Esercitazione - Determinazione dell’ellisse centrale ed il nocciolo centrale di inerzia - II PDF

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Determinazione dell’ellisse centrale ed il nocciolo centrale di inerzia • Sezione rettangolare 50

70

X

G

G

Y' Y

G

X Figura 1 [Quote in cm] Facendo riferimento alla figura 1, la sezione rappresentata presenta la doppia simmetria rispetto gli assi coordinati XG, YG che si definiscono baricentrici principali di inerzia. A priori è possibile affermare quindi che il baricentro sarà individuato dall’intersezione di tali assi. Per completezza di esposizione si passa ora al calcolo delle grandezze necessarie per la caratterizzazione geometrica della sezione ottenendo così quello che si era supposto noto in partenza. Area: A = 500 × 700 = 350 × 10 3 mm2 Momento statico S = (500 × 700) × 350 = 122.5 × 106 mm3 rispetto X: X

Una volta calcolato il momento statico della sezione rispetto l’asse delle ascisse, l’ordinata del baricentro (YG) sarà riferita all’asse X coincidente con l’intradosso della sezione. Il calcolo a questo punto risulta banale: Baricentro: Y ' = YG =

SX = 350 mm A

Si determina ora il valore dei momenti principali di inerzia della sezione in esame utilizzando la nota formula per il calcolo dell’inerzia del rettangolo: 500 × 700 3 Momenti principali di = 14.29 × 10 9 mm4 I XG = inerzia rispetto XG: 12 Momenti principali di 700 × 500 3 = 7.29 × 10 9 mm4 I YG = inerzia rispetto YG: 12 Per la determinazione dell’ellisse centrale di inerzia si esegua dapprima il calcolo dei raggi giratori principali di inerzia ed una volta noti questi, l’ellisse si traccia disponendo i semidiametri ρ X e ρY perpendicolarmente agli assi XG e YG a partire dal baricentro G. Vedi figura 2 I XG Raggio giratore principale 14.29× 109 ρ = = = 202.1 mm di inerzia rispetto XG: X 350 × 10 3 A

Raggio giratore principale di inerzia rispetto YG: ρ Y =

I YG A

=

7.29 × 109 =144.3 mm 350 × 103

ρ

X

G

ρ

Y

X

G

35 Y

G

X Figura 2 [Quote in cm] Per l’individuazione del nocciolo centrale d’inerzia si determina la distanza del contorno del nocciolo dal baricentro G ed in seguito si traccia il luogo geometrico unendo i punti prima ottenuti. Nel caso della sezione in esame è agevole individuare il nocciolo di inerzia essendo questo definito come terzo medio. Vedi figura 3 h ρ X2 = = 116.7 mm 6 350 ρ2 b BG = = Y = 83 .3 mm 6 250 AG =

A G B

X

G

Y

G

X Figura 3 [Quote in cm] Potrebbe avere un certo interesse dal punto di vista ingegneristico valutare i moduli di resistenza della sezione, rispettivamente sollecitata secondo l’asse forte (al lembo inferiore e superiore i valori dei moduli coincidono) e secondo l’asse debole. Tale elementi risultano fondamentali in fase di dimensionamento. I XG 14.29 × 10 9 Modulo di resistenza W = = = 40.8 × 10 6 mm3 asse forte: FOR YMAX 350 IYG 7.29 × 10 9 Modulo di resistenza W = = 29.2 × 10 6 mm3 DEB = asse debole: YMAX 250...