Ejemplos de Límites Infinitos y de Límites Trigonometricos PDF

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Este documento contiene ejercicios realizados en clases de laboratorios de matemática básica 2, con el fin de poder reforzar los conocimientos de los estudiantes de dicho curso...

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UNIVERSIDAD DE SAN CA CARLOS RLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIEN CIENCIAS CIAS DE LA INGENIERÍA EJEMPLOS DE LA LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS. Ejemplo #1 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 𝑙í𝑚 𝑥→0 𝑥

𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑙í𝑚 + 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 1 + 𝑙í𝑚 1 = 1 + 1 = 2 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑙í𝑚

𝑙í𝑚

𝑥→0

Ejemplo #2 𝑠𝑒𝑐(𝑥) − 1 𝑙í𝑚 𝑥→0 𝑥

𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥 =2 𝑥

1 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) −1 𝑠𝑒𝑐(𝑥) − 1 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 𝑙í𝑚 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥→0 𝑥(𝑐𝑜𝑠(𝑥)) 𝑥→0 1 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 1 1 = 𝑙í𝑚 =0∗ ∗ 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 (0) ∗ 𝑙í𝑚 =0 𝑥→0 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑥→0 𝑥 𝑐𝑜𝑠(0) 𝑠𝑒𝑐(𝑥) − 1 =0 𝑥→0 𝑥 𝑙í𝑚

Ejemplo #3 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − (1 + 7𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑙í𝑚

𝑙í𝑚

𝑥→0

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 1 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1 7𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 1 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − (1 + 7𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = 𝑙í𝑚 − 𝑙í𝑚 7 = − 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥→0 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑙í𝑚

𝑥→0

𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) − 1 −(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)) −(𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)) − 7 = 𝑙í𝑚 − 7 = 𝑙í𝑚 −7 𝑥→0 (𝑠𝑒𝑛(𝑥))(𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1) 𝑥→0 (𝑠𝑒𝑛(𝑥))(𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1) (𝑠𝑒𝑛(𝑥))(𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1) −𝑠𝑒𝑛(𝑥) −𝑠𝑒𝑛(0) 0 = 𝑙í𝑚 −7= − 7 = −7 −7= 𝑥→0 (𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1) (1 + 1) (𝑐𝑜𝑠(0) + 1)

𝑙í𝑚

𝑥→0

𝑐𝑜𝑠(𝑥) − (1 + 7𝑠𝑒𝑛(𝑥)) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Ejemplo #4 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) 𝑙í𝑚 𝑥→1 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥)

= −7

2𝜋𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) 2𝜋𝑥 2𝜋𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) ∗ = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 )= = 𝑙í𝑚 ( )( 𝑥→1 tan(𝜋𝑥) 𝑥→1 tan(𝜋𝑥) 2𝜋𝑥 𝑥→1 2𝜋𝑥 ∗ tan(𝜋𝑥) 𝑥→1 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥) 2𝜋𝑥 𝑙í𝑚

𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) 𝜋𝑥 ) ∗ 𝑙í𝑚 ( ) = 2 𝑙í𝑚 1 ∗ 𝑙í𝑚 1 = 2 2 𝑙í𝑚 ( 𝑥→1 𝑥→1 𝑥→1 2𝜋𝑥 𝑥→1 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥) 𝑙í𝑚

𝑥→1

𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥) 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥)

Instructivo de Laboratorio de Matemática Básica 2 Auxiliar Daniel Zorín

=2

UNIVERSIDAD DE SAN CA CARLOS RLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIEN CIENCIAS CIAS DE LA INGENIERÍA Ejemplo #5 𝑙í𝑚 𝑠𝑒𝑛((𝑥 − 𝜋)))(𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋)) √𝑥 − 𝜋 𝑥→𝜋

𝑙í𝑚

𝑥→𝜋

𝑠𝑒𝑛((𝑥 − 𝜋)))(𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋)) √𝑥 − 𝜋

= 𝑙í𝑚

𝑠𝑒𝑛((𝑥 − 𝜋)))(𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋))

