Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias - Yunus A. Çengel & William J. Palm III - 1ED PDF

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Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias YUNUS A. ÇENGEL University of Nevada, Reno WILLIAM J. PALM III University of Rhode Island Revisión técnica Natella Antonyan Departamento de Física y Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudio...

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para

Ecuaciones diferenciales ingeniería y ciencias

para

Ecuaciones diferenciales ingeniería y ciencias YUNUS A. ÇENGEL University of Nevada, Reno

WILLIAM J. PALM III University of Rhode Island

Revisión técnica

Natella Antonyan Departamento de Física y Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Ciudad de México

Amado Salvador Granados Aguilar Departamento de Matemáticas Facultad de Química Universidad Nacional Autónoma de México

Edmundo Palacios Pastrana Departamento de Física y Matemáticas Universidad Iberoamericana

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Director General México: Miguel Ángel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez Editora de desarrollo: Karen Estrada Arriaga Supervisor de producción: Zeferino García García Traducción: Sergio Sarmiento Ortega ECUACIONES DIFERENCIALES PARA INGENIERÍA Y CIENCIAS Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2014, respecto a la primera edición en español por: McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES S.A. DE C.V. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Pisos 16 y 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN: 978-607-15-0989-5 Translated from the first edition of Differential equations for engineers and scientists, by Çengel, Yunus A., and William J. Palm III, Copyright © 2013, by The McGraw-Hill Companies Inc. All rights reserved. 978-0-07-338590-7.

1234567890

2356789014

Impreso en México

Printed in Mexico

CONTENIDO

Prefacio

ix

Trayectorias ortogonales y ecuaciones diferenciales 66 Transformación de ecuaciones no separables en separables 66 Ecuaciones diferenciales homogéneas 67

Capítulo 1

2-6 Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden 70

Introducción a las ecuaciones diferenciales 1 1-1 Las ecuaciones diferenciales en las ciencias y en la ingeniería 2 1-2 ¿Cómo surgen las ecuaciones diferenciales? 3 1-3 Breve repaso de conceptos básicos 9 Variables dependientes e independientes 9 Funciones continuas y discontinuas 10 Derivadas y diferenciales 10 Integración 12

1-4 Clasiicación de las ecuaciones diferenciales 14 1-5 Soluciones de ecuaciones diferenciales 17 1-6 Resolución de ecuaciones diferenciales por integración directa 20 1-7 Introducción a métodos de computadora 25 Graficación de soluciones 26 Integración simbólica 27 Funciones especiales de las matemáticas 28 Integración numérica 29 Consideraciones para solucionar una ecuación diferencial por computadora 31

1-8 Resumen 32 Problemas 33

Capítulo 2

2-7 Métodos gráicos 75 2-8 Planteamiento sistemático para resolver ecuaciones de primer orden 78 2-9 Métodos de computadora para ecuaciones de primer orden 79 Cómo obtener soluciones de forma cerrada 79 Cómo generar gráficas de contorno 81 Cómo obtener gráficas de campo de direcciones 82

2-10 Resumen 83 Problemas 84

Capítulo 3 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden 91 3-1 Introducción a las ecuaciones lineales de segundo orden 92 3-2 Independencia lineal y el wronskiano de funciones 97 El wronskiano de dos funciones 98 Independencia lineal y el wronskiano de n funciones 100

Ecuaciones diferenciales de primer orden 39 2-1 Descripción general de las ecuaciones diferenciales de primer orden 40 2-2 Ecuaciones lineales de primer orden 41 Factor de integración 41 Caso especial: Ecuaciones con coeficientes constantes y lado derecho constante 43 Existencia y unicidad de las soluciones 44

2-3 Aplicaciones de ecuaciones lineales de primer orden 47 Estimación del tiempo de respuesta con la constante de tiempo 49

2-4 Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden 57 2-5 Ecuaciones separables de primer orden

Definición de una ecuación diferencial exacta 71 Solución alternativa: método de agrupamiento 74 Factores de integración 75

58

3-3 Teoría de las ecuaciones homogéneas 102 3-4 Reducción de orden 110 3-5 Ecuaciones homogéneas con coeicientes constantes 112 Caso 1: Raíces reales y desiguales (m1 Z m2) 113 Caso 2: Raíces reales e iguales (m1 5 m2) 116 Caso 3: Raíces complejas (m1,2 5 a ; ib) 117

3-6 Teoría de las ecuaciones lineales no homogéneas 122 3-7 Ecuaciones no homogéneas: el método de coeicientes indeterminados 125 Discusión 1 Discusión 2

128 128

3-8 Ecuaciones no homogéneas: el método de variación de parámetros 135 3-9 Ecuación de Euler 138

vi CONTENIDO

Método alterno de solución 140 Caso 1: Raíces reales y desiguales (r1 Z r2) 141 Caso 2: Raíces reales e iguales (r1 5 r2 5 r) 141 Caso 3: Raíces complejas (r1,2 5 a 6 ib) 141

