla periodicamente tra due valori. Ad esempio, come si vede nella figura a destra, la funzione f(x) = sin (x) non ammette limite per x  ±∞ lim f(x) = c+

1.3. Limiti da sopra e da sotto

x

f(x

x  -∞

E’ possibile che il limite di una funzione per x tendente a ±∞ sia un valore costante c (come nella funzione della figura a sinistra). In tal caso è possibile specificare se la funzione si avvicina al punto c “da sopra”, ovvero per eccesso, o “da sotto” ovvero per difetto.

c x lim f(x) = c -

Nel primo caso si scrive che il limite vale c+, mentre nel secondo caso si scrive che il limite vale c-.

x  +∞

2. Algebra degli infiniti e degli infinitesimi Sappiamo che il calcolo dei limiti per sostituzione diretta non funziona sempre perché la funzione potrebbe anche non essere definita nel punto in cui vogliamo calcolare il limite. In particolare, il metodo sostituzione diretta non funziona quando si ha a che fare con infiniti e infinitesimi (ad es. quando in una frazione risulta un numero diviso 0, o un numero diviso ∞). Ad esempio, il limite della seguente funzione non si può risolvere per sostituzione: lim [x / (x –2)] x 2 perché la funzione non è definita in x 0 = 2. Se proviamo a calcolare la funzione nel punto x0 = 2 ci troviamo di fronte al valore 2/0, che con l’algebra classica non si può calcolare. 3

Fortunatamente abbiamo visto che le operazioni con i limiti vengono effettuate in R*, ovvero nell’insieme dei numeri reali R aumentato con i numeri speciali ±∞. L’algebra degli infiniti e degli infinitesimi ci permette di svolgere parecchie operazioni che coinvolgono gli infiniti e gli infinitesimi, trattando ±∞ come se fossero normali numeri reali. In realtà basta pensare a ±∞ come a numeri rispettivamente “molto, molto grandi” o “molto, molto piccoli” e a questo punto viene naturale applicare ad essi le regole dell’algebra classica. Ad esempio, noi sappiamo che un numero qualsiasi diviso un numero molto più grande fa un numero molto piccolo. Un numero diviso un numero molto, molto più grande farà un numero molto molto più piccolo, quasi 0, oseremo dire. Se il numero molto molto grande si spinge a +∞ allora il risultato della divisione si spinge a 0. Intuitivamente, potete capire che valgono le seguenti due regole: c / +∞ = 0 + , c / -∞ = 0 dove c è un qualsiasi numero reale > 0. Notare, inoltre, che valgono le regole classiche dei segni (+ / + = + , + / - = -), proprio perché ±∞ vengono considerati numeri reali come gli altri. Di seguito si riporta la tabella contenente le regole dell’algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

4

3. A cosa servono i limiti? I limiti servono ad aiutare a studiare il grafico delle funzioni. Dopo averne studiato il dominio, le intersezioni con gli assi, le eventuali simmetrie e i segni, si procede al calcolo dei limiti nelle zone critiche, ad esempio a ±∞ e nei punti in cui la funzione non è definita. Esercizio 1

y 2

Disegnare il grafico approssimativo della funzione: y = x / (x – 5) Dominio: x – 5 ≠ 0  x ≠ 5 La funzione non intersecherà mai la retta x = 5. Simmetrie: La funzione non è né pari né dispari perché in x = 5 non è definita mentre lo è in x = -5.

0

5

Intersezioni con gli assi: Intersezione con l’asse delle x: y = x 2 / (x – 5)  x 2 / (x – 5) = 0  x 2 = 0  x = 0 y = 0  la funzione interseca l’asse delle x in x = 0. Non è necessario studiare le intersezioni con l’asse delle y poiché la funzione, passando per l’origine, interseca l’asse delle y in 0. Siccome l’intersezione con l’asse delle y, se c’è, è unica (per la definizione di funzione), allora non possono esserci altre intersezioni. 5

x

Segni x2 / (x – 5) > 0

N

N: x 2 > 0 se x ≠ 0 D: x – 5 > 0 se x > 5 2

 x / (x – 5) > 0 se x > 5

D

+ –

N/D

–

+ – 0

+ + 5

–

+

x

Limiti lim [x2 / (x – 5)] = (4,9)2 / (4,9 – 5) = 24 / -0,1 = -240  lim x 2 / (x – 5) = -∞ -

