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Problemas Resueltos deIntroducción a la ElectrónicaJuan Antonio Carrasco LópezDepartament d’Enginyeria ElectrònicaUniversitat Politècnica de CatalunyaBarcelona, Julio 2013Prefacio VPrefacioLa presente colección de problemas resueltos abarca la mayoría de los contenidos relacionados con el análisis d...

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Problemas Resueltos de Introducción a la Electrónica

Juan Antonio Carrasco López Departament d’Enginyeria Electrònica Universitat Politècnica de Catalunya

Barcelona, Julio 2013

Índice 1. Problemas de Análisis de Circuitos con Diodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Problemas de Análisis de Circuitos con Transistores de Unión Bipolares . . . . . . . . . . . . . 37 3. Problemas de Análisis de Circuitos con MOSFETs de enriquecimiento . . . . . . . . . . . . . . 79 4. Problemas de Análisis de Amplificadores de Pequeña Señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5. Problemas de Análisis de Circuitos con Amplificadores Operacionales . . . . . . . . . . . . . 135

III

Prefacio

V

Prefacio La presente colección de problemas resueltos abarca la mayoría de los contenidos relacionados con el análisis de circuitos del programa de la asignatura “Introducción a la Electrónica” del plan de estudios de 1994 de la titulación Ingeniería Industrial ofrecida por la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de Barcelona de la Universidad Politécnica de Cataluña. Se espera que la colección sea un instrumento útil para el seguimiento de dicha asignatura, como complemento indispensable a los “Apuntes de Introducción a la Electrónica” del mismo autor. La colección de problemas puede también ser utilizada para el seguimiento de la asignatura “Electrónica” del plan de estudios del 2010 del grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales ofrecido por la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial de Barcelona de la Universidad Politécnica de Cataluña. En la resolución de todos los problemas se usa, por defecto, el habitual sistema consistente de unidades V, mA, kΩ, que hace que los valores numéricos que típicamente aparecen en la resolución de dichos problemas no disten muchos órdenes de magnitud de la unidad. Para el análisis de circuitos con diodos se usan tres modelos lineales a tramos. El llamado “diodo ideal”, que es útil para tener una primera idea del comportamiento de un circuito electrónico, pero introduce errores relativamente grandes, y dos modelos más precisos, uno con parámetros VD0 y rD , y otro apropiado para diodos Zener, con parámetros VD0 , rD , VZ0 , y rZ . Cada uno de esos modelos tiene asociados un conjunto de zonas de trabajo con condiciones y circuitos equivalentes asociadas a ellas. La siguiente figura representa el modelo lineal a tramos “diodo ideal”, indicando para cada zona de trabajo (ON, OFF) el circuito equivalente y las condiciones de estado correspondientes. I

I A

K +

−

ON A K I≥0

VAK

OFF A K

VAK VAK ≤ 0

El modelo lineal a tramos con parámetros VD0 y rD es un modelo apropiado para diodos con tensión de ruptura grande que no trabajan en la zona ruptura en el circuito en consideración. Dicho modelo es descrito en la siguiente figura, y tiene dos zonas de trabajo: ON y OFF. ON A

I

I A

K +

−

VAK

dI dVAK

VD0 I ≥0 1 = rD

VD0 VAK OFF A K VAK ≤ VD0

rD

K

Prefacio

VI

El modelo lineal a tramos con parámetros VD0 , rD , VZ0 , y rZ es un modelo apropiado para diodos Zener. Dicho modelo es descrito en la siguiente figura, y tiene tres zonas de trabajo: ON, OFF y RUPTURA. ON A

I

rD

K

I A

VD0 I≥0

K +

− VAK

1 dI = dVAK rD

−VZ0 dI 1 = rZ dVAK RUPTURA rZ K A

VD0 VAK OFF A K VZ0 ≤ VAK ≤ VD0

VZ0 I≤0

Es sabido que los circuitos lineales pueden no tener solución o tener infinitas soluciones. De modo similar, los circuitos con diodos modelados con modelos lineales a tramos pueden no tener solución o tener infinitas soluciones. Un ejemplo de circuito con diodos sin solución es el siguiente, donde para el diodo se utiliza el modelo lineal a tramos “diodo ideal”.

