Ejercicios PL Curso 17-18 Gijón PDF

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GRADO EN COMERCIO Y MARKETINGMETODOS CUANTITATIVOS DE DECISIÓNTEMA 1. PROGRAMACIÓN LINEAL: EJERCICIOS .- Dado el siguiente P escribirlo en forma canónica y estándar. Obtener el dual. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 12 1 2 3 min 4 6 24 2 2 96 4 2 12.:2 2 70, 0, 0x x xx x xx x xsaxxx x x       Dados lo...

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GRADO EN COMERCIO Y MARKETING METODOS CUANTITATIVOS DE DECISIÓN

TEMA 1. PROGRAMACIÓN LINEAL: EJERCICIOS 1. .- Dado el siguiente P.L escribirlo en forma canónica y estándar. Obtener el dual.

min 4 x1  6 x2  2 x3 4 x1  2 x2  2 x3  9 6 x1  4 x2  2 x3  12 s.a : 2 x1  2 x2  7 x1  0, x2  0, x3  0 2.

Dados los programas Min 3x1  x2 s .a . x 1  3x 2  9

a)

2 x1  x2  8 x 1, x 2  0

b)

Max

2x1  3x2

s.a.

 x1  x2  2 x1  x2  4 x1  2x2  1 x1 , x2  0

a) ¿Está alguno de ellos en la forma canónica? b) Pasar ambos a la forma estándar. c) Para el primero de ellos obtener una solución básica que sea factible y una solución no básica y factible. d) Analizar razonadamente la convexidad del segundo programa. ¿Qué implicaciones se derivan de la convexidad? 3. Razonar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Todo programa lineal es convexo. b) Los puntos interiores del conjunto factible de un programa lineal pueden ser soluciones óptimas de dicho programa. c) Un punto que no es vértice del conjunto convexo de soluciones de un P.L. no puede ser solución óptima del PL. d) Un programa lineal siempre tiene solución óptima. e) Los óptimos de un programa lineal son globales. 4.

Responda, razonadamente, a las siguientes cuestiones: f) ¿Es cierto que los puntos interiores del conjunto factible de un programa lineal pueden ser soluciones óptimas de dicho programa? ¿por qué? g) Un punto que no es vértice del conjunto convexo de soluciones de un P.L. ¿puede ser solución factible?, ¿y solución óptima? ¿cuándo? h) ¿Un programa lineal siempre tiene un óptimo global? ¿es una solución única?

5. Supongamos que al resolver un programa lineal en forma canónica con 3 variables de decisión y 3 restricciones, se obtiene la siguiente solución óptima 3, 0,5, 0, 0, 0 para la

 

1 2

 

cual el vector de costes reducidos es 0, 0, 0,1, , 2  ¿De qué tipo de solución se trata? ¿Por qué?

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6.

Obtener el dual de los siguientes programas y comprobar que el dual del dual es el primal Min 3x1  x2 s .a . x1  3x2  9 a) 2 x1  x2  8 x 1, x 2  0

b)

Max

2x1  3x2

s.a.

 x1  x2  2 x1  x2  4 x1  2x2  1 x1 , x2  0

MODELIZAR LOS SIGUIENTES PROBLEMAS Y RESOLVERLOS CON EL SOLVER DE EXCEL. 7. La fábrica de muebles MOBEL, S.A. es especialista en la producción de dos clases de armarios, “alfa” y “omega”. Cada armario requiere una cantidad de tiempo diferente para la construcción y la pintura. MOBEL, S.A. desea determinar el número de unidades de cada tipo de producir diariamente, de tal manera que se maximice el beneficio obtenido. El gerente cree que se podrán vender todos los armarios que se produzcan. El beneficio obtenido con la venta de los armarios es de 200 u.m. para el modelo "alfa" y de 240 para el modelo "omega". Los armarios requieren tiempo de proceso en construcción (C) y de pintura (P). Los requerimientos y capacidades de producción diarios vienen dados en la tabla adjunta. a) Construir y resolver el programa matemático que permita obtener el beneficio óptimo en dichas condiciones. b) Plantear el programa dual asociado. ¿Cuál sería el valor de las variables duales?. Recursos requeridos por unidad de producto, total de recursos disponibles y beneficio unitario

Armario Alfa Armario Omega Recursos disponibles

Tiempo de construcción (C) en horas 6 12 120

Tiempo de pintura (P) en horas 8 4 64

Beneficio unitario 200 240

8. Nos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la más económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes que llamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos viene dada en la tabla siguiente: A B C D M 100 100 200 N 100 200 100 La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del componente D. El compuesto M cuesta 0.2€/Kg y el compuesto N 0.08€/Kg. ¿Qué cantidades de piensos M y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el menor posible?

