Dokument 15 - physikalische notizen PDF

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physikalische notizen...

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Für den Fall, dass die Schaukel festgehalten wird, werden die wirkenden Kräfte in Abbildung 1 dargestellt. Es wirken die Gewichtskraft der aufsitzenden Person (

), die Kraft, die das Seil auf die Schaukel ausübt (

) und die Kraft, mit der die andere Person die Schaukel festhält ( ausgleichen, also

). Da sich die drei Kräfte genau

gilt, wird die Schaukel nicht beschleunigt. Nach dem Loslassen der Schaukel sind die auf die Schaukel wirkenden Kräfte in Abbildung 2 dargestellt. Wirkt keine haltende Kraf t , ergibt sich aus den beiden verbleibenden Kräften die die Schaukel beschleunigt:

und

eine Kraft,

Diese resultierende Kraft wird häufig auch als Rückstellkraft bezeichnet. Diese zeigt bei einem Fadenpendel immer tangential zum Kreis(-bogen) der Bahn des Pendels oder ist gleich 0, wenn sich das Pendel in der Gleichgewichtsposition befindet. Für kleine Auslenkungen handelt es sich bei der Schwingung eines Fadenpendels in guter Näherung um eine harmonische Schwingung, dies bedeutet, dass die rückstellende Kraft proportional zur Auslenkung des Pendels (Oszillators) ist.

Der Neigungswinkel

der Schaukel kann über trigonometrische Beziehungen bestimmt werden:

1. Mittels der Seillänge und dem horizontalen Abstand

der ausgelenkten Schaukel zur

Gleichgewichtslage: 2. Über die wirkenden Kräfte nach dem Loslassen der Schaukel (siehe Abbildung 2):

Speziell zur Aufgabe: Zum Lösen der Aufgabe wird eine weitere Beziehung für den Winkel

benötigt, die

sich aus der Gewichtskraft und der Haltekraft ergibt: (siehe Abbildung 1). Mit dem berechneten Winkel können Rückstellkraft und der horizontale Abstand zur Gleichgewichtslage bestimmt werden. Durch Ablesen der Schwingungsdauer kann die Kreisfrequenz bestimmt werden. Um den Phasenwinkel aus dem Funktionsgraphen des - -Diagramms zu bestimmen (3. Aufgabenteil), muss zunächst die Verschiebung der Sinus-Funktion auf der -Achse abgelesen werden. Diese wird dann mit der Kreisfrequenz multipliziert:

Die Amplitude wird nur von

bis zu einem lokalen Maximum/Minimum abgelesen

Harmonischen Schwingung: Beim Schaukeln auf dem Kinderspielplatz handelt es sich in guter Näherung um eine harmonische Schwingung. Diese Schwingung ist, wie i.d.R. immer, eine gedämpfte Schwingung, deren Amplitude mit der Zeit abklingt. Die Schaukelschwingung kann mit der Schwingung eines Fadenpendels verglichen werden auch wenn sich das Federpendel unter Wasser befindet, handelt es sich bei der Schwingung um eine harmonische Schwingung. Durch die Durchführung unter Wasser wird lediglich die Dämpfung der Schwingung verstärkt. Bei der genannten Schwingung (auch Doppel-Pendel genannt), handelt es sich nicht um eine harmonische Schwingung. Das Doppel-Pendel ist ein bekanntes Beispiel für eine chaotische Schwingung, bei der das Pendel eine komplexe Bewegung durchführt, die nur schwer oder gar nicht vorhergesagt werden kann. Grundsätzlich handelt es sich bei Tönen (physikalisch: Schallwellen), die von Musikinstrumenten erzeugt werden, um die Überlagerung verschiedener Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen (man spricht in diesem Zusammenhang auch von der Klangfarbe). Die Schwingungen der einzelnen Punkte auf der Gitarrensaite führen damit keine harmonische Schwingung durch, sondern eine Bewegung, die sich aus der Überlagerung von Schwingungen zusammensetzt. Wird mit einer Gitarre bspw. der Ton A ( ) gespielt, so wird ein Klang erzeugt, der sich aus, für das Instrument charakteristischen, Oberschwingungen des Tons A zusammensetzt. Bei dieser Schwingung handelt es sich um eine typische elektromagnetische Schwingung (auch Schwingkreis genannt). Die Schwingung wird dabei beim Entladen eines Kondensators über eine Spule, ohne angeschlossene Spannungsquelle, durch die Selbstinduktion der Spule verursacht.