3V

2V

En efecto, la hipótesis diodo trabajando en la zona ON conduce a un circuito sin solución, pues la fuente de tensión de valor 3 V queda conectada a la fuente de tensión de valor 2 V. Por otro lado, la hipótesis diodo trabajando en la zona OFF conduce a una tensión VAK = 1 V, que no verifica VAK ≤ 0. Un ejemplo de circuito con infinitas soluciones es el circuito del Problema 15 con vi = 2 V. Tal y como se razona en la resolución de dicho problema, con esa vi la corriente i vale 0 y los dos diodos trabajan en la zona OFF. El valor de la tensión ánodo-cátodo de D1 puede tomar, sin embargo, cualquier valor dentro del intervalo [−2,7, 0,7], pues, siendo vAK1 y vAK2 las tensiones ánodo-cátodo de, respectivamente, D1 y D2, cualquier valor dentro del intervalo es compatible con vAK1 ≤ 0,7, −4,7 ≤ vAK2 ≤ 0,7 y vAK1 − vAK2 = 2. Todos los circuitos con diodos considerados, con la excepción del circuito del Problema 15, tienen solución única. Sin embargo, los problemas correspondientes son resueltos aceptando que el circuito pudiera no tener solución. Es decir, no se da por terminado el análisis del circuito hasta que se determina una combinación de zonas de trabajo para los diodos para la que el circuito lineal resultante tiene solución y se cumplen las condiciones de la zona de trabajo de cada diodo.

Prefacio

VII

Para analizar circuitos con transistores de unión bipolares (BJTs) npn se utiliza el modelo lineal a tramos con parámetros VBE0 , VCE ,sat y β descrito en la siguiente figura. El modelo cubre el comportamiento eléctrico del dispositivo para VCE ≥ 0 y tiene tres zonasde trabajo: CORTE, ACTIVA y SATURACIÓN. C IC + VCE −

IB B + VBE −

IB

IC βIB3

IB = IB3

βIB2

IB = IB2

βIB1

IB = IB1

E VBE0

B

C

´ SATURACION C

B

βIB

VBE0

IB

VBE0

E

VCE

VCE ,sat

ACTIVA

CORTE B

VBE

IB

IC

C VCE ,sat

VBE ≤ VBE0 VCE ≥ 0

E IB ≥ 0 VCE ≥ VCE ,sat

E IB ≥ 0

0 ≤ IC ≤ βIB

Para los BJTs pnp se utiliza un modelo lineal a tramos similar, descrito en la siguiente figura, que cubre el comportamiento eléctrico del dispositivo para VEC ≥ 0 y tiene también las zonas de trabajo CORTE, ACTIVA y SATURACIÓN. C IC − VEC +

IB B − VEB +

IB

IC βIB3

IB = IB3

βIB2

IB = IB2

βIB1

IB = IB1

E VEB0

C E

B

C

B

βIB

VEB0

IB

VEB0

VEC

´ SATURACION

ACTIVA

CORTE B

VEC ,sat

VEB

IB

C IC VEC ,sat

VEB ≤ VEB0 VEC ≥ 0

E IB ≥ 0

VEC ≥ VEC ,sat

E IB ≥ 0

0 ≤ IC ≤ βIB

Prefacio

VIII

Las figuras anteriores indican el sentido en el que para cada tipo de BJT se consideran positivas la corriente de base, IB , y la corriente de colector, IC . Con respecto a la corriente de emisor, IE , ésta se considera positiva cuando es saliente en los BJTs npn y se considera positiva cuando es entrante en los BJTs pnp. Para los MOSFET de enriquecimiento de canal n se utiliza el siguiente modelo de continua, que cubre el comportamiento eléctrico del dispositivo para VDS ≥ 0 y tiene tres zonas de trabajo: corte, óhmica y saturación. El dispositivo trabaja en la zona corte para VGS ≤ Vt , donde Vt es la tensión umbral del dispositivo, que es > 0, y en esa zona la corriente de drenador, ID , que se considera positiva cuando es entrante es nula. El dispositivo trabaja en la zona óhmica para VGS ≥ Vt y 0 ≤ VDS ≤ VDS ,sat = VGS − Vt , y en esa zona 2 ], ID = ID,sat = K[2(VGS − Vt )VDS − V DS