3-10 Aplicaciones de ecuaciones lineales de segundo orden con coeicientes constantes 145 Vibraciones mecánicas 145 Ecuación diferencial de vibraciones mecánicas 146 Caso 1: c2 2 4 mk . 0 (movimiento sobreamortiguado) 154 Caso 2: c2 2 4 mk 5 0 (movimiento críticamente amortiguado) 154 Caso 3: c 2 2 4 mk # 0 (movimiento subamortiguado u oscilatorio) 155 Discusión 157 Circuitos eléctricos 158

3-11 Métodos de computadora para ecuaciones lineales de segundo orden 161 Vibraciones forzadas amortiguadas con entrada derivada 162

Capítulo 5 Ecuaciones diferenciales lineales: coeficientes variables 209 5-1 Repaso de series de potencias

5-2 Introducción a las soluciones por series de potencias 219 5-3 Puntos ordinarios contra singulares 226 5-4 Soluciones por serie de potencias alrededor de un punto ordinario 231 5-5 Ecuación de Legendre y polinomios de Legendre 238 Polinomios de Legendre

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 177 4-1 Introducción a las ecuaciones lineales de orden superior 178 4-2 Teoría de las ecuaciones homogéneas 181 4-3 Reducción de orden 183 4-4 Ecuaciones homogéneas con coeicientes constantes 184 Cómo encontrar las raíces de ecuaciones polinomiales 185 Caso especial: Raíces reales enteras 185 Cómo construir la solución general 186 Caso 1: Raíces reales y distintas 186 Caso 2: Raíces repetidas 187 Caso 3: Raíces complejas 187

4-5 Teoría de las ecuaciones no homogéneas 192 4-6 Ecuaciones no homogéneas: el método de coeicientes indeterminados 193 4-7 Ecuaciones no homogéneas: el método de variación de parámetros 195 4-8 Ecuación de Euler 199 4-9 Métodos de computadora para ecuaciones de orden superior 201 4-10 Resumen 204 Problemas 205

240

5-6 Soluciones por serie alrededor de un punto singular regular 243 5-7 Ecuación de Bessel y funciones de Bessel 261

3-12 Resumen 165 Problemas 167

Capítulo 4

210

Cómo desplazar el índice de sumatoria 212 Convergencia de series de potencias 214 Derivadas de series de potencias 217

Función gamma 270 Propiedades de las funciones de Bessel 272 Funciones de Bessel modificadas 273

5-8 Métodos de computadora

275

Soluciones con MuPAD* 275 Soluciones con Maple 277 Soluciones con Mathematica 279

5-9 Resumen 280 Problemas 283

Capítulo 6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: metodología escalar 287 6-1 Descripción general de sistemas de ecuaciones diferenciales 288 Sistemas que contienen derivadas de orden superior 289 Clasificación de sistemas de ecuaciones 291

6-2 Origen de sistemas de ecuaciones diferenciales 6-3 Método de eliminación 295 Método de eliminación para sistemas no homogéneos 299

6-4 Método de valores característicos

301

Términos no homogéneos que son soluciones de la ecuación homogénea relacionada 306 Modos 308

6-5 Métodos de computadora 6-6 Resumen 314 Problemas 314 *

312

MuPAD® es una marca registrada de Sciface Software GmbH & Co.

293

vii CONTENIDO

Capítulo 7 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales: método de matrices 319 7-1 Repaso de matrices

320

Propiedades de las matrices 322

7-4 Teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 355 7-5 Sistemas lineales homogéneos con coeicientes constantes 362 Caso 1: Valores característicos reales y distintos Caso 2: Valores característicos complejos 367 Caso 3: Valores característicos repetidos 372 Discusión 375

364

380

Método de coeficientes indeterminados 380 Variación de parámetros 383 Sistemas no homogéneos de problemas de valor inicial 386

7-7 Formas canónicas y matriz de transición

8-6 Transformada inversa de Laplace 442 Cómo completar polinomios cuadráticos al cuadrado

389

Diagonalización 389 Matriz de transición 396

444

8-7 Fracciones parciales 445 Determinación de constantes arbitrarias 447

8-8 Teorema de convolución 449 8-9 Resolución de ecuaciones diferenciales por transformada de Laplace 451 Solución con condiciones generales en la frontera Funciones de transferencia 456

Teoría de sistemas lineales homogéneos 357 Teoría de sistemas lineales no homogéneos 361

455

8-10 Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por transformada de Laplace 457 Funciones de transferencia de sistemas de ecuaciones 460 Matriz de transición 461 Matriz de funciones de transferencia 462 Forma matricial del teorema de convolución