𝑥→𝜋 √𝑥 − 𝜋 (2√𝑥 − 𝜋)𝑠𝑒𝑛((𝑥 − 𝜋 )))(cos(𝑥 − 𝜋)) = 𝑙í𝑚 𝑥→𝜋 2(𝑥 − 𝜋)

∗

2√𝑥 − 𝜋 2√𝑥 − 𝜋

(√𝑥 − 𝜋) (𝑠𝑒𝑛(2(𝑥 − 𝜋))) (√𝑥 − 𝜋)(2𝑠𝑒𝑛((𝑥 − 𝜋)))(cos(𝑥 − 𝜋))) = 𝑙í𝑚 𝑥→𝜋 2(𝑥 − 𝜋) 𝑥→𝜋 2(𝑥 − 𝜋) (𝑠𝑒𝑛(2(𝑥 − 𝜋))) = 𝑙í𝑚(√𝑥 − 𝜋) ∗ 𝑙í𝑚(1) = √𝜋 − 𝜋 = 0 = 𝑙í𝑚(√𝑥 − 𝜋) ∗ 𝑙í𝑚 𝑥→𝜋 𝑥→𝜋 2(𝑥 − 𝜋) 𝑥→𝜋 𝑥→𝜋 = 𝑙í𝑚

𝑙í𝑚

𝑥→𝜋

Ejemplo #6 𝑙í𝑚 −

𝑥→3𝜋

𝑙í𝑚 −

𝑥→3𝜋

𝑙í𝑚 −

𝑠𝑒𝑛((𝑥 − 𝜋)))(𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝜋)) =0 √𝑥 − 𝜋

√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 − √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑡𝑎𝑛(2𝑥)

√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 − √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) √𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = ∗ 𝑡𝑎𝑛 (2𝑥) √𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥) (𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1) − (2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

𝑥→3𝜋

(𝑡𝑎𝑛 (2𝑥))(√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

𝑥→3𝜋

(𝑡𝑎𝑛 (2𝑥))(√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

𝑙í𝑚 − 𝑙í𝑚

𝑥→3𝜋

𝑙í𝑚 𝑙í𝑚 𝑙í𝑚

𝑥→3𝜋

𝑙í𝑚

1

(√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

𝑥→3𝜋 (√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑥→3𝜋

𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 1 − cos(𝑥)

1

+ 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) 1

(√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) 1 (√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

𝑥→3𝜋 (√𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

𝑐𝑜𝑠(2𝑥)

+ 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

∗ 𝑙í𝑚 − 𝑥→3𝜋

∗ 𝑙í𝑚 − 𝑥→3𝜋

∗ 𝑙í𝑚 − 𝑥→3𝜋

= 𝑙í𝑚 𝑥→3𝜋

𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 − 2 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

(𝑡𝑎𝑛 (2𝑥))(√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

= 𝑙í𝑚 − 𝑥→3𝜋

𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 1 − cos(𝑥)

(𝑡𝑎𝑛(2𝑥))(√𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 1 − cos(𝑥) = (𝑡𝑎𝑛(2𝑥)) 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) ) ( cos(2𝑥)

cos(2𝑥) (𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

(𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = −𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) 𝑥→3𝜋

∗ 𝑙í𝑚 cos(2𝑥) ∗ 𝑙í𝑚 𝑥→3𝜋

∗ 𝑙í𝑚

𝑥→3𝜋

(𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = −𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 1 + 1

(𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = 2 2 𝑥→3𝜋 (√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) 𝑥→3𝜋 −𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) − 1 + (𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) 𝑙í𝑚

cos(2𝑥)

𝑙í𝑚

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= =

UNIVERSIDAD DE SAN CA CARLOS RLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIEN CIENCIAS CIAS DE LA INGENIERÍA 𝑙í𝑚

(𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ) 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = ∗ 𝑙í𝑚 −2𝑠𝑒𝑛 (𝑥)𝑐𝑜𝑠 (𝑥) − 1 + (𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)) (𝑥) (√𝑠𝑒𝑛 + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) 𝑥→3𝜋 𝑥→3𝜋 1 (𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = 𝑙í𝑚 ∗ 𝑙í𝑚 cos(2𝑥) ∗ 𝑙í𝑚 2 (𝑥) − 2𝑠𝑒𝑛 (𝑥)cos(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)) − 1 𝑥→3𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑥→3𝜋 (√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) 𝑥→3𝜋 𝑙í𝑚

𝑐𝑜𝑠(2𝑥)

𝑥→3𝜋 (√𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

+ 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

𝑥→3𝜋 (√𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

+ 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

𝑙í𝑚

𝑙í𝑚

𝑥→3𝜋

𝑐𝑜𝑠(2𝑥)

cos(2𝑥)

(√𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) cos(2(3𝜋 ))

(√𝑠𝑒𝑛 (3𝜋) + 1 + √2 + 𝑐𝑜𝑠(3𝜋 ))

∗

∗ 𝑙í𝑚

(𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥)) = − cos(𝑥))2 − 1

𝑥→3𝜋 (𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

∗ 𝑙í𝑚

𝑥→3𝜋

∗ 𝑙í𝑚

𝑥→3𝜋

(𝑠𝑒𝑛 (𝑥) − 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥))

((𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(𝑥)) − 1) ((𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(𝑥)) + 1) 1

((𝑠𝑒𝑛(𝑥) − cos(𝑥)) + 1) 1

((𝑠𝑒𝑛(3𝜋 ) − cos(3𝜋 )) + 1) 𝑙í𝑚 −

𝑥→3𝜋

=

=

(√0 + 1 + √2 − 1)((0 − (−1)) + 1)

√𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1 − √2 + 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 1 = 𝑡𝑎𝑛(2𝑥) 4

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1

=

=

1 4

UNIVERSIDAD DE SAN CA CARLOS RLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIEN CIENCIAS CIAS DE LA INGENIERÍA EJEMPLOS DE LA LÍMITES INFINITOS. Ejemplo #1 1 𝑙í𝑚 𝑥→∞ 𝑥

𝑙í𝑚

𝑥→∞

Ejemplo #2 𝑥 2 − 2𝑥 8 𝑙í𝑚 𝑥→∞ 𝑥8

1

𝑥

=

1 ≈0 ∞

1 2 1 2𝑥 8 𝑥2 𝑥 2 − 2𝑥 8 = 𝑙í𝑚 8 − 𝑙í𝑚 8 = 𝑙í𝑚 6 − 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 − 2 = −2 8 𝑥→∞ ∞ 𝑥→∞ 1 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 𝑙í𝑚

𝑥 2 − 2𝑥 8 = −2 𝑥→∞ 𝑥8 𝑙í𝑚

Ejemplo #3 (𝑥 2 − 5) 2 𝑙í𝑚 𝑥→−∞ 3𝑥 4 − 1

1 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 25 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 25 ( 𝑥 4 ) 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 25 (𝑥 2 − 5)2 𝑥4 = ∗ = 𝑙í𝑚 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 4 4 4 1 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 3𝑥 4 − 1 3𝑥 − 1 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 3𝑥 − 1 3𝑥 − 1 ( 4) 𝑥 𝑥4 10 25 1 − 10 + 25 𝑥 4 10𝑥 2 25 𝑥 4 − 10𝑥 2 + 25 1− 2 + 4 (−∞)2 (−∞)4 1 − 0 + 0 1 4 − 𝑥4 + 𝑥4 𝑥 𝑥4 𝑥 = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 𝑥 = 𝑙í𝑚 = = 4 4 𝑥→−∞ 1 1 3𝑥 3𝑥 − 1 1 𝑥→−∞ 𝑥→−∞ 3−0 3 3 − 3 − − 4 4 4 4 4 (−∞) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 (𝑥 2 − 5)2 1 = 𝑥→−∞ 3𝑥 4 − 1 3 𝑙í𝑚

