Due esercizi svolti PDF

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Tracce di es da svolgere...

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1 ESERCIZI SU EROSIONI GENERALIZZATE E LOCALIZZATE Esercizio 1: Erosione al fondo per contrazione. Si determini l’erosione per contrazione che avviene in prossimità di un ponte caratterizzato da i seguenti dati: Sezione rettangolare, larghezza del fiume b0 = 98.2 m; Tirante in condizioni di moto uniforme Y1 =2.62 m; Portata Q=773 m3 /s; d50 =0.31 mm per i primi 90 cm (0.7 mm per gli stati più profondi); pendenza del fondo if =0.004. Il ponte presenta due spalle di larghezza pari a 5.5 m e tre pile di larghezza pari a 0.38 m. Ripetere successivamente il calcolo nel caso con spalle di larghezza pari a 10 m. Si trascurino le perdite di carico localizzate al ponte. Il fattore di restringimento nel primo caso è pari a r=

b b0 − (5.5 · 2 + 0.38 · 3) = 0.87, = b0 b0

mentre il quadrato del numero di Froude nella sezione indisturbata è pari a q2 F 02 = gY03 = 0.35, quindi F0 =0.59. Di conseguenza, la corrente è di tipo lento. 0

1) Valutazione del tirante in prossimità del ponte in assenza di scavo Valutiamo innanzitutto il tirante in prossimità del ponte. Il primo passo è capire se vi un passaggio attraverso la stato critico. A tal fine abbiamo due metodi equivalenti. Il primo metodo consiste nel verificare che sia soddisfatta la relazione 3 F 02/3 1 1 + F 02 − > 0, 2 2 r 2/3 che in forma grafica equivale ad avere valori di r posti al di sopra della curva riportata nel grafico di figura 1. Si verifica facilmente che nel nostro caso il punto di (F0 , r )=(0.87, 0.59) è leggermente superiore alla curva, quindi non è previsto un passaggio attraverso lo stato critico.

2 r 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

F

Figure 1: Al di sotto della curva vi è passaggio attraverso lo stato critico Il secondo metodo consiste nel verificare se la portata unitaria della sezione interessata dal restringimento è maggiore o minore alla portata critica, cioè la portata unitaria massima che può fluire con il carico assegnato. La portata unitaria sotto il ponte è pari a q=

Q = 9.04 m2 /s rb0

mentre il carico specifico assegnato alle condizioni di moto uniforme è pari a E0 = Y 1 +

Q2 = 3.08 m. 2gb20 Y12

Poiché a tale carico corrisponde un valore di altezza critica pari a Yc = 32E0 = 2.05 m, il valore di portata critica qc è pari a qc =

√

3

gYc2 =

√

g



2 E0 3

3 2

= 9.21 m2 /s.

Poiché q < qc la corrente rimane subcritica, cioè non vi è passaggio attraverso lo stato critico. Calcoliamo ora il valore del tirante Y1′. Ponendo E0 = Y 1 +

q02 q2 ′ + = Y1 2g(Y 1′ )2 2g(Y1 )2

3 e ricordando che q = q0 /r, si ottiene Y1′ Y1

!3

F2 − 1+ 2

!

Y 1′ Y1

!2

+

F2 = 0. 2r 2 ′



Y L’equazione di sopra è una cubica che presenta le seguenti radici: Y11 =0.34; 0.69; 0.86. La prima soluzione è chiaramente non fisicamente accettabile in quanto negativa. La seconda soluzione prevederebbe un valore di Y1′ inferiore all’altezza critica Yc e quindi un passaggio da stato subcritico a supercritico, un’eventualità che abbiamo escluso nell’analisi precedente. La terza soluzione è quindi l’unica ammissibile. Il valore di Y1′ è pertanto pari a Y 1′ = 0.86 · 2.62 = 2.25 m



2) Verifica del trasporto solido Il valore della tensione di Shields è pari a τ∗ =

2.62 · 0.004 Y1 if = = 9.07, ∆d50 1.65 · 0.0007

quindi chiaramente maggiore del valore critico previsto dalla curva di Shields. Ci troviamo quindi in condizioni di alveo attivo. In forma cautelativa, il calcolo è stato qui effettuato con il sedimento più grossolano . 3) Calcolo dell’entità dell’erosione per contrazione attraverso la formula di Laursen (1960) q Il valore della velocità di attrito è pari a u∗ = gY1 if = 0.32 m/s. Dal grafico che lega il diametro della particella a velocità di sedimentazione si ottiene che per d50 =0.7 mm la velocità di caduta è circa ω=0.1 m/s. Il rapporto u∗ /ω è quindi pari a 3.2 e dalla tabella fornita a lezione, si ottiene k1 = 0.69. La formula di Larsen risulta quindi  k1