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9. Una inversora dispone de 50.000€ para invertir entre las cuatro siguientes posibilidades: acciones A, acciones B, bonos X, y bonos Y, por el periodo de un año. Un máximo de 10.500€ puede ser invertido en bonos X, y un máximo de 10.000€ en bonos Y. La inversión en acciones A conlleva un riesgo considerable por lo que se determina no invertir más de un cuarto de la inversión total. La cantidad invertida en acciones B debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en acciones A. Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la mitad de la inversión en acciones. Los beneficios netos anuales se estiman según se muestra en la siguiente tabla: Acciones A

Acciones B

Bonos X

Bonos Y

20%

10%

9%

11%

¿Cuál es la forma óptima de realizar la inversión para conseguir las máximas ganancias?

10. Un fondo de inversión necesita determinar una estrategia de inversión para los próximos tres años. Actualmente (momento cero), dispone de 100 millones de euros y de cinco posibilidades de inversión: A, B, C, D y E. En la tabla siguiente se dan los flujos de efectivo asociados con la inversión de 1 euro en cada modalidad: 0 1 2 3 A -1 +0,5 +1 0 B 0 -1 +0,5 +1 C -1 +1,2 0 0 D -1 0 0 +1,9 E 0 0 -1 +1,5 Para asegurar una cartera diversificada, cada modalidad (A, B, C, D, E) no puede suponer más de un 50% de la inversión realizada en el momento 0. Además de las inversiones A-E, el fondo puede obtener intereses del 6% anual colocando el dinero que no invierte en fondos del mercado financiero. Los intereses de las inversiones se pueden volver a reinvertir inmediatamente. La empresa no puede pedir prestado fondos; por lo tanto, el dinero disponible para la inversión en cualquier momento se limita al efectivo disponible. Formular un programa lineal que maximice el capital disponible al final del periodo de planificación. 11. En un momento inicial (0) un inversor dispone de 7.000.000 € que puede invertir en dos tipos de títulos (A, B). Los flujos unitarios que producen dichas inversiones son: Tiempo A B 0 -1 0 1 0,04 -1 2 1,6 0 3 0 1,9 Las cuantías no invertidas en A y B en cada año pueden ingresarse en una cuenta corriente que proporciona un 5% de interés. Formular un programa lineal que maximice el efectivo disponible al final del periodo de planificación.