x5

x5 2

2

-

2

lim [x / (x – 5)] = (5,1) / (5,1 – 5) = 26 / -0,1 = 260  lim x / (x – 5) = +∞ +

x5

x5

+

y

lim [x2 / (x – 5)] = (-1000)2 / (-1000 – 5) = 10 6 / (-1005) = -995 x  -∞

 lim x2 / (x – 5) = -∞ x  -∞

lim [x2 / (x – 5)] = 10002 / (1000 – 5) = 10 6 / 995 = 1005 x  +∞

0

5

x

2

 lim x / (x – 5) = +∞ x  +∞

4. Forme indeterminate Purtroppo, ci sono delle situazioni non regolate dall’algebra degli infiniti e degli infinitesimi in cui non è possibile determinare a priori il limite di una funzione in un punto semplicemente per sostituzione o tramite uso dell’algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Queste situazioni vengono chiamate “forme indeterminate” o “forme di indecisione”. Le forme indeterminate in cui si può incorrere nel calcolo dei limiti sono le seguenti sette, ed è buona norma indicarle tra parentesi quadre: [ ∞ – ∞ ] , [ ∞ / ∞ ] , [ 0 / 0 ] , [ 0 · ∞ ] , [ 0 0 ] , [ 1 ∞ ] , [ ∞0 ] Non esiste una regola che dica quale è il valore del prodotto fra 0 e ∞ in generale, perché il risultato dipende dalla struttura della funzione. Consideriamo tre funzioni i cui limiti calcolati nello stesso punto generino una stessa forma indeterminata, ad esempio del tipo [0 · ∞]; potrebbe succedere che il primo limite sia pari a ∞, il secondo sia pari a 0 e il terzo sia pari a un numero reale ≠ 0. 5. Categorie di limiti Il concetto di limite è semplice ed intuitivo. La difficoltà sta nei calcoli perché non esiste un metodo che va bene sempre ma una serie di tecniche che si devono usare a seconda della struttura della funzione di cui si vuole calcolare il limite. In generale i limiti si possono raggruppare in tre categorie a seconda del livello di difficoltà: 1. Limiti di bassa complessità, che non creano forme indeterminate, e che si possono calcolare semplicemente per sostituzione oppure utilizzando l’algebra degli infiniti e degli infinitesimi. 2. Limiti di media complessità, che creano forme di indecisione, e che si possono calcolare con alcune tecniche tipo confronto fra infiniti e infinitesimi, scomposizione, razionalizzazione e vari trucchi algebrici. 3. Limiti di alta complessità, che non si possono calcolare solo con le tecniche di cui sopra ma richiedono anche l’applicazione dei limiti notevoli.

6

In questa dispensa spiegheremo tutti i concetti sottolineati in questo capitolo e vedremo, per ogni categoria, diversi esercizi sul calcolo di limiti. 6. Limiti di bassa complessità Vediamo una serie di esercizi riguardanti limiti appartenenti alla prima categoria, ovvero quelli di bassa complessità, che non creano forme di indecisione, e che sono calcolabili per sostituzione o tramite applicazione dell’algebra degli infiniti e degli infinitesimi. y = ln(x) Esercizio 2 lim (2x 3 + x 2 ) = 2 · (-2) 3 + (-2)2 = 2 · (-8) + 4 = -16 + 4 = -12 x  -2

y = ex

Esercizio 3

0

lim [ex + ln(x)] = e +∞ + ln(+∞) = +∞ +∞ = +∞ x  +∞

0

Esercizio 4

1

x

lim [√(2x +6) – x] = √[2 · (-1) + 6] – (-1) = √4 + 1 = 2 + 1 = 3 x  -1

Esercizio 5 lim [1 – cos(x)][sin(x) – π/2] = [1 – cos(0)][sin(0) – π/2] = (1 – 1)(0 – π/2) = 0 · (-π/2) = 0 x0

Esercizio 6 lim {[(2 – x) / 3] · (x 3 – 1)} = [(2 – (+∞)) / 3] · [(+∞) 3 – 1)] = (-∞) · (+∞) = -∞ x  +∞

Esercizio 7 lim [(1 – x2 ) · ex] = [1 – (+∞) 2] · e +∞ = (1 – ∞) · (+∞) = (-∞) · (+∞) = -∞ x  +∞