Ejemplo #4

𝑙í𝑚 √√𝑥 + 1 − √√𝑥 − 1

𝑥→∞

𝑥→∞

√√𝑥 + 1 + √√𝑥 − 1

(√𝑥 + 1) − (√𝑥 − 1) √𝑥 + 1 − √ 𝑥 + 1 = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 𝑥→∞ √ 𝑥 + 1 + √ 𝑥 − 1 𝑥→∞ √ 𝑥 + 1 + √ 𝑥 − 1 √√𝑥 + 1 + √√𝑥 − 1 √ √ √ √ 2 2 2 = = = 𝑙í𝑚 =0 𝑥→∞ √ ∞ √√∞ + 1 + √√∞ − 1 √𝑥 + 1 + √√𝑥 − 1

𝑙í𝑚 √√𝑥 + 1 − √√𝑥 − 1 ∗

𝑙í𝑚√√𝑥 + 1 − √√𝑥 − 1 = 0

𝑥→∞

Ejemplo #5 5𝑥 2 + 8𝑥 − 3 𝑙í𝑚 𝑥→∞ 3𝑥 2 + 2

5𝑥 2 + 8𝑥 − 3 5𝑥 2 8𝑥 3 8 3 1 ) ( 2 + 2 − 2) ( (5 + − 2 ) 5𝑥 2 + 8𝑥 − 3 ( 𝑥 2 ) 𝑥2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 = = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 𝑙í𝑚 ∗ 1 = 𝑙í𝑚 2 2 𝑥→∞ 𝑥→∞ 2 3𝑥 2 𝑥→∞ 2 3𝑥 2 + 2 ( 2 ) 𝑥→∞ (3𝑥 + (3 + 2 ) ( 2 + 2) ) 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

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UNIVERSIDAD DE SAN CA CARLOS RLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIEN CIENCIAS CIAS DE LA INGENIERÍA 8 3 ) − (∞)2 5 ∞ 2 5+0−0=3 (3 + 3 + 0 =

(5 +

(∞)2

)

𝑙í𝑚

𝑥→∞

Ejemplo #6 4 √𝑥 − 2 𝑙í𝑚 5 𝑥→∞ √𝑥 + 1 + 𝑥 2 √𝑥 − 2 4

2 𝑥5

√𝑥 − 2 4

5𝑥 2 + 8𝑥 − 3 3𝑥 2 + 2

=

5 3

√𝑥 − 2

1

4

2 𝑥5

√ 4

2 𝑥5

𝑥−2 8 𝑥5

5

5 √𝑥 4

8− 𝑥5

2

8

𝑥5

= 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 5 ∗ 2 = 𝑙í𝑚 5 ∗ 𝑙í𝑚 5 2 √𝑥 + 1 + 𝑥 2 𝑥5 𝑥→∞ √𝑥 + 1 + 𝑥 2 12 𝑥→∞ √𝑥 + 1 + 𝑥 2 𝑥→∞ 5 𝑥 + 1 + 𝑥 2 𝑥→∞ 5 𝑥 √ 2 + 12 + 𝑥 2 √ 2 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥5 𝑥5 1 2 2 4 1 4 3− 8 √ √ 3− 8 4 5 (∞) (∞)5 𝑥5 𝑥 5 √0 − 0 = = 𝑙í𝑚 =0 = 5 𝑥→∞ 5 1 5 1 1 √0 + 0 + 1 1 + 1 √ + 2+1 √ + (∞) (∞)2 𝑥 𝑥