Bewegungsgleichung einer gedämpften Schwingung: Aus dem zweiten Newtonschen Gesetz lässt sich die Bewegungsgleichung für eine gedämpfte Schwingung herleiten. Dabei ist die Dämpfung der Schwingung eines Dämpfungsfaktors und der Geschwindigkeit des Oszillators abhängig. Es folgt ein ähnlicher Ausdruck zur Schwingungsgleichung für freie ungedämpfte Schwingungen mit einem zusätzlichen Term:

Dafür bietet sich der Lösungsansatz einer Exponentialfunktion Ableitungen an: , .

und deren

Nach dem Einsetzen des Lösungsansatzes und dessen Ableitungen sowie Division durch die Exponentialfunktion (welche nicht null werden kann) ergibt sich die, für gedämpfte Schwingungen, charakteristische Gleichung mit dem zu lösenden Parameter :

Es ist bereits aus der Lösung der freien Schwingungsgleichung bekannt, dass ist. Da es sich bei der charakteristischen Gleichung um eine quadratische Gleichung handelt, kann diese mittels p-q-Formel gelöst werden. Es ergeben sich die zwei Lösungen:

Die Lösungen der Gleichung sind demnach abhängig von dem Term innerhalb der Wurzel (Radikand). Auf die genaue mathematische Bestimmung der verschiedenen Dämpfungsfälle wird im Folgenden nicht eingegangen. Man unterscheidet zwischen drei Fällen: •

•

•

Schwache Dämpfung (Schwingfall): Der Term unter der Wurzel ist , sodass die Lösung komplex (mit imaginärem Anteil) wird. Die Amplitude wird dabei exponentiell mit der Zeit gedämpft (sinkt ab). Starke Dämpfung (Kriechfall): Der Term unter der Wurzel ist für große Werte von b, sodass die Lösungen reell sind. In diesem Fall ist kein harmonischer Term mehr in der Schwingungsgleichung vorhanden. Das System schwingt demnach nicht mehr. Kritische Dämpfung (aperiodischer Grenzfall): Der Term unter der Wurzel , sodass die Lösungen von identisch sind. In diesem Fall stellt sich der Gleichgewichtszustand beim Oszillator am schnellsten wieder ein und es tritt keine Schwingung mehr auf. Die Dämpfung ist in diesem Fall noch effektiver als im oben beschriebenen Kriechfall.

Bei gedämpften Schwingungen nimmt während des Schwingvorgangs die Gesamtenergie des Oszillators ab (bei mechanischen Schwingungen meist durch Reibungseffekte). Damit nehmen maximale Geschwindigkeit ( kinetische Energie) und maximale Auslenkung aus der Ruhelage ( potentielle Energie) des Oszillators ab. Frequenz und Schwingungsdauer bleiben bei der Dämpfung erhalten. Allgemein: Im dargestellten Fall handelt es sich um eine erzwungene Schwingung. Für erzwungene Schwingungen gelten verschiedene Fälle. Diese sind abhängig vom Verhältnis der Frequenz, mit der das schwingende System angeregt wird (Erregerfrequenz ), zur Eigenfrequenz , mit der das schwingungsfähigen Systems nach kurzer Auslenkung beginnt zu schwingen. Es gilt:

•

Erregerfrequenz ist viel kleiner als die Eigenfrequenz des Systems: Die Amplituden von Erreger und Schwinger sind ungefähr gleich. Zudem besteht nahezu kein Phasenunterschied zwischen den beiden Schwingungen.

•

Erregerfrequenz und Eigenfrequenz des Systems sind gleich (Resonanzfall): Die Amplitude des schwingenden Systems ist wesentlich größer als die des Erregers. Zudem eilt die Schwingung des Erregers der Schwingung des angeregten Systems um die Phase

•

voraus.

