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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Variable continua es aquella que puede tomar valores entre todos los contenidos en una recta. La distribución de frecuencia de una variable aleatoria continua se representa por una curva continua que corresponde a la llamada función de densidad de probabilidad (ár...

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Variable continua es aquella que puede tomar valores entre todos los contenidos en una recta. La distribución de frecuencia de una variable aleatoria continua se representa por una curva continua que corresponde a la llamada función de densidad de probabilidad (área bajo la curva es la probabilidad y el área total es igual a 1), la cual en la mayoría de las ocasiones tiene una tendencia acampanada o “distribución normal” Pueden tomar cualquier valor de entre todos los contenidos en un intervalo de la recta. . Cualquier variable aleatoria cuyos valores son mediciones es una variable aleatoria continua. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua, se representa por una curva (función de densidad de probabilidad), a pesar de que estas densidades toman una variedad de formas, es importante hacer notar que muchas de las variables aleatorias observadas en la naturaleza tienen una distribución de frecuencias de forma aproximadamente acampanada o “distribución de probabilidad normal” 1. NORMAL En la practica es raro encontrar variables cuyo recorrido va de menos infinito a más infinito, cualquiera que sea el significado que ese le quiera dar a estas frases, ciertamente la estatura de los seres humanos, el peso de una especie o la duración de una bombilla son variables que no satisfacen este requisito. Sin embargo, el histograma de frecuencias relativas, para muchos tipos de mediciones, genera al graficarse una figura acampada que podría aproximarse por la función cuya grafica aparece en la figura 1.

FIGURA 1.

Función de densidad de probabilidad normal

f ( x) 





e

( x )2 2

2

Los símbolos e y  representan números irracionales, cuyos valores son aproximadamente 2.7183 y 3.1416 respectivamente, mientras que  y  son la media y la desviación estándar de la población. TEOREMA DE LIMITE CENTRAL: Establece que bajo condiciones generales, sumas y medias de muestras de mediciones aleatorias tienden a poseer una distribución acampanada en un muestreo repetitivo. Si se extraen muestras de tamaño n de una población con media finita  y desviación estándar , entonces, si n es grande, la media muestral x tiene una distribución aproximadamente normal con media  y desviación estándar  / n , la aproximación es mejor a medida que n crece. Entonces, el teorema de Limite Central estable que a medida que n crece, la distribución de la suma de las mediciones tiende una normal, con media n y desviación estándar

 n.

Importancia: 1. Explica por que algunas distribuciones tienen aproximadamente normal (estatura de las personas, otras variables aleatorias, como padres, ambiente, zona, comida, etc.) 2. Contribución en la inferencia estadística. Es un excelente estimador. Inconvenientes: 1. Debemos saber que tan grande es la muestra para que la estimación produzca resultados útiles. Muestreo aleatorio: Suponga que se selecciona una muestra de n mediciones de una población de N mediciones. Si el muestreo se efectúa de forma que cada muestra diferente de n mediciones tiene igual probabilidad de ser seleccionada, se dice que el muestreo es aleatorio el resultado es lo que se denomina una muestra aleatoria. Áreas Tabuladas de la distribución de Probabilidad Normal. Se puede notar en la ecuación dada de la normal, que la función de densidad depende de los valores numéricos dados de  y  y al hacerlos variar se genera una familia infinita de distribuciones normales. La forma más sencilla es por medio de la Tabla 3. que proporciona el área bajo la curva y podría utilizarse en todos los casos. La curva normal es simétrica alrededor de la media, la mitad del área bajo la curva está a la izquierda y la otra mitad a la derecha, y partiendo del hecho de que el área total bajo la curva (normal) es uno, podemos deducir que el área bajo la curva hacia la derecha es 0.5, este valor es igual para el área bajo la curva hacia la izquierda, de esta área de la función de densidad determinamos el valor de la probabilidad P(x). De esta forma se pueden calcular las áreas a la derecha o a la izquierda de la media , con el valor correspondiente de , sabemos que la distancia desde la media hasta cualquier valor dado de x lo podemos establecer calculando la diferencia entre (x - ), y la expresamos en unidades de la desviación estándar , se tiene:

z

x



Existe una correspondencia entre x y z, cuando =0 entonces z=o, la distribución de Z es llamada distribución normal estandarizada. Entonces, podemos deducir que el área bajo la curva comprendido entre Z=0 y cualquier otro valor que tome Z (Zo), es la probabilidad (0  Z  Zo), esta área se registra en la Tabla 3. y corresponde al área sombreada en la Figura 2.