𝑥→∞

LÍMITES CON VARIABLE DE SUSTITUCIÓN Ejemplo #1 𝑥 + √𝑥 + 𝑥 2 𝑙í𝑚𝑥→0 𝑥 + 𝑥 2 + √𝑥

𝑙í𝑚𝑢→0

𝑢 = √𝑥 𝑙í𝑚𝑥→0 𝑢 = 𝑙í𝑚𝑥→0 √𝑥 = √0 = 0 𝑢→0 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙(𝑥)𝑢2 = 𝑥

𝑢2 + √𝑢2 + (𝑢2 )2 𝑢2 + √𝑢2 + 𝑢4 𝑢2 + √𝑢2 (1 + 𝑢2 ) = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 𝑢→0 𝑢→0 𝑢2 + 𝑢4 + 𝑢 𝑢2 + (𝑢2 )2 + 𝑢 𝑢2 + 𝑢4 + 𝑢 𝑢2 + 𝑢√(1 + 𝑢2 ) 𝑢(𝑢 + √1 + 𝑢2 ) 𝑢 + √1 + 𝑢2 = 𝑙í𝑚𝑢→0 = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 𝑢→0 𝑢→0 𝑢 + 𝑢3 + 1 𝑢2 + 𝑢4 + 𝑢 𝑢(𝑢 + 𝑢3 + 1) 0 + √1 + 0 =1 = 0+0+1 𝑙í𝑚𝑥→0

𝑥 + √𝑥 + 𝑥 2

𝑥 + 𝑥 2 + √𝑥

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=1

UNIVERSIDAD DE SAN CA CARLOS RLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIEN CIENCIAS CIAS DE LA INGENIERÍA Ejemplo #2 𝑙í𝑚𝑥→1

√√𝑥 − 1 + 16 − 4𝑥 𝑥−1

𝑢 = √𝑥 − 1 𝑙í𝑚𝑥→1 𝑢 = 𝑙í𝑚𝑥→1 √𝑥 − 1 = √1 − 1 = √0 = 0 𝑢→0 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙(𝑥)𝑢2 + 1 = 𝑥

√𝑢 + 16 − 4(𝑢2 + 1) √𝑢 + 16 + 4(𝑢2 + 1) √𝑢 + 16 − 4(𝑢2 + 1) = = 𝑙í𝑚 ∗ 𝑢→0 𝑢2 𝑢2 √𝑢 + 16 + 4(𝑢2 + 1) (𝑢 + 16) − 16(𝑢2 + 1)2 𝑢 + 16 − 16(𝑢4 + 2𝑢2 + 1) = = 𝑙í𝑚 𝑙í𝑚𝑢→0 2 𝑢→0 𝑢2 (√𝑢 + 16 + 4(𝑢2 + 1)) 𝑢 (√𝑢 + 16 + 4(𝑢2 + 1)) 𝑢 + 16 − 16𝑢4 − 32𝑢2 − 16 𝑢 − 16𝑢4 − 32𝑢2 𝑙í𝑚𝑢→0 = 𝑙í𝑚 = 𝑢→0 2 𝑢2 (√𝑢 + 16 + 4(𝑢2 + 1)) 𝑢 (√𝑢 + 16 + 4(𝑢2 + 1)) 𝑢(1 − 16𝑢3 − 32𝑢) (1 − 16𝑢3 − 32𝑢) =∄ 𝑙í𝑚𝑢→0 2 = 𝑙í𝑚 𝑢→0 𝑢(√𝑢 + 16 + 4(𝑢2 + 1)) 𝑢 (√𝑢 + 16 + 4(𝑢2 + 1))

𝑙í𝑚𝑢→0

𝑙í𝑚𝑥→1

𝑥−2 (𝑥 + 4)2 − 18𝑥

Ejemplo #3 𝑙í𝑚𝑥→2

𝑙í𝑚𝑢→6

𝑙í𝑚𝑥→2

√√𝑥 − 1 + 16 − 4𝑥 =∄ 𝑥−1

𝑢 = 𝑥+4 𝑙í𝑚𝑥→6 𝑢 = 𝑙í𝑚𝑥→0 (𝑥 + 4) = 2 + 4 = 6 𝑢→6 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙(𝑥)𝑢 − 4 = 𝑥