463

8-11 Métodos de transformada de Laplace con ayuda de computadora 465 8-12 Resumen 473 Perspectiva histórica 474 Problemas 475

Capítulo 9

400

Resolución númerica de ecuaciones diferenciales 483 9-1 Integración numérica

Capítulo 8 Transformada de Laplace

Función de escalón unitario 430 Funciones periódicas 434 Funciones de impulso 436

Transformada de Laplace y ecuaciones diferenciales 440

Operaciones con renglones 335 Sistemas homogéneos 341 Independencia lineal de vectores 343 Valores característicos y vectores característicos 346 Caso especial: Matriz A con un factor común 352

7-8 Métodos computacionales 7-9 Resumen 406 Problemas 408

8-4 Transformadas de Laplace de funciones escalonadas, periódicas y de impulso 430

8-5 Transformadas de Laplace de derivadas y ecuaciones diferenciales 438

7-2 Modelos en forma matricial 329 7-3 Valores característicos y vectores característicos 334

7-6 Sistemas lineales no homogéneos

Propiedad 5: Transformada de Laplace de 0 0t f(t) dt 429 Propiedad 6: Cambio de escala 429

419

8-1 Transformadas de Laplace de funciones 420 8-2 Existencia de transformadas de Laplace 423 8-3 Propiedades básicas de la transformada de Laplace 425 Propiedad 1: Linealidad de la transformada de Laplace 426 Propiedad 2: Propiedad de translación (o corrimiento) 427 Propiedad 3: Transformada de Laplace de t nf (t) 427 Propiedad 4: Transformada de Laplace de f (t)@t 428

484

Método de franjas rectangulares 485 Regla trapezoidal 488 Regla de Simpson 490

9-2 Solución numérica de ecuaciones diferenciales 493 Caso 1: f 5 f (x) 493 Caso 2: f 5 f (x, y) 495

9-3 Método de Euler 496 9-4 Errores en métodos numéricos 499 Error de discretización 500 Error de redondeo 501 Control del error 502

9-5 Método de Euler mejorado Caso especial: f 5 f (x)

507

504

viii CONTENIDO

9-6 Métodos de la serie de Taylor 508 9-7 Método de Runge-Kutta 511

Programas de resolución MATLAB ODE 527 Ecuaciones diferenciales de orden superior 534 Soluciones numéricas con Maple 537 Soluciones numéricas con Mathematica 538 Soluciones numéricas con MuPAD 538

Caso especial: f 5 f (x) 514 Runge-Kutta Fehlberg 514

9-8 Métodos de pasos múltiples y predictores-correctores 515 Métodos predictores-correctores 517

9-9 Sistemas de ecuaciones de primer orden 522 Método de Euler 523 Método clásico de Runge-Kutta 523 Método predictor-corrector de Adams-Moulton

524

9-10 Soluciones numéricas con programas comerciales 527

*

MATLAB® es una marca registrada de The MathWorks, Inc. Maple® es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc. † Mathematica® es una marca registrada de Wolfram Research, Inc.

**

9-11 Resumen 540 Perspectiva histórica Problemas 542

Índice analítico

542

551

PREFACIO

D

esde hace tiempo, las ecuaciones diferenciales han sido una parte esencial del programa de estudio de la mayoría de las disciplinas en ciencias físicas e ingeniería en todo el mundo. Los cientíicos y los ingenieros a menudo estudian sistemas que experimentan variaciones, y las ecuaciones diferenciales les permiten estudiar dichos cambios en las variables claves de un sistema y obtener una comprensión más profunda de los fenómenos físicos subyacentes. Este libro tiene el propósito de servir como libro de texto para un primer curso sobre ecuaciones diferenciales, principalmente para estudiantes de ciencias e ingeniería. Es el resultado de los apuntes de clase desarrollados por el primer autor durante años de enseñar ecuaciones diferenciales a estudiantes de ingeniería en la Universidad de Nevada, en Reno; y de tareas hechas en computadora y ejemplos de ingeniería desarrollados por el segundo autor mientras impartía cursos en la Universidad de Rhode Island. El texto cubre los temas convencionales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias, con un acervo de aplicaciones tomadas de la ingeniería y de las ciencias. Enfoque pedagógico Este libro está concebido como una introducción amistosa a las ecuaciones diferenciales en las ciencias y la ingeniería. Se apoya más en la intuición que en el rigor. Se enfatizan los argumentos conceptuales con el objetivo de desarrollar un entendimiento intuitivo del tema de que se trata. El texto intenta ser sencillo y comprensible, y fomenta el pensamiento creativo. Los autores consideran que los documentos legales tales como los contratos de arrendamiento, que son para gente común, deberían redactarse en español ordinario en vez de escribirse en un lenguaje legal preciso que está más allá de la comprensión de la mayoría de las personas y que necesita la traducción de un abogado. De modo similar, un libro de texto sobre ecuaciones diferenciales debe escribirse para que el estudiante lo lea y lo comprenda. Los profesores no necesitan libros de texto; los alumnos sí. Es común que los estudiantes hojeen un libro de texto de matemáticas solo cuando tratan de encontrar un ejemplo similar al problema que se les ha asignado. A menudo se dice que los conceptos matemáticos se deben explicar en lenguaje ordinario para que dejen una impresión duradera. Debemos ser capaces de explicar a los alumnos que resolver una ecuación diferencial es básicamente una integración, y que esta es básicamente una sumatoria, en vez de usar un lenguaje abstracto en aras de la precisión y el rigor. El material del texto se introduce a un nivel que un alumno promedio puede seguir cómodamente. Se dirige a los estudiantes, no por encima de ellos; de hecho, es autodidáctico. Esto permite que el profesor ocupe el tiempo de clase en forma más productiva. Los temas están ordenados de tal manera que luyen bien en un orden lógico, y cada uno motiva a abordar el siguiente. Se ha tratado, por todos los medios, de hacer que este sea un texto de matemáticas “legible”, y de fomentar el aprendizaje y la comprensión. El propósito de todo este proyecto ha sido ofrecer un libro introductorio de ecuaciones diferenciales que los estudiantes lean con interés y entusiasmo en vez de un texto que se usa como guía de referencia para resolver problemas.