FIGURA 2. Instrucciones de Uso de la Tabla: En la tabla encontramos el valor de Z. 1. Hasta la primera cifra decimal, aparece en la columna de la izquierda. 2. Después de la segunda cifra decimal, aparece en la fila superior. 3. El valor general del área bajo la curva (probabilidad) es la conjugación de las dos anteriores, buscamos la primer cifra decimal en la primer columna de la izquierda, y el valor de las demás décimas lo ubicamos en la fila superior, al entrelazarlas ubicamos el valor correspondiente del área buscada para un Z dado. Ejemplo: Halle el área comprendida entre la media y Z = 0.7 desviaciones estándar a la derecha, el valor aparece en la segunda columna y es 0.2580. Ejemplo: Halle el área entre la media y Z = 1.0 = 0.3413 Ejemplo: Halle el área entre más o menos 1 desviación estándar. Entonces sería dos veces el procedimiento anterior, dado que la tabla no da valores negativos, simplemente se halla el valor determinado para z y se suman las dos áreas. Ejemplo: Halle el área entre más o menos 2 desviaciones estándar = 2(0.4772) = 0.9544. Este valor se aproxima a los utilizados en la regla empírica que decía que entre   2 (desviaciones estándar) es el 95% Ejemplo: El área entre la media y un punto z = 0.57 desviaciones estándar a la derecha de la media. Se encuentra 0.5 en la primer columna y el valor correspondiente a 0.7 en la fila superior, la intersección de estas dos nos da 0.2157.

Nota Importante: La probabilidad para variables aleatorias continuas, se definen como áreas abajo la curva correspondiente a la función de densidad de probabilidad. Entonces , por ejemplo, si x toma un valor cualquiera, digamos que x es una variable aleatoria normal, la probabilidad de que esta tome un valor especifico, digamos 10 (como si fuera una variable discreta) es cero, dado que no hay área bajo la curva en el punto x = 10. Por lo tanto, la probabilidad de que x  10, es igual a la probabilidad de que x < 10, porque la probabilidad de que x = 10 es cero. Ejercicios: Encuentre la probabilidad del valor dado, y haga la correspondiente curva, analizando los datos: 1. P( 0  Z  1.63) Se calcula el área entre la media Z = 0 y un punto z = 1.63 desviaciones estandar a la derecha de a media. Se busca el valor correspondiente a Z = 1.63, mirar intersección en la tabla 3. A = 0.4484

2. P( -0.5  Z  1.0) El área deseada es la suma de las áreas A1 y A2, A1 es el área entre Z = 0 y Z = 0.5, el A2 es el área entre z = 0 y Z = 1.0 A1 = 0.1915 A2 = 0.3413 A = A1 + A2 = 0.1915 + 0.3413 = 0.5328

3. Encuentre el valor de Z, digamos Zo, tal que con cuatro cifras decimales 0.95 del área esté comprendida entre  Zo desviaciones estándar de la media. 4. Sea x una variable aleatoria con distribución normal de media 10 y desviación estándar 2. Encuentre la probabilidad de que x esté entre 11 y 13.6. Primero se deben calcular los valores de Z que corresponden a x1 = 11 y x2 = 13.6, entonces:

z

x



z1 

z2 

11  10  0.5 2

13.6  10  1.80 2

Entonces la probabilidad deseada corresponde a la contenida entre (0.5  Z  1.80), entonces busco los valores correspondientes a z en la tabla 3. A1 = 0.1915 área entre Z = 0 y Z1 = 0.5 A2 = 0.4641 área entre Z = 0 y Z2 = 1.80 El área total, es la diferencia entre las áreas A1 y A2 : A = A2 - A1 = 0.4641 – 0.1915 = 0.2726

5. Algunos estudios demuestran que el rendimiento de gasolina de autos compactos, se distribuyen normalmente con una media de 25.5 millas por galón (mpg). Y una desviación estándar de 4.5 mpg. ¿Qué porcentaje de autos compactos tiene un rendimiento de 30 mpg o más?

x

30  25.5  1.0 4.5

Primero se debe hallar el valor de Z:

z



z1 

El área a la derecha de la media correspondiente a Z = 1.0, es 0.3413.