(𝑢 − 4) − 2 𝑢−6 𝑢−6 1 = 𝑙í𝑚𝑢→6 2 = 𝑙í𝑚𝑢→6 = 𝑙í𝑚𝑢→6 (𝑢 − 12) 𝑢2 − 18(𝑢 − 4) 𝑢 − 18𝑢 + 72 (𝑢 − 12)(𝑢 − 6) 1 1 = =− 6 (6 − 12) 1 𝑥−2 =− 2 (𝑥 + 4) − 18𝑥 6

Ejemplo #4 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑙í𝑚𝑥→𝜋 𝜋 2 𝑥− 2

𝑢 = 𝑥−

𝜋

2 𝜋 𝜋 𝜋 𝑙í𝑚𝑥→𝜋 𝑢 = 𝑙í𝑚𝑥→𝜋 (𝑥 − ) = − = 0 2 2 2 2 2 𝑢→0 𝜋 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙(𝑥)𝑢 + =𝑥 2

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UNIVERSIDAD DE SAN CA CARLOS RLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIEN CIENCIAS CIAS DE LA INGENIERÍA 𝑙í𝑚𝑢→0

𝜋) 𝜋2 ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑠𝑒𝑛( 2 (0) − 𝑠𝑒𝑛(𝑢)(1) 𝑐𝑜𝑠(𝑢)𝑐𝑜𝑠 ( 𝑢 = 𝑙í𝑚𝑢→0 𝑢 = 𝑙í𝑚−𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑢→0 𝑢 = 𝑙í𝑚𝑢→0 = 𝑙í𝑚𝑢→0 − 1 = −1 𝑢

𝜋) 𝑐𝑜𝑠(𝑢 + 2

𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝜋 = −1 2 𝑥− 2

𝑙í𝑚𝑥→𝜋

Ejemplo #4 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥) 𝑙í𝑚𝑥→1 √2𝑥 − √2 𝑙í𝑚𝑥→1

(√2𝑥 + √2) 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥) (√2𝑥 + √2) 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥) = 𝑙í𝑚𝑥→1 2(𝑥 − 1) 2𝑥 − 2 √2𝑥 − √2 √2𝑥 + √2 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥) 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥) = 𝑙í𝑚𝑥→1 (√2𝑥 + √2) ∗ 𝑙í𝑚𝑥→1 = 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑥→1 2(𝑥 − 1) 2(𝑥 − 1) 𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥)

∗

√2𝑥 + √2

= 𝑙í𝑚𝑥→1

𝑢 = 𝑥−1 𝑙í𝑚𝑥→1 𝑢 = 𝑙í𝑚𝑥→1 (𝑥 − 1) = 1 − 1 = 0 𝑢→0 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙(𝑥)𝑢 + 1 = 𝑥

𝑡𝑎𝑛(𝑢𝜋) + tan(𝜋) ( ) 𝑡𝑎𝑛(𝜋(𝑢 + 1)) 𝑡𝑎𝑛(𝑢𝜋 + 𝜋) 1 − tan(𝜋) tan(𝑢𝜋) 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 = 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 = = 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 2𝑢 2𝑢 2𝑢 𝑡𝑎𝑛(𝑢𝜋) + 0 ) ( 𝑡𝑎𝑛(𝑢𝜋) 𝜋 𝑡𝑎𝑛(𝑢𝜋) 1−0 = 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 = 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 ∗ = 2𝑢 2𝑢 2𝑢 𝜋 𝜋 𝑡𝑎𝑛(𝑢𝜋) 𝜋 ∗ 𝑡𝑎𝑛(𝑢𝜋) 𝑡𝑎𝑛(𝑢𝜋) 𝜋 = 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 ∗ ∗ = 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 2𝑢𝜋 2𝑢 2 𝜋 𝑢𝜋 𝜋 𝜋 (1) = (2√2) ∗ ( ) = √2𝜋 = 2√2 ∗ 𝑙í𝑚𝑢→0 ∗ 2 2 𝑙í𝑚𝑥→1