Erregerfrequenz ist viel größer als die Eigenfrequenz des Systems: Die Amplitude des schwingenden Systems ist wesentlich kleiner als die des Erregers. Zudem besitzen Erreger und

Schwinger eine sich

annähernde Phasenverschiebung.

1) Da in der Aufgabe angegeben ist, dass die Brücke bei der Schrittfrequenz der Gruppe besonders stark zum Schwingen angeregt wird, kann davon ausgegangen werden, dass es sich bei der Frequenz um die Eigenfrequenz der Brücke handelt (man vergleiche dies mit dem Anschubsen einer Person auf einer Schaukel: wird mit der Frequenz der Schwingung der Schaukel angestoßen, so kann die Amplitude der Schaukelschwingung besonders effektiv erhöht werden). . Mittels der Eigenfrequenz lässt sich des Weiteren auch die Geschwindigkeit berechnen, welche beim Überfahren der Brücke mit einem Fahrzeug vermieden werden sollte. 2) Man kann sich überlegen, dass die zu vermeidende Geschwindigkeit genau der Geschwindigkeit entspricht, bei der das Auto während einer Schwingungsdauer genau eine Plattenlänge zurücklegt. Dadurch wird die Brücke besonders effektiv angeregt und es könnte zu einer Resonanzkatastrophe kommen (s. Bild der Tacoma Narrows Bridge). Daraus ergibt sich: Um die Geschwindigkeit in der gewünschten Einheit zu erhalten, muss diese mit dem Faktor der Faktor zustande kommt).

multipliziert werden (man mache sich klar, wie

Das Trommelfell des Menschen kann in diesem Fall als ein Oszillator betrachtet werden, der von ankommenden Schallwellen zum Schwingen angeregt wird. Durch die Überlagerung der Schallwellen der einzelnen Lautsprecher am Trommelfell ergibt sich eine resultierende Schwingung. Eine solche Überlagerung mehrerer Schwingungen wird als Superposition bezeichnet. Die Funktion der aus der Überlagerung entstehenden Schwingung ergibt sich aus der Summe der einzelnen Schwingungsfunktionen. Grafisch ist dies in der obigen Darstellung gezeigt. Dabei überlagern sich die rote und die blaue Kurve zur grünen Kurve. Die entsprechenden Beispiele aus den Aufgaben 1-3 können mittels der Schieberegler rekonstruiert und veranschaulicht werden. Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz (Aufgabe 1 & 2): Überlagern sich zwei Schwingungen gleicher Frequenz, so hat die resultierende Schwingung die gleiche Frequenz wie die einzelnen Schwingungen. Dabei ist die Frequenz zeitlich konstant. Je nach Phasenverschiebung der beiden Schwingungen ergeben sich unterschiedliche Fälle: 1. Konstruktive Überlagerung: Betrachtet man den Fall, dass sich zwei Schwingungen gleicher Frequenz mit einem Phasenunterschied von an einem Ort überlagern, so wird die Amplitude der resultierenden Schwingung größer (in den Aufgaben: die Lautstärke nimmt zu).

2. Destruktive Überlagerung: Betrachtet man den Fall, dass sich zwei Schwingungen gleicher Frequenz mit einem Phasenunterschied von an einem Ort überlagern, so wird die Amplitude der resultierenden Schwingung gleich (in den Aufgaben: es wäre kein Ton zu hören). Überlagerung von Schwingungen ähnlicher Frequenzen (Aufgabe 3): Überlagern sich zwei Schwingungen ähnlicher Frequenzen, so hat die resultierende Schwingung die Frequenz die dem Mittelwert der beiden Einzelfrequenzen (

) entspricht. Die

Amplitude/Auslenkung ändert sich dabei langsam mit der Differenz der Einzelfrequenzen ( . Am Beispiel des Trommelfells (in der Akustik) ist dies als eine langsame Zu- und Abnahme der Lautstärke hörbar und wird als Schwebung bezeichnet. Definition und Eigenschaften von Wellen Unter einer Schwingung versteht man eine periodische Änderung einer oder mehrerer physikalischer Größen (zeitliche Abhängigkeit). Die Schwingungsgleichung einer harmonischen Schwingung lautet:

Wellen treten dann auf, wenn sich eine solche Änderung der physikalischen Größen über mehrere gekoppelten schwingungsfähigen Körper ausbreitet (räumliche und zeitliche Abhängigkeit). Als die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle bezeichnet man die Geschwindigkeit, mit der sich die Änderung fortpflanzt. Die Wellengleichung einer harmonischen Welle lautet:

Bei einer Welle führen die einzelnen Oszillatoren Schwingungen aus. Wellen treten damit nie ohne Schwingungen auf. Da Wellen sich aus gekoppelten Schwingungen zusammensetzen, besitzen diese alle Eigenschaften von einzelnen Schwingungen. Ein Unterschied zwischen Schwingungen und Wellen ist, dass bei der Ausbreitung einer Welle Energie transportiert wird. Um zu entscheiden, ob es sich bei den oben genannten Beispielen um einzelne Schwingungen oder um Wellen handelt, muss sich überlegt werden, ob im genannten System eine Ausbreitung im Raum stattfindet und Energie transportiert wird. Grafische Darstellung von Wellen Betrachtet man die Wellengleichung für harmonische Wellen, so wird die Abhängigkeit der Wellenfunktion von der Ortskoordinate im Raum , sowie von der Zeit deutlich. Für die zweidimensionale Darstellung von Wellen sind demnach zwei unterschiedliche Möglichkeiten gegeben: 3. Momentaufnahme einer Welle im Raum (für einen Zeitpunkt ): Der blaue Graph in Aufgabe 3 stellt die Momentaufnahme einer Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt im Raum dar. An dem Graphen kann die Auslenkung der einzelnen gekoppelten Oszillatoren im Raum (Ortskoordinate ) abgelesen werden. 4. Aufnahme der Schwingung eines Oszillators (für einen Ort ): Der rote Graph stellt die Schwingung eines Oszillators (entweder eines Oszillators in einem gekoppelten oder in einem isolierten System) dar. An dem Graphen kann die Auslenkung in Abhängigkeit der Zeit abgelesen werden. Wellenarten

5. Transversale Wellen: Bei transversalen Wellen bewegt sich das schwingungsfähige Medium (die gekoppelten Oszillatoren) senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Störung. Beispiele dafür sind z. B. Saiten von Musikinstrumenten, Seilwellen oder Erdbeben und Oberflächenwellen auf dem Wasser. 6. Longitudinale Wellen: Bei longitudinalen Wellen bewegt sich das schwingungsfähige Medium (die gekoppelten Oszillatoren) in Ausbreitungsrichtung der Störung. Beispiele dafür sind z. B. Schallwellen oder Wellen entlang von Spiralfedern. Schalwelle Die Ausbreitungsgeschwindigkei Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen in Luft ist unabhängig von der Frequenz und der Wellenlänge des Schalls. Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen in Luft ist bei konstanter Lufttemperatur unabhängig von der Frequenz. Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen in Luft ist bei konstanter Lufttemperatur unabhängig von der Wellenlänge. in festen Stoffen ist die Kopplung der schwingenden Teilchen am stärksten, sodass sich der Schall im Allgemeinen schneller als in gasförmigen und flüssigen Stoffen ausbreiten kann. je stärker die Kopplung zwischen den schwingenden Teilchen eines Stoffes ist, desto höher ist die entsprechende Schallgeschwindigkeit im betrachteten Stoff. Da die Stärke der Kopplung von gasförmigen über flüssige bis hin zu festen Stoffen zunimmt, ist die Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten und Festkörpern höher als in Gasen. Sie hängt von Temperatur ab. Laufen die beiden Wellen in entgegengesetzte Richtungen können sogenannte Schwebungen oder stehende Wellen entstehen. Im Falle einer stehenden Welle gibt es Stellen, an denen sich die Auslenkungen der gegenläufigen Wellen immer zu addieren. Diese Stellen nennt man Knoten. In der Aufgabe wird jedoch danach gefragt, welche Bedingungen gegeben sein müssen, dass sich die Wellen an jeder Stelle vollständig auslöschen. Für den Fall, dass die beiden Wellen sich an jeder Stelle vollständig auslöschen, müssen die Amplituden gleich groß sein. Wäre dies nicht der Fall, so würden sich die Auslenkungen der beiden Wellen nicht immer zu addieren. Eine feste Phasenbeziehung, auch Kohärenz (siehe allgemeines Feedback) genannt, ist eine Voraussetzung für destruktive/konstruktive Interferenz, also Auslöschung oder Verstärkung.