donde K > 0 es el parámetro de escala de corriente del transistor. Por último, el dispositivo trabaja en la zona saturación para VGS ≥ Vt y VDS ≥ VDS ,sat , y en esa zona ID = K(VGS − Vt )2 . Para los MOSFET de enriquecimiento de canal p se usa un modelo similar, que cubre el comportamiento eléctrico del dispositivo para VDS ≤ 0 y también tiene las zonas de trabajo corte, óhmica y saturación. Las expresiones para ID en todas las zonas son idénticas a las expresiones correspondientes al MOSFET de enriquecimiento de canal n. Ahora, sin embargo, la tensión umbral Vt es < 0 y la corriente de drenador, ID , se considera positiva cuando es saliente. La condición para el trabajo en la zona corte es VGS ≥ Vt . Las condiciones para el trabajo en la zona óhmica son VGS ≤ Vt y VDS ,sat ≤ VDS ≤ 0. Las condiciones para el trabajo en la zona saturación son VGS ≤ Vt y VDS ≤ VDS ,sat . Los circuitos con transistores pueden admitir un número finito de soluciones mayor a 1. Esa posibilidad es de hecho aprovechada en el diseño de biestables, circuitos con dos estados (soluciones). La siguiente figura muestra un biestable constituido por dos BJTs. 5V

R Q1

R Q2

Es fácil comprobar, utilizando para los dos BJTs un modelo lineal a tramos con parámetros VBE0 = 0,7, VCE ,sat = 0,2 y una β de valor suficientemente elevado, que el circuito tiene dos soluciones: en una de ellas Q1 trabaja en la zona CORTE y Q2 en la zona SATURACIÓN; en la otra Q1 trabaja en la zona SATURACIÓN y Q2 en la zona CORTE. Todos los circuitos con transistores analizados en los problemas de la colección tienen solución única dentro del dominio para el comportamiento eléctrico de los dispositivos cubierto por los modelos utilizados

Prefacio

IX

(VCE ≥ 0 para los BJTs npn, VEC ≥ 0 para los BJTs pnp, VDS ≥ 0 para los MOSFETs de enriquecimiento de canal n, y VDS ≤ 0 para los MOSFETs de enriquecimiento de canal p). Sin embargo, los problemas de análisis de circuitos con transistores son resueltos aceptando que el circuito pudiera no tener solución dentro del dominio para el comportamiento en continua de los dispositivos cubierto por los modelos. Es decir, no se da por concluido el análisis del circuito hasta que se encuentra una combinación para las zonas de trabajo de los transistores para la que el circuito lineal resultante tiene solución y se cumplen las condiciones de la zona de trabajo de cada dispositivo. Para analizar amplificadores de pequeña señal se usan para los BJTs y los MOSFETs de enriquecimiento modelos de pequeña señal de baja frecuencia que no tienen en cuenta ni el efecto Early, en el caso de los BJTs, ni la modulación de la anchura del canal, en el caso de los MOSFETs. Además, se supone implícitamente que las pequeñas señales adoptan valores suficientemente pequeños, de forma que el comportamiento del amplificador sea correcto y el análisis de pequeña señal sea válido bajo la única condición de que, con señales nulas, es decir, al hacer el análisis de polarización, los BJTs trabajen en la zona ACTIVA en un punto alejado de las fronteras con las zonas CORTE y SATURACIÓN, y los MOSFETs trabajen en la zona saturación en un punto de trabajo alejado de las fronteras con las zonas corte y óhmica. El análisis de los amplificadores de pequeña señal se hace para frecuencias dentro de la banda pasante del amplificador. Ello permite sustituir las capacidades de desacoplamiento por cortocircuitos al hacer el análisis de pequeña señal y permite ignorar los condensadores que los modelos de pequeña señal para frecuencias elevadas incluyen. La siguiente figura da, en su parte izquierda, el modelo de pequeña señal de un BJT npn y, en su parte derecha, el modelo de pequeña señal de un BJT pnp. La resistencia rπ tiene el valor βVT /IC , donde VT es el potencial equivalente de temperatura, que a una temperatura absoluta 300 K vale 25,9 mV e IC es la componente de polarización de la corriente de colector. ib

ib

B

C rπ

B

C rπ

β ib

β ib

E

E

La siguiente figura da el modelo de pequeña señal de los MOSFET de enriquecimiento (el modelo √ es igual para los de canal n y para los de canal p). El parámetro gm vale 2 KID , donde K es el parámetro de escala de corriente del modelo de continua del MOSFET de enriquecimiento e ID es la componente de polarización de la corriente de drenador. G