ORGANIZACIÓN DESCRIPCIÓN DE CAPÍTULOS • El capítulo 1 comienza con una introducción a las ecuaciones diferenciales y su clasiicación. Luego demostramos cómo surgen las ecuaciones diferen-

x PREFACIO

• •

• •

• • • •

ciales en las ciencias y cómo se modelan los problemas en las ciencias y en la ingeniería. Concluimos este capítulo explicando cómo resolver ecuaciones diferenciales por integración directa. En el capítulo 2 explicamos las ecuaciones diferenciales de primer orden y las técnicas de resolución correspondientes. Al inal de este capítulo, presentamos un procedimiento paso a paso para resolver una ecuación diferencial dada. El capítulo 3 trata principalmente de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeicientes constantes, que son el tipo de ecuaciones que se encuentran más frecuentemente en las ciencias y la ingeniería. Además explicamos la ecuación de Euler, ya que se puede transformar en una ecuación diferencial con coeicientes constantes. El método de coeicientes indeterminados para resolver ecuaciones no homogéneas se desarrolla de manera intuitiva. Las discusiones se extienden a las ecuaciones lineales de orden superior en el capítulo 4. En el capítulo 5, consideramos las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeicientes variables y su solución por serie de potencias. En este capítulo, desarrollamos los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel como soluciones para ciertas ecuaciones diferenciales, y explicamos sus características. En el capítulo 6, explicamos la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales usando un método escalar. El capítulo 7 introduce los métodos matriciales para resolver conjuntos de ecuaciones. En el capítulo 8, introducimos las transformadas de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales. Finalmente, en el capítulo 9, presentamos las soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales usando diversas técnicas.

CARACTERÍSTICAS Uso de las computadoras Los principales softwares que se usan actualmente para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias son MATLAB® (con The Symbolic Math ToolboxTM,1 que contiene MuPAD®), MapleTM y Mathematica®.2 Usando uno de estos paquetes, los estudiantes pueden resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales o en la frontera especiicadas en forma simbólica (siempre y cuando sean de forma estándar), y numéricamente, para obtener la solución en forma tabular y gráica. Los alumnos pueden experimentar y plantear preguntas de tipo “¿Qué pasaría si...?” de forma interactiva, a menudo sin programación o con una mínima programación. Al inal de cada capítulo hay una sección que muestra cómo usar estos softwares para resolver los problemas que se tratan en cada capítulo. Ilustraciones Las iguras son herramientas de aprendizaje importantes que ayudan al estudiante a “captar la idea”. El texto usa eicazmente las gráicas en toda su extensión. La mayoría de las ilustraciones de este texto no son iguras en el sentido tradicional, sino que sirven como medio para destacar conceptos claves que de otra manera pasarían desapercibidos, o bien como resúmenes de ideas principales. Ejemplos de ciencia e ingeniería Cada capítulo contiene numerosos ejemplos resueltos que clariican el material e ilustran el uso de los principios. Para la solu1

The Symbolic Math Toolbox es una marca registrada de MathWorks, Inc. Los ejemplos de software en este texto son compatibles con las siguientes versiones de software: MATLAB (versión 7.13), Symbolic Math Toolbox (versión 5.7), MuPAD (versión 5.7), Maple (versión 15) y Mathematica (versión 8). 2