Capitulo 10 Intersección entre Poliedros PDF

Title	Capitulo 10 Intersección entre Poliedros
Author	Fabrizio Perez
Course	Geometría Descriptiva
Institution	Universidad Nacional de Ingeniería
Pages	99
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Cuarta Edición

CAPÍTULO

10

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA Geometría Descriptiva

Autor: Dr. Víctor Vidal Barrena Universidad Nacional de Ingeniería

Intersección Entre Poliedros

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

10.1 INTRODUCCIÓN.-

LA INTERSECCION ENTRE DOS SÓLIDOS SE CONOCE COMO UNA FIGURA DE INTERSECCION. TALES INTERSECCIONES SON COMUNES EN LAS CONSTRUCCION SE EDIFICIOS, METALISTERIA, CONSTRUCCION DE MAQUINAS Y EN CUALQUIER CAMPO DE LA INGENIERIA. PARA LOS SÓLIDOS LIMITADOS POR SUPERFICIES PLANAS, LA INTERSECCION CONSISTE EN SEGMENTOS SUCESIVOS DE RECTAS DE INTERSECCION DEL PLANO CON LA SUPERFICIE PLANA DEL SÓLIDO, LA RECTA DE INTERSECCION DE DOS POLIEDROS ES UNA SERIE DE RECTAS UNIDAS, QUE FORMA UN POLIGONO IRREGULAR.

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

10.1 INTRODUCCIÓN.-

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

10.2 TIPOS DE INTERSECCIONES

Después de localizar todos los puntos de intersección de los poliedros, se conectan estos por líneas rectas que complementan la intersección completa. El sentido de la numeración puede ser horario o anti horario y se presentan los siguientes casos: 1 MORDEDURA.

Cuando la introducción es parcial de uno de los poliedros con respecto al otro. Los puntos de intersección se numeran consecutivamente, comenzando con los puntos de intersección que aparecen más próximos al observador (puntos visibles) y se invierte su sentido para identificar los más lejanos al observador (puntos invisibles) tal como se muestra en la figura adjunta. © 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Cuarta

Víctor Vidal Barrena

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

10.2 TIPOS DE INTERSECCIONES

a) Prisma Prisma

b) Prisma Pirámide.

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

10.2 TIPOS DE INTERSECCIONES

2. PENETRACION. Cuando uno de los poliedros esta introducido en el otro. Los puntos de intersección se muestran primero una porción consecutivamente, comenzando con los puntos visibles y se invierte el sentido para identificar los puntos invisibles. Luego se completa la numeración de los puntos de intersección en la otra porción, siguiendo el mismo criterio anterior, tal como se muestra en la figura adjunta.

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Cuarta

Víctor Vidal Barrena

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

10.2 TIPOS DE INTERSECCIONES

a) Prisma Prisma

b) Prisma Pirámide.

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

10.2 INTERSECCIÓN PRISMA PRISMA.-

La intersección de dos prismas consiste en determinar la ubicación de las líneas de intersección de las superficies limitadas de los sólidos. Estas líneas de intersección se obtienen encontrando los puntos de penetración existentes de las aristas de un prisma con las superficies del otro, y luego, los puntos de penetración de las aristas del segundo con la superficie del primero; tal como se observa en la figura.

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

10.2 INTERSECCION DE UN PRISMA OBLICUO CON UN PRISMA VERTICAL

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

10.2.1 Clases de intersección

a) Por Mordedura.-Cuando un prisma está contenido parcialmente por el otro ( una sola poligonal)

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

10.2.1 Clases de intersección

b) Por Penetración.- Cuando uno de los prisma esta totalmente contenido en el otro. 1.- Cuando el prisma vertical esta contenido dentro del prima oblicuo

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

10.2.1 Clases de intersección

• 2.- Cuando el prisma oblicuo esta contenido dentro del prisma vertical

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

METODO DEL PLANO CORTANTE.

Los dos prismas deben cortarse por una serie de planos cortantes que determinan los puntos de intersección, y si los planos cortantes escogidos son paralelos a las aristas del prisma la solución es más sencilla. En la figura siguiente se dan las vistas frontal y horizontal de dos prismas (vertical e inclinado) se desea encontrar la intersección y visibilidad de ambos.

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

METODO DEL PLANO CORTANTE.

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Víctor Vidal Barrena

Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROCEDIMIENTO.