D

+ vgs

gm vgs − S

En algunos problemas se hace referencia a interruptores ideales. Un interruptor ideal es un interruptor que en ON es equivalente a una resistencia nula y en OFF es equivalente a un circuito abierto. Para representar el valor de la resistencia equivalente de n resistencias con valores

Prefacio

X

R1 , R 2 , . . . , Rn asociadas en paralelo, se usa la notación R1 ∥ R2 ∥ · · · ∥ Rn . En los problemas de análisis de circuitos con amplificadores operacionales, se supone que hay estabilidad cuando el amplificador operacional está realimentado negativamente con una ganancia de realimentación β real, > 0 y ≤ 1, y la tensión de la salida del amplificador operacional está comprendida entre las tensiones de saturación. Esa condición es suficiente para amplificadores operacionales con compensación en frecuencia, como el popular 741. En ese caso, el amplificador operacional trabaja en la zona lineal y, aceptándose una ganancia de tensión diferencial muy grande, se considera aplicable el teorema del cortocircuito virtual que afirma que, en la zona lineal, las tensiones de las entradas inversora y no inversora son iguales. En todos los problemas se supone implícitamente, a menos que se indique lo contrario, que las resistencias tienen valores finitos y no nulos. Cuando no se pueden expresar de forma exacta usando un número de cifras significativas menor, las soluciones numéricas finales de los problemas se dan utilizando cuatro cifras significativas con redondeo correcto (al número con cuatro cifras significativas más próximo) a partir de los resultados numéricos intermedios anteriores. Éstos se expresan de forma similar, excepto cuando, debido a la presencia de restas de números parecidos, el uso de sólo cuatro cifras significativas se traduciría en un error relativo en un resultado final significativamente mayor que el error de redondeo a cuatro cifras significativas. En esos casos, se expresan los resultados intermedios usando más de cuatro cifras significativas. Un último comentario. En la resolución de los problemas se usan nociones y resultados elementales de teoría de circuitos que pueden encontrarse en el opúsculo “Nociones y Resultados Elementales de Teoría de Circuitos” del mismo autor. Dicho opúsculo describe también la notación que es utilizada en la descripción de los circuitos. El autor.

1. Problemas de Análisis de Circuitos con Diodos

1

1. Problemas de Análisis de Circuitos con Diodos Problema 1: Los diodos D1 y D2 del circuito de la siguiente figura tienen corrientes inversas de saturación IS1 = 10−12 A e I S2 = 2 × 10−11 A, respectivamente, y un parámetro η = 1. Determine los valores de V e I. Suponga VT = 25,9 mV. I D1 5V D2

+ V −

Solución: Empezaremos suponiendo 5 − V ' VT = 0,0259 V. Dado que 5 − V es la tensión inversa que ve el diodo D1, ello implica que, con mucha precisión, se tendrá I = IS1 = 10−12 A = 10−9 mA. La tensión V puede ser calculada utilizando " ! I = IS2 eV /VT − 1 , I = eV /VT − 1 , IS2 I , eV /VT = 1 + IS2 # $ V I = ln 1 + , VT IS2 obteniéndose $ # $ # I 10−9 = 0,001264 = 1,264 mV . V = VT ln 1 + = 0,0259 ln 1 + 2 × 10−8 IS2

Resulta 5 − V = 5 − 0,001264 = 4,999, que es ' 0,0259. Así pues, los valores calculados para V e I son correctos. Problema 2: Los diodos D1 y D2 del circuito de la siguiente figura tienen corrientes inversas de saturación IS1 = 10−12 A e IS2 = 8 × 10−12 A, respectivamente, y un parámetro η = 1. Determine los valores de I1 e I2 . I1 1 µA

D1

I2 D2

Solución: Llamando VAK a la tensión ánodo-cátodo común a los dos diodos, tenemos ! " I1 = IS1 eVAK /VT − 1 e

! " I2 = IS2 eVAK /VT − 1 .