Esercizio 8 lim [(x – 1) · e x] = (0,99 – 1) · e 0,99 = (-0,01) · e0,99 = 0 x1

Esercizio 9 lim [(2x2 + 1)6 ] = [2 · (+∞)2 + 1] 6 = [+∞ + 1] 6 = +∞ x  -∞

Esercizio 10 lim [(4x + 3) / (x 2 - 4)] = [4 · (-2) + 3] / [(-2,01) 2 – 4] = -5 / (4,04 – 4) = -5 / +0,04 = -5 / 0 + = -∞ -

x  -2

Esercizio 11 lim {[(2 + ln(x)] / [1 – ln(x)]} = [2 + ln(1)] / [1 – ln(1)] = (2 + 0) / (1 – 0) = 2 / 1 = 2 x1

Esercizio 12 lim [(x + 1) / (x2 – 2x + 1)] = (1 + 1) / (1 – 2 + 1) = 2 / 0 ; ma il denominatore è 0 + oppure 0- ? x1

x2 – 2x + 1 = (x – 1) 2  sempre ≥ 0  lim [(x + 1) / (x 2 – 2x + 1)] = 2 / 0+ = +∞ Esercizio 13

x1

lim (1 / x3 ) = 1 / 0- = -∞ -

x0

Esercizio 14 lim (1 / -x3 ) = 1 / -0 - = 1 / 0+ = +∞ -

x0

7

x

Esercizio 15 lim [√(x – 4) / 2x] = √(4 – 4) / 8 = 0 / 8 = 0 +

x4

Esercizio 16 lim [x√(x – 1)] = 2√(2 – 1) = 2√1 = 2 x2

Esercizio 17 lim [(x + 3) 1/x] = (0 + 3) 1/0+ = 3+∞ = +∞ + x0

Esercizio 18 lim {[1 / (x – 1)] x} = [1 / (+∞ – 1)] +∞ = [1 / +∞] +∞ = 0+∞ = 0 x  +∞

Esercizio 19 lim [(2x + 1/3)-2/x] = (0 + 1/3) -2/0+ = (1/3)-∞ = 3 +∞ = +∞ + x0

Esercizio 20 lim [(1/x)2x + 1] = [1/(+∞)] 2 · (+∞) + 1 = 0 +∞ = 0 x  +∞

Esercizio 21 lim [(√x) 1/(x – 2)] = 2 1/2 = √2 x4

Esercizio 22 lim (-2 / x4 ) = -2 / (-∞) 4 = -2 / (+∞) = 0 x  -∞

Esercizio 23 lim {[√(2 – x) + x ] / (7 + x)} = {√[2 – (-7)] + (-7) ]} / [7 + (-7 +)] = (√9 – 7) / [7 + (-6,99)] = +

x  -7

= (3 – 4) / (+0,01) = -1 / (0 +) = -∞ 7. Tecniche risolutive delle forme indeterminate Sebbene non esista un metodo di calcolo univoco per ognuna delle forme indeterminate sopra menzionate, esistono delle tecniche risolutive che permettono di valutare la stragrande maggioranza delle forme indeterminate, e queste sono:  Limiti notevoli (limiti precalcolati che consentono di calcolare altri limiti più complessi).  Teoremi sui limiti (ad es. teorema dei due carabinieri).  Trucchi algebrici (scomposizioni, raccoglimento, togliere e aggiungere la stessa quantità, moltiplicare e dividere per la stessa quantità, semplificazioni, sostituzione di variabile).  Riscritture algebriche equivalenti ( ad es. f(x)g(x) = eg(x) · ln f(x) ).  Confronto fra infiniti.  Confronto fra infinitesimi.  Razionalizzazione.  Utilizzo di proprietà delle funzioni elementari (ad es. proprietà dei logaritmi, degli esponenziali e delle funzioni goniometriche di base). Nei prossimi capitoli vedremo queste tecniche una per una. 8

7.1. Confronto tra infiniti La tecnica del “confronto tra infiniti” è utile per risolvere la forma di indeterminazione del tipo [ ∞ / ∞ ]. Essa si basa sul fatto che le funzioni possono tendere a infnito con “velocità diverse”.

f(x) = ex

Come da figura a destra, la funzione f(x) = ex tende a infinito più velocemente della funzione g(x) = x. Le funzioni che tendono all’infinito con la stessa velocità si dice che hanno lo stesso “ordine di infinito”.

g(x) = x
...