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12. En un momento inicial (0) un inversor dispone de 100.000.000 € que puede invertir en 4 tipos de títulos (A, B, C, D). Los flujos unitarios que producen dichas inversiones son: Tiempo A B C D 0 -1 -1 0 0 1 0 +0,1 -1 0 2 +1,2 +0,1 +0,5 -1 3 0 +1,1 +0,75 +1,3 Las cuantías no invertidas en cada año se pueden ingresar en una cuenta corriente que proporciona un interés del 1% anual. Se sabe además que el inversor debe disponer de 25 millones de euros al final del periodo 2 para hacer frente a unos pagos ya comprometidos. Formular un modelo lineal que optimice el efectivo disponible al final del periodo de planificación. 13. En el zoológico municipal, se requiere un compuesto de carne para alimentar a los leones, que contenga igual cantidad de proteínas y de grasa. Según un estudio de mercado, los distintos tipos de carne tienen las siguientes características y los siguientes precios: CONTENIDO CARNE TIPO: DE: A B C GRASAS 16% 18% 25% PROTEÍNAS 22% 20% 16% PRECIO POR KG. $70 $90 $100 Si se desea minimizar el costo de la alimentación de las fieras, plantear el problema en términos de programación lineal. Resolver dicho programa y encuentre la combinación óptima de tipos de carne a adquirir que minimiza el costo de la dieta por kilogramo de ración. 14. Un agricultor quiere cultivar maíz y trigo en un campo de 70 hectáreas. Sabe que una hectárea puede proporcionar 100 quintales de maíz y 60 quintales de trigo. Cada hectárea requiere una inversión de 110€ para cultivar maíz y 95€ para trigo. El capital disponible es de 7500€. Por otra parte se sabe que las necesidades de agua de riego son 900m3 por hectárea de maíz y 650m3 por hectárea de trigo; estos requerimientos son para el mes de octubre y 1200m3 por ha. de maíz y 850m3 por ha. de trigo para noviembre. La disponibilidad de agua en Octubre es de 57900m3 y en Noviembre 115200m3. Si los precios de maíz y trigo son de 105€ y 119,60€ por tonelada respectivamente, determinar la cantidad de maíz y trigo que deben producirse para obtener un ingreso total máximo. 15. En un taller se fabrican dos tipos de piezas A y B, que deben seguir los siguientes procesos: estampado, soldado y pintado. La tabla adjunta proporciona el tiempo requerido (en segundos) por cada una de las operaciones y los recursos totales disponibles en los distintos tipos de maquinaria que se emplean. OPERACIONES A ( seg / pieza ) B ( seg / pieza ) Tiempo disponible estampado 6 16 48000 soldado 12 6 42000 pintado 9 9 36000 El beneficio es de 4€/ pieza A y 3€/ pieza B, se desea establecer un plan de producción semanal que maximice la utilidad.

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16. Un productor ganadero necesita establecer la cantidad de alimento debe consumir diariamente el ganado a los efectos de satisfacer un límite mínimo de proteínas, materias grasas, etc. El ganado requiere de cuatro componentes nutritivos CN1, CN2, CN3 y CN4 y para alimentarlo el productor tiene disponibles dos tipos de alimentos I y II los que poseen los componentes nutritivos en la proporción que indica la siguiente tabla: ALIMENTOS Comp. Nutritivos. I II Cantidad mínima CN1 0,1 0 0,40 CN2 0 0,1 0,60 CN3 0,1 0,2 2,00 CN4 0,2 0,1 1,70 COSTE (€ / kg.) 10 4 ¿Qué cantidad de alimento I y II se deben utilizar diariamente por animal para obtener la alimentación más económica? 17. Un fabricante ha decidido lanzar al mercado tres variedades A, B y C de un nuevo artículo. El beneficio unitario que espera obtener en cada variedad es de 50, 80 y 120 euros, respectivamente. Cada variedad precisa para su fabricación de dos procesos. Los tiempos requeridos en cada proceso en horas por semana vienen expresados en la tabla siguiente: P1 P2 A 2 4 B 2 6 C 3 10 Cada uno de estos procesos tiene una limitación de utilización semanal de 42 y 60 horas, respectivamente. Responder a las siguientes cuestiones: (a) Plantear un modelo lineal que permita determinar la política de producción que debe seguir el fabricante para maximizar beneficios. Interpretar la solución obtenida con Solver. (b) ¿Es la solución óptima múltiple? ¿y degenerada? (c) ¿Se utilizan a pleno rendimiento los dos procesos? ¿Convendría aumentar la capacidad de uso de alguno de ellos? (d) ¿Qué consecuencias tendría para la solución óptima un aumento de la capacidad del proceso 2 de 20 horas? (e) Se detecta que la variedad A se podría vender a un precio de 60€, ¿cambiaría la solución óptima? (f) Si se plantease producir una nueva variedad D que podría ser vendida a un precio de 75€ y que necesitaría 3 horas en el proceso 1 y 5 en el proceso 2, ¿interesaría comercializar esta variedad?

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Microsoft Excel 12.0 Informe de respuestas Hoja de cálculo: [Libro1]Hoja1 Informe creado: 29/02/2012 22:45:49

Celda objetivo (Máximo) Celda Nombre Valor original Valor final $E$4 Max 0 800

Celdas cambiantes Celda Nombre Valor original Valor final $B$4 A 0 0 $C$4 B 0 10 $D$4 C 0 0

Restricciones Celda Nombre Valor de la celda Fórmula Estado Divergencia $E$6 Max 20 $E$6=$I$38 50 $G$39>=$I$39 0,666666667 $G$41...