1. Problemas de Análisis de Circuitos con Diodos

3

2,999 × 10−4 . Así pues, una solución de la ecuación es V = 2,999 × 10−4 V = 0,2999 mV. Se puede argumentar que dicha solución es única observando que 105 V /0,0259 df =− = −3,861 × 106 eV /0,0259 < 0 . e dV 0,0259 Entonces, al hacerse V mayor a 2,999 × 10−4 , f (V ) se hará menor, haciendo imposible que para valores mayores a 2,999 × 10−4 se pueda verificar V = f (V ). De modo similar se puede razonar que no se podrá verificar V = f (V ) para valores menores a 2,999 × 10−4 . La solución encontrada para V verifica 5 − V = 5,000, que es ' 0,0259, como se había supuesto. Falta calcular I. Usando la ecuación del diodo D2 se obtiene ! " " ! −4 I = IS2 eV /VT − 1 = 10−9 e2,999×10 /0,0259 − 1 = 1,165 × 10−11 mA = 1,165 × 10−14 A .

Problema 4: Utilizando para el diodo el modelo lineal a tramos “diodo ideal”, analice el circuito de la siguiente figura y determine los valores de I1 , I2 y V . 10 V

10 kΩ V I1

I2

9,9 kΩ

−10 V

Solución: Supondremos que los dos diodos trabajan en ON. Sustituyendo los diodos por los circuitos equivalentes correspondientes a la zona de trabajo ON, se obtiene el circuito 10 V

10 kΩ

I1

I1 + I2

A I2 K

A K

V

9,9 kΩ

−10 V

Se ha de verificar I1 ≥ 0 e I2 ≥ 0. Aceptando que I1 e I2 sean finitas, se tiene V = 0. Además, las diferencias de tensión en las dos resistencias resultan ser iguales a 10 V, obteniéndose,

1. Problemas de Análisis de Circuitos con Diodos

4

aplicando la ley de Ohm a esas resistencias, 10 = 9,9 (I1 + I2 ) = 9,9 I1 + 9,9 I2 , 10 = 10 I2 , de donde I2 = 1, valor ≥ 0 y finito, e I1 =

10 − 9,9 I2 10 − (9,9)(1) = 0,01010 , = 9,9 9,9

valor que también es ≥ 0 y finito. Así pues, los estados supuestos para los diodos son correctos y se tiene I1 = 0,01010 mA, I2 = 1 mA y V = 0. Problema 5: Utilizando para el diodo el modelo lineal a tramos “diodo ideal”, analice el circuito de la siguiente figura y determine los valores de I1 , I2 , I3 , y V . 30 V

I1

10 kΩ I2 V

I3

20 kΩ

20 kΩ

Solución: Calculando el equivalente de Thévenin del dipolo formado por la fuente de tensión de valor 30 V y las resistencias de la izquierda, que tiene como salidas los extremos de la resistencia de valor 20 kΩ, se obtiene, utilizando el hecho de que el dipolo es un divisor de tensión, una tensión de Thévenin 20 Vth = 30 = 20 V 10 + 20 y una resistencia de Thévenin Rth = 10 ∥ 20 =

(10)(20) = 6,667 kΩ . 10 + 20

Sustituyendo el dipolo por su equivalente de Thévenin resulta el circuito 6,667 kΩ V 20 V

I2

20 kΩ

Analizando dicho circuito es fácil deducir que el diodo trabajará en la zona ON y calcular el valor de la corriente I2 . En efecto, siendo VAK la tensión ánodo-cátodo del diodo, el punto de trabajo (VAK , I2 ) del diodo estará en la intersección del modelo lineal a tramos del diodo y la

1. Problemas de Análisis de Circuitos con Diodos

5

recta de carga, cuya ecuación se obtiene aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la única malla del circuito, con el resultado 20 = 6,667 I2 + VAK + 20 I2 = 26,67 I2 + VAK . Haciendo I2 = 0, se obtiene VAK = 20 y haciendo VAK = 0, se obtiene I2 = 20/26,67 = 0,7499. Así pues, la recta de carga pasa por los puntos (20, 0) y (0, 0,7499), y el punto de trabajo es el indicado con un círculo en la siguiente figura, donde se han dibujado el modelo lineal a tramos del diodo y la recta de carga. I2