• En la figura 13.6 y en la vista horizontal se localizan los puntos 1, 3, 6, 7, 9 y 11; intersección de una recta con un plano de canto, luego proyectamos a estos puntos de intersección a la vista frontal, cada una de ellas en sus aristas respectivas. • Para localizar los puntos 2, 12; 4, 10 y 5, 8 es necesario utilizar planos cortantes. Por ejemplo para hallar el punto 2 trazamos el plano cortante que pase por el plano de canto ABFE y que contenga a la arista BF, y que corta al prisma inclinado en los puntos 1 y Xh que proyectados y unidos en la vista frontal corta a la arista BF en el punto de intersección 2. • Para analizar la visibilidad se aplica las reglas visto en el acápite 13.3 y se muestran en la siguiente tabla de visibilidad. © 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

METODO DEL PLANO CORTANTE.

TABLA DE VISIBILIDAD VIS

VIS RECTA

PLANO H

VIS INT

F

F

a

-

ABFE

-

1

-

BF

+

a-b

-

2

-

b

+

BCGF

+

3

+

CG

+

b-d

+

4

+

DH

+

b-d

+

5

+

b

+

ADHE

-

6

-

a

-

ADHE

-

7

-

DH

+

a-c

-

8

-

c

+

DCGH

+

9

+

CG

+

c-d

+

10

+

c

+

BCGF

+

11

+

BF

+

a-c

-

12

-

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

METODO DEL PLANO CORTANTE.

Para hallar la intersección de una Pirámide y un Prisma, se deben determinar los puntos perforantes de las aristas de cada uno de los poliedros a su vez con las superficies del otro poliedro. La figura de la intersección se completa uniendo estos puntos por su orden de numeración; tal como se observa en la figura siguiente, por lo que se requiere un trabajo minucioso y sistemático.

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

METODO DEL PLANO CORTANTE.

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Víctor Vidal Barrena

Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

PROCEDIMIENTO.

• Para determinar los puntos de intersección; por ejemplo trazamos un plano cortante que pase por la arista “a” del prisma y que corta a la superficie plana AVB de la pirámide en dos puntos, la que proyectados y unidos en el plano frontal interceptan a la arista “a”, determinando el punto 1 de intersección. • Se repite este proceso hasta encontrar todos los puntos de intersección se unen estos y se determina la visibilidad del conjunto teniendo en cuenta la visibilidad de la tabla. • La unión de los puntos de intersección en las vistas horizontal y frontal, son dos poligonales para el caso de Penetración, siendo la primera poligonal 1,2,3,4,5,1 y la segunda poligonal 6,7,8,9,10,6; teniéndose en cuenta la visibilidad de los puntos de intersección mostrados en la Tabla de visibilidad. © 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Cuarta

Víctor Vidal Barrena

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

METODO DEL PLANO CORTANTE.

TABLA DE VISIBILIDAD VIS

VIS

RECTA

VIS

PLANO H

F

a

+

+

VC

+

b

INT H

F

H

F

BVC

+

-

1

+

-

+

a–b

+

-

2

+

-

+

+

CVD

+

+

3

+

+

c

+

+

CVD

+

+

4

+

+

VC

+

+

a–c

-

+

5

-

+

a

+

+

AVB

+

-

6

+

-

b

+

+

AVB

+

-

7

+

-

AV

+

+

b-c

+

+

8

+

+

c

+

+

AVD

+

+

9

+

+

AV

+

+

a-c

-

+

10

-

+

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMAS RESUELTOS © 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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10.4 INTERSECCIÓN PRISMA – PIRÁMIDE.

INTERSECCION DE PRISMA PRISMA © 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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PROBLEMA 10.1

Dado el prisma ABCD - A'B'C'D' intersectarlo con el prisma XYZ - X'Y'Z'. Determinar la intersección de los poliedros. Mostrar la visibilidad de la intersección. Construir la tabla de visibilidad. A(3,4,30), B(8,4,35), C(13,4,30), D(8,4,25); A'(19,21,30) X(17,4,32), Y(20,4,26), Z(23,4,28); X'(9,21,32) © 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Parte 1. Graficar los puntos dados según sus coordenadas

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Víctor Vidal Barrena

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Víctor Vidal Barrena

Parte 2. Determinar la visibilidad de los poliedros en ambas vistas (H y F)

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Parte 3.

Para hallar el punto 1 interceptamos la arista XX’ con el plano AA’BB’. La arista corta al plano en a y b (en F), unimos a con b (en H) y donde corte la arista XX’ se encontrará el punto 1.