Y2 1 = (β)k1 = Y1 r

=



98.2 86.02

0.69

= 1.1

da cui Y2 = 1.1·2.62 = 2.88. Lo scavo effettivo è quindi pari a ds = Y2 −Y1′ = 0.63 m. 4) Ripetiamo ora i calcoli al caso in cui le spalle sono larghe 10 m

4 Il fattore di restringimento è ora pari a r=

b0 − (10 · 2 + 0.38 · 3) = 0.78. b0

Con tale valore la portata unitaria nella sezione di attraversamento diventa q=

Q = 10.1 > qc , rb0

quindi è previsto un passaggio attraverso lo stato critico. La corrente dovrà perciò caricarsi di energia aggiuntiva che si manifesta attraverso un sovralzo a monte del ponte. Per valutare il nuovo valore Y1 del tirante subito a monte del ponte poniamo la seguente equivalenza 3 q2 3 E1 = Y 1 + 0 2 = Y c = 2gY1 2 2

q √ g

!2 3

3 = 2

q0 √

r g

!2 3

ove l’incognita è Y1 . Anche in questo caso, moltiplicando tutto per Y1 , siamo in presenza di una cubica con soluzioni: Y1 = −0.87, 1.24, 2.89 m. Solo l’ultima soluzione è accettabile, in quanto l’unico valore che prevede un effettivo sovralzo rispetto al valore iniziale di 2.62 m. Il tirante nella sezione critica risulta invece pari a Y1 ′ = Yc = 2.18 m. Riapplicando infine la formula di Laursen si ottiene Y2 = Yc

 k1

1 r

= 2.18 · 1.280.69 = 2.58

Lo scavo effettivo risulta quindi pari a ds = Y2 − Y1 ′ = 0.40 m.

5 Esercizio 2: Spinta su una pila ed erosione al piede di una pila. Calcolare il sovralzo dovuto al rigurgito di monte, la spinta e le erosione alla base della pila nella seguente situazione: Ponte a due campate in sezione trapezia, con scarpa 2 in sponda sx e 3/2 in sponda dx; Tirante in condizioni di moto uniforme h2 =3.2 m (coincidente al tirante nella sezione di valle); Portata Q=500 m3 /s; d50 =5 mm; Larghezza della pila con rostri arrotondati s=2.2 m Si trascura la formazione di eventuali dune. Valutare anche il caso in cui il plinto (di larghezza pari a 5 m) risulti esposto all’azione della corrente.

Figure 2: Sezione

6 1) Calcolo delle caratteristiche nella sezione di valle Larghezza della superficie libera: b = b0 + (23h2 + 2h2 ) = 51.2 m 2 = 145.92 m2 Area della sezione: Ω2 = (b0 +b)h 2 Larghezza della sezione rettangolarizzata: b2′ = Ωh22 = 45.6 m Velocità media U2 = Q/Ω2 = 3.43 m/s; tirante medio y¯2 = Ω2 /b = 2.85 m Numero di Froude per le condizioni di moto uniforme: F0 = √Ugy¯ =0.648 2 Rapporto di restringimento: r = (b2′ − s)/b2′ = 0.952. Per il calcolo dell’affondamento del baricentro della sezione trapezia è sufficiente considerare separatamente il contributo fornito dall’area triangolare sopra le sponde (Ωs per sponda sinistra e Ωd per sponda destra) da quella rettangolare nella parte centrale (Ωc ) e poi farne una media pesata sulle aree. L’affondamento del baricentro è quindi dato dalla seguente espressione: yb2 =

3.2 10.24 3.2 7.68 3.2 128 h2 Ω s h2 Ω d h2 Ω c + + = + + = 1.53 m. 3 145.92 3 145.92 2 145.92 3 Ω2 3 Ω2 2 Ω2

2) Calcolo del sovralzo Noto il rapporto di restringimento r e il numero di Froude F0 è possibile verificare se c’è o meno passaggio attraverso lo stato critico. Seguendo le medesime indicazioni riportate nell’esercizio 1 (ad esempio utilizzando il diagramma della Figura 1), si evince che non vi è passaggio attraverso lo stato critico. Possiamo quindi utilizzare la formula di Yarnell per il calcolo del sovralzo a monte della struttura: ∆y2 = K2 (K2 − 0.6 + 5F 20 ){1 − r + 15(1 − r)4 }F02, h2 dove per il caso di rostri arrotondati si assume K2 = 0.9. Usando tale espressione si giunge al risultato ∆y2 = 0.145 m che approssimeremo al valore ∆y2 ∼ 0.15 m. A monte della struttura vi sarà quindi un tirante pari a h1 = H2 + ∆y2 = 3.35 m. 3) Calcolo delle caratteristiche nella sezione di monte Larghezza della superficie libera: b = b0 + (23h1 + 2h1 ) = 51.7 m 2 Area della sezione: Ω1 = (b0 +b)h = 153.6 m2 2 Larghezza della sezione rettangolarizzata: b1′ = Ωh11 = 45.8 m Velocità media U2 = Q/Ω1 = 3.25 m/s; tirante medio y¯1 = Ω1 /b = 2.97 m