Ejemplo #4 𝑙í𝑚𝑥→∞ 𝑙í𝑚𝑥→∞

𝑡𝑎𝑛(𝜋𝑥)

√2𝑥 − √2

= √2𝜋

√3𝑥 − 2 − √3 𝑥

𝑥+1 1 ( 𝑥) + 5√ 𝑥 − 5 2 3𝑥 √ 𝑥 − 𝑥

𝑥 1 1 ( 𝑥) + 5√ 𝑥 + 𝑥 − 5

= 𝑙í𝑚𝑥→∞

√3 − 2 − √3 𝑥

1 1 (𝑥) + 5√1 + 𝑥 − 5

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UNIVERSIDAD DE SAN CA CARLOS RLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIÓN DE CIEN CIENCIAS CIAS DE LA INGENIERÍA

1 𝑢=𝑥

1 𝑙í𝑚𝑥→1 𝑢 = 𝑙í𝑚𝑥→1 ( ) = 1 = 0 ∞ 𝑢→0 𝑥 1 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙(𝑥)

𝑙í𝑚𝑢→0

√3 − 2𝑢 − √3 √3 − 2(𝑢) − √3 = 𝑙í𝑚𝑢→0 𝑢 + 5√1 + 𝑢 − 5 (𝑢) + 5√1 + (𝑢) − 5

𝑢

=𝑥

𝑘 = √1 + 𝑢 𝑙í𝑚𝑢→0 𝑘 = 𝑙í𝑚𝑢→0(√1 + 𝑢) = √1 + 0 = 1 𝑢→1 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙(𝑢)𝑘 2 − 1 = 𝑢

√5 − 2𝑘2 − √3 √3 − 2𝑘 2 + 2 − √3 √3 − 2(𝑘 2 − 1) − √3 = 𝑙í𝑚 = 𝑙í𝑚 = 𝑘→1 𝑘→1 (𝑘 2 − 1) + 5𝑘 − 5 𝑘 2 − 1 + 5𝑘 − 5 𝑘 2 + 5𝑘 − 6 √5 − 2𝑘 2 − √3 √5 − 2𝑘 2 − √3 √5 − 2𝑘 2 + √3 = 𝑙í𝑚𝑘→1 ∗ = 𝑙í𝑚𝑘→1 (𝑘 + 6)(𝑘 − 1) √5 − 2𝑘 2 + √3 (𝑘 + 6)(𝑘 − 1) (5 − 2𝑘 2 ) − 3 2 − 2𝑘 2 𝑙í𝑚𝑘→1 = 𝑙í𝑚𝑘→1 = (𝑘 + 6)(𝑘 − 1)(√5 − 2𝑘 2 + √3) (𝑘 + 6)(𝑘 − 1)(√5 − 2𝑘 2 + √3) −2(𝑘 2 − 1) −2(𝑘 − 1)(𝑘 + 1) 𝑙í𝑚𝑘→1 = = 𝑙í𝑚𝑘→1 2 (𝑘 + 6)(𝑘 − 1)(√5 − 2𝑘 2 + √3) (𝑘 + 6)(𝑘 − 1)(√5 − 2𝑘 + √3) −2(𝑘 + 1) −4 −2(1 + 1) −2(2) 𝑙í𝑚𝑘→1 = = = 2 2 (7)(√4 + √3) 14 + 7√3 (𝑘 + 6)(√5 − 2𝑘 + √3) (1 + 6)(√5 − 2(1) + √3) ≈ −0.1531138242 𝑙í𝑚𝑘→1

𝑙í𝑚𝑥→∞

3𝑥 − 2 √ − √3 𝑥

𝑥+1 1 ( 𝑥) + 5√ −5 𝑥

≈ −0.1531138242

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