La proporción de autos compactos que tienen un rendimiento igual o mayor a 30 mpg es igual al área total a la derecha de la media, 0.5 menos el área A. P(x  30) = 0.5 – P(0  z  1.0) = 0.5 – 0.3413 = 0.1587. El porcentaje de autos que exceden las 30 mpg es el 15.87%.

6. En épocas de escasez de fuente de energía, los fabricantes de automóviles que producen vehículos más económicos, en lo que se refiere a consumos de gasolina, tienen ventajas competitivas con respecto a los demás productores. Si un fabricante desea diseñar un auto compacto más económico que el 95 % de los autos compactos actuales, ¿cuál debe ser el rendimiento del nuevo auto? Uso los datos el ejercicio 5. X una variable aleatoria normalmente distribuida con una media de 25.5 y una desviación estándar de 4.5, se desea encontrar el valor de Xo tal que P(x  xo) = 0.95, entonces se calcula Z:

z

x0  





x0  25.5 4.5

y la probabilidad requerida corresponde al área a la izquierda de Z0 en la distribución normal estándar, por lo tanto P(Z  Z0) = 0.95. El área a la izquierda de la media es 0.5, el área a la derecha de la media entre Zo y la media es 0.95 – 0.5 = 0.45. De la tabla 3 se tiene que Zo es un valor entre 1.64 y 1.65, nótese que el área de 0.45 está exactamente a la mitad entre las áreas correspondientes a Z = 1.64 y Zo = 1.645, entonces se sustituye el valor de Zo en la ecuación

1.645 

x0  25.5  4.5

x0  1.645(4.5)  25.5  32.9

Entonces, el nuevo auto compacto debe tener un rendimiento de 32.9 mpg para ser mejor que el 95 % de los autos compacto que actualmente se venden.

DISTRIBUCÍÓN DE PROBABILIDAD NORMAL Función de densidad: En teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la función de densidad sobre dicho conjunto.

f ( x) 





e

( x )2 2

2

Características: -

Forma Acampanada: Media, mediana y moda se localizan en el centro de la distribución. El área total bajo la curva es 1.

-

Simétrica: respecto a la media, las dos mitades son iguales.

-

Asintótica: Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central la curva, se aproxima al eje x sin tocarlo, con tendencia al infinito.

-

Localización: se determina a través de la media. La dispersión se determina por medio de la desviación estándar

Diagramas: -

Distribución normal Distribución de probabilidad normal con medias iguales y distribuciones estándar diferentes Dist. Normal con medias diferentes y desviaciones estándar iguales Dist. Normal con medias y desviaciones diferentes.

Distribución de Probabilidad Normal Estandar Tiene media 0 y desviación estándar 1 Cualquier distribución de probabilidad normal se puede convertir en una distribución normal estándar. Valor Z: Distancia con signo entre un valor seleccionado, designado X y la media, dividida entre la desviación estándar. Z es la distancia de la media, hasta cualquier punto, medida en unidades de desviación estándar. Formula

z

x



X: es el valor de cualquier observación y medición  : es la media de la distribución  : es la desviación estándar de la distribución

LA APROXIMACIÓN NORMAL PARA LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Anteriormente se habló de varias aplicaciones de la distribución de probabilidad binomial en las que se requería el calculo de la probabilidad e que x e, numero de aciertos en n ensayos, caiga en determinada región. Ne la mayoría de casos el valor de n fue pequeño debido cálculos para obtener el valor de p(x) o la probabilidad de que x caiga en determinada región, y cuando n era muy grande se utilizaba la distribución de probabilidad de Poisson. Como se sabe el calculo de P(x) cuando n es muy grande no es imposible, con el teorema central del limite se da una solución a este problema dado que x el numero de aciertos en n ensayos puede considerarse una suma que satisface las condiciones del teorema central del limite. Cada ensayo tiene como resultado 0 o 1 aciertos con probabilidad q y p respectivamente, por ello cada uno de los n ensayos puede considerarse como una observación independiente de un experimento binomial que consiste en un ensayo y x el numero total de aciertos en n ensayos, es la suma de estas n observaciones independientes. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable binomial x tiene una distribución aproximadamente normal, con una media y una varianza de np y npq respectivamente. Puede entonces usar las áreas bajo luna curva normal adecuada para aproximar probabilidades binomiales....