7 Numero di Froude per le condizioni di moto uniforme: F0 = √Ugy¯1 =0.60 L’affondamento del baricentro per la sezione di monte è pari a : yb1 =

3.35 11.22 3.35 8.41 3.35 134 h1 Ω s h1 Ω d h1 Ω c + + = + + = 1.6 m. 3 153.6 3 153.6 2 153.6 3 Ω1 3 Ω1 2 Ω1

4) Calcolo della spinta sulla pila Per il calcolo della spinta sulla pila si può impostare un bilancio di forze che coinvolge un volume di controllo contenente la pila stessa e chiuso a monte dalla sezione con tirante h1 e valle dalla sezione in moto uniforme con tirante h2 . Applicando l’equazione di equilibrio dinamico dell’idraulica, proiettandola nella direzione orizzontale e trascurando l’attrito al fondo si ottiene che la forza netta che agisce sulla pila è pari a R = 1Π− Π 2 + M1 − M2 , dove Π 1 e Π 2 sono rispettivamente le spinte statiche che agiscono rispettivamente nella sezione di monte e di valle, M1 è il flusso di quantità di moto entrante e M2 è il flusso di quantità di moto uscente. Le spinte statiche, come al solito vanno calcolate come pressione nel baricentro della sezione moltiplicata per area della sezione, mentre i flussi di quantità di moto seguono la solita espressione ρQU (ove si è posto il coefficiente di ragguaglio pari a 1). Seguendo queste indicazioni si arriva al seguente risultato Q2 − γΩ1 yb2 + ρ R = Ω2 ! ! 2 5002 500 − 9800 · 145.92 · 1.53 + 1000 = 9800 · 153.6 · 1.6 + 1000 153.6 145.92 = 134860 N = 134, 8 KN Q2 γΩ1 yb1 + ρ Ω1

!

!

Osserviamo che tale procedimento di calcolo della spinta sulla pila è l’unico seriamente percorribile e non è affetto da errore (salvo aver trascurato gli attriti al fondo nel breve tratto compreso tra le sezioni). Un procedura alternativa che miri alla valutazione degli sforzi (tangenziali e normali) attorno alla singola pila richiederebbe una conoscenza dettagliata del campo di moto locale, impresa quasi impossibile. Quindi comporterebbe un errore assai maggiore. Ovviamente il procedimento qui esposto si affida alla previsione

8 della formula di Yarnell per il calcolo del sovralzo. Al fine di essere più precisi sarebbe auspicabile utilizzare anche altre formule del calcolo del sovralzo (Rehboch, Nagler, Aubuisson). 4) Calcolo dell’erosione della pila Formula di Richardson e Davis (1995): ds h1 = 2Ks Kθ K3 K4 s s

!0.35

F 00 .43

dove s va intesa come larghezza della pila (o del plinto nel caso sia esposto). Non essendoci dune si pone K3 = 1.1. Poichè la corrente incide la struttura ortogonalmente, l’angolo θ è pari a zero, quindi Kθ = 1. Il fattore di forma Ks è pari a a 1 per la pila e 1.1 nel caso in cui il plinto sia esposto. La formula di Richardson & Davis (1995) fornisce quindi i seguenti risultati per il caso di escavazione alla base della pila ds = 2.2 · 2 · 1.1 · 1 · 1



3.35 2.2

0.35

0.60.43 = 4.5 m

e alla base del plinto, nel caso risulti già esposto, 3.35 ds = 5 · 2 · 1.1 · 1.1 · 1 5 

0.35

0.60.43 = 8.44 m

Formula di Melville: ds = Kyb KI Kd Ks Kθ Kg s Il coefficiente Kyb dipende dal rapporto s/h2 che nel caso della pila è pari a 0.59. Dalla tabella esposta a lezione risulta quindi √ che Kyb = 2.4s. Invece, nel caso del plinto s/h2 = 1.5, quindi risulta Kyb = h2 s. I restanti coefficienti della formula di Melville sono tutti pari a 1 (ad eccezione del coefficiente di forma che nel caso del plinto è pari a 1.1). Si ottengono quindi i seguenti risultati: caso della pila ds = 5.28 m caso della plinto ds = 9 m...