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

Parte 4.

Siguiendo el mismo procedimiento se hallan los demás puntos.

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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Parte 5. La unión de los puntos es: 1-8-5-3-7-1 y 2-10-6-4-9-2

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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PROBLEMA 10.2.

Dado el prisma recto ABCD – A´B´C´D´ siendo AA´ una de sus aristas laterales, interceptado en el prisma vertical truncado RSTU – R´S´T´Ú´ para un plano inclinado que parte del punto TF y con inclinación del 50%. A(3.5,6,17), B(4.5,9,15), C(2,8,13.5), D(1,5,15); A´(14.5, 3.6, 17) R(5.5, -,16.5), S(7.5, - , 20), T(11.5, 10, 16), U(9.5, -, 12.5); R´(5.5, 1, 16.5) © 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

SOLUCION

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Víctor Vidal Barrena

Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

SOLUCION

TABLA DE VISIBILIDAD

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

Víctor Vidal Barrena

Cuarta

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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PROBLEMA 10.3:

Dado el prisma ABCDEF y ABCDEF. Intersectarlo con el prisma vertical MNOPQ de 8 cm de altura, mostrar la visibilidad de al intersección y hacer la tabla de procedimiento. Resolver sin vistas auxiliares. A(2, 5.5, 18), B(2, 8, 17), C(2, 9, 14), D(2, 7, 13), E(2, 5, 12), F(2, 4, 15); A’(11, 5, 18) M(3, 10, 16.5), N(7, 10, 19), O(10, 10, 16), P(5,10, 11), Q(5, 10, 14.5).

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SOLUCION:

SOLUCION

-2 PC

18 17 16.5 16 15 14.5 14 13 12

-3 PC

19

AH BH

9 8 7

5.5 5 4

11

1 2 3

MH

12

OH

10

18

FH

9

CH

17

5 6

DH

14 15

7

EH

16

PH PF Q F N F

MF CF BF DF

14

4

13

2 12 6

EF

7

10

FF

9

MF 2

3

11

1 16

18

8

PF QF 5

BH

F

PLANO

AA

-

BB

-

FH CH DH

MM QQ

EH

17

NF 7

CF BF DF

15

AF

RECTA

OF

5 3

A' H 13

QH 4 8

11 10

TABLA DE VIS

NH

PC -1

Cuarta

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

A'F EF FF

OF 10

F

INT

MMNN

-

1

MMNN

-

2

+

BBCC

-

3

-

BBCC

-

4

-

CC

+

PPQQ

-

5

-

DD

+

PPQQ

-

6

EE

+

PPQQ

-

7

-

QQ

-

EEFF

+

8

+

FF MM AA

H

H

H

F -

-

+

MMQQ

+

9

+

AAFF

-

10

-

-

NNOO

-

11

-

BB

-

NNOO

-

12

-

OO

+

BBCC

-

13

-

CC

+

PPOO

DD

+

PPOO

EE

+

PPOO

FF

+

OO

+

14

+

15

+

+

16

+

PPOO

+

17

+

AAFF

-

18

-

11

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

+ +

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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10.4 INTERSECCIÓN PRISMA – PIRÁMIDE.

INTERSECCION DE PRISMA PIRAMIDE © 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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10.4 INTERSECCIÓN PRISMA PIRÁMIDE

Para hallar la intersección de una Pirámide y un Prisma, se deben determinar los puntos perforantes de las aristas de cada uno de los poliedros a su vez con las superficies del otro poliedro.

© 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

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PROBLEMA 10.1:

La pirámide V-ABC de 8cm de altura, cuya base es un triángulo horizontal, siendo A uno de sus vértices. El prisma RST–R’S’T’, siendo SS’ una arista lateral de este prisma. Determinar la intersección entre estos poliedros y mostrar la visibilidad. Hacer la tabla de visibilidad. No utilizar vistas auxiliares. Designar a la base de la Pirámide en sentido horario en el plano horizontal.

V(8,9,14.5), A(3.5,1,11); R(1,1,14), S(3,4.5,17), T(3,2.5,18), S’(14,7,14.5) © 2017 Víctor Vidal Barrena. Edición reservada

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Cuarta

Víctor Vidal Barrena

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

SOLUCION:

BH

20

TH SH

18 17

grafico de los puntos TH VH

14.5 14

SH CH

RH

11

RH

AH

VF

9

SF

7

TF

SF

4.5

RF 2.5