ür den Fall, dass die beiden Wellen sich an jeder Stelle vollständig auslöschen sollen, müssen die Wellenlängen übereinstimmen. Wäre dies nicht der Fall, so könnten sich die Auslenkungen der beiden Wellen höchstens an einigen Stellen zu addieren.

Interferenz Treffen zwei Wellen aufeinander, überlagern sich diese ungestört. Diese ungestörte Überlagerung wird als Interferenz bezeichnet. Nach der Überlagerung breiten sich die Wellen unabhängig voneinander weiter im Medium aus. Je nach Eigenschaften der Wellen und Phasenbeziehung können verschiedene Fälle auftreten. Die Auslenkung der resultierenden Schwingung im Punkt berechnet sich aus der Addition der Amplituden der roten und blauen Welle (Superpositionsprinzip).

Im Punkt spricht man von konstruktiver Interferenz, wenn die resultierende Amplitude maximal ist. Dies tritt auf, wenn die Wellen: •

eine feste Phasenbeziehung haben: in Phase schwingen, d.h.

•

einen Gangunterschied von von Wellenbergen/-tälern).

(mit

) besitzen (Überlagerung

Im Punkt spricht man von destruktiver Interferenz (Auslöschung), wenn die resultierende Amplitude null ist. Dies tritt auf, wenn die Wellen: • •

gleiche Amplituden besitzen eine feste Phasenbeziehung haben: gegenphasig schwingen, d.h.

•

einen Gangunterschied von (mit und der Wellenlänge ) besitzen (Überlagerung von Wellenbergen/-tälern mit Wellentälern/-bergen).

Hinweis: Bei destruktiver Interferenz im Punkt überlagern sich die Amplituden zwar zu , die Wellen können sich danach jedoch im Allgemeinen ungestört weiter ausbreiten. In der folgenden Darstellung wird der Spezialfall betrachtet, dass sich zwei Wellen gleicher Amplitude, Frequenz und Ausbreitungsrichtung vollständig überlagern. Die Phasenbeziehung zu einem bestimmten Zeitpunkt kann über den Schieberegler variiert werden. Auf der Gitarrensaite können demnach nur dritte Oberschwingungen für Frequenzen/Wellenlängen entstehen, für die gilt: . Allgemein gilt für die te Oberschwingung , da ganzzahlige Vielfache der halben Wellenlänge in die Länge der Saite passen müssen, damit sich eine stehende Welle entwickeln kann. Stehende Wellen entstehen durch Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen gleicher Frequenz und Amplitude. Im Beispiel der Gitarrensaite kommt dies dadurch zustande, dass die Welle am festen Ende der Saite mit einem Phasensprung von reflektiert wird. Charakteristisch für stehende Wellen sind Punkte, die Knoten und Bäuche genannt werden. An Knoten sind hin- und rücklaufende Welle immer gegenphasig, die Auslenkungen überlagern sich demnach zeitlich und örtlich konstant zu null. An Bäuchen sind hin- und rücklaufende Welle immer in Phase, sodass die Auslenkungen der beiden Wellen immer den gleichen Wert besitzen, der sich periodisch ändert. Der Abstand zweier benachbarter Knoten, bzw. Bäuche entspricht genau der halben Wellenlänge. 1) 2. Die Frequenz berechnet sich mit Hilfe der Formel

mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls im Stoff und der Wellenlänge 2) Aus der Bedingung für stehende Wellen lässt sich erkennen, wie die Wellenlänge und Frequenz von der Länge der Saite abhängig sind. Die Wellenlänge ist proportional, die Frequenz antiproportional zur Länge der Saite. Wird eine Gitarrensaite angeregt, so stellen sich demnach nur Frequenzen ein, die die beschriebene Bedingung erfüllen. Durch Einstellen der Spannkraft der Saite kann die Frequenz/Wellenlänge der sich ausbildenden stehenden Wellen zudem verändert werden, da dadurch die rückstellende Kraft der Saitenschwingung verändert werden kann....