Esercizi Aggiuntivi - Terza Esercitazione sol 2018 19 PDF

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ESERCIZI AGGIUNTIVI ALLA III ESERCITAZIONE...

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ESERCIZI AGGIUNTIVI ALLA TERZA ESERCITAZIONE di MICROECONOMIA TECNOLOGIA E PRODUZIONE - SOLUZIONI Prima Parte – Vero, falso od incerto. Si stabilisca se i seguenti enunciati sono veri, falsi, o incerti (cioè veri solo sotto ipotesi restrittive non contenute nell’enunciato). Si fornisca una spiegazione e si argomenti compiutamente la risposta. [NB: La spiegazione e l’argomentazione sono più importanti della corretta classificazione] 1) La tecnologia dell’impresa BETA si caratterizza per rendimenti di scala decrescenti; allora il costo marginale di lungo periodo di BETA è una funzione decrescente dell’output. Falso. Quando i rendimenti di scala sono decrescenti, un aumento proporzionale di tutti gli input determina un aumento meno che proporzionale della quantità prodotta; quindi all’aumentare della quantità prodotta il costo totale aumenta più che proporzionalmente. Questo implica che la pendenza della funzione di costo – che è pari al costo marginale – è crescente.

2) Considerate la funzione di produzione: , dove Q è l’output, e K ed L sono gli unici due input. La funzione di produzione è caratterizzata da rendimenti di scala crescenti e produttività marginali crescenti in entrambi gli input. Falso. K ed L sono perfetti sostituti nella produzione di Q. La funzione di produzione è caratterizzata da produttività marginali costanti e rendimenti di scala costanti. Infatti, i rendimenti di scala sono sempre costanti in questo caso, poiché : , e la produttività marginale degli input è anche costante, dal momento che

e

.

3) Un processo tecnologico è caratterizzato da produttività marginale decrescente per tutti gli input, perciò è caratterizzato anche da rendimenti di scala decrescenti. Incerto. La produttività marginale definisce se la produzione aumenta più o meno che proporzionalmente all’aumentare di un input, mentre i rendimenti di scala definiscono se la produzione aumenta più o meno che proporzionalmente all’aumentare di tutti gli input. Quindi una produttività marginale decrescente non implica necessariamente dei rendimenti di scala decrescenti.

4) Un’impresa nel lungo periodo sceglie di utilizzare capitale (K) e lavoro (L) per produrre un generico output (Q). Se il costo del lavoro aumenta, nel lungo periodo l’impresa può decidere di ridurre la quantità di lavoro e aumentare la quantità di capitale e lasciare così invariato il costo totale. Falso. Concentriamoci inizialmente sulla prima parte dell’enunciato: tranne nel caso di input perfetti sostituti o perfetti complementi, la scelta ottima dell’impresa è proprio sostituire lavoro con capitale, muovendosi lungo lo stesso isoquanto. Questa parte è quindi

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vera. La seconda parte dell’enunciato fa riferimento ai costi totali. Per definizione l’isocosto ruoterà verso il basso, dal momento che il costo del lavoro è aumentato e quello del capitale non è variato. Per questo motivo, però, è impossibile trovare una combinazione di input sul nuovo isocosto che sia tangente al vecchio isoquanto. La seconda parte dell’enunciato è falsa, e questo rende falso tutto l’enunciato. In teoria se si assume che i due input siano perfetti sostituti e che nella situazione iniziale la pendenza dell’isocosto è la stessa dell’isoquanto, allora l’enunciato è vero. Infatti l’impresa potrebbe trovare ottimale impiegare sia capitale che lavoro nella situazione iniziale e solo capitale in quella finale, scegliendo l’unica combinazione di input per cui il vecchio e il nuovo isocosto si incrociano.

5) Considerate la seguente funzione di produzione: Y = min(L, K), dove Y indica la quantità complessivamente prodotta, L il numero di lavoratori e K il numero di unità di capitale impiegate. Per raddoppiare il volume di produzione è sufficiente impiegare una quantità doppia di lavoratori e capitale. Vero. La funzione di produzione esibisce rendimenti di scala costanti: è effettivamente sufficiente raddoppiare gli input per raddoppiare l'output. E’ però corretto anche affermare che ciò non è sempre necessario. Se si parte da una situazione in cui K è diverso da L basta anche meno.

6) Se una tecnologia è caratterizzata da rendimenti marginali decrescenti, allora presenta rendimenti di scala decrescenti. Falso. Consideriamo la seguente tecnologia Cobb-Douglas:Y=L1/2K1/2.Essa presenta rendimenti marginali decrescenti ma rendimenti di scala costanti.

7) Un’impresa utilizza capitale e lavoro per produrre una certa quantità Y del bene con una funzione di produzione del tipo Cobb-Douglas ( Y = Lα K β ). Se nel lungo periodo il prezzo di uno dei fattori aumenta (per esempio w aumenta), l’impresa potrà sostituire il fattore il cui prezzo è aumentato con quello il cui prezzo non è variato (L con K). Il costo totale di lungo periodo potrà però restare invariato (rispetto a quello pagato prima dell’aumento del prezzo del fattore). Falso. Supponiamo che w aumenti. La pendenza degli isocosti aumenterà. Rispetto all’isocosto di riferimento (della soluzione di equilibrio), intercetta verticale non cambia; intercetta orizzontale diminuisce. Nuovo isocosto per CT iniziale non consente di produrre la stessa quantità Y. Per produrre Y ci si sposta su un isocosto parallelo al nuovo ma più in alto nella mappa degli isocosti. Quindi, per effetto dell’aumento di w, oltre alla riduzione di L e aumento di K, si ha un aumento dei costi totali di lungo periodo.

8) Un’impresa utilizza una tecnologia di produzione che presenta rendimenti marginali decrescenti sia per il capitale che per il lavoro. Ciò implica che la tecnologia di produzione presenta rendimenti di scala decrescenti. Falso. Si può costruire un contro esempio con una tecnologia di produzione Cobb-Douglas del tipo Y=ALαK1-αdove α è un numero compreso tra zero ed 1. In questo caso i prodotti marginali di entrambi i fattori sono MP L =AK1-αLα-1 e MP K =ALαK-α. MP L è decrescente nel lavoro L e MP K è decrescente nel capitale K. Ad ogni modo la tecnologia di produzione ha rendimenti di scala costanti. 2

9) La funzione di produzione di un’impresa è Q=2L dove Q è la produzione totale e L è il lavoro. Tale funzione di produzione si caratterizza per una produttività marginale del lavoro costante e pari a 2. Se il costo del lavoro è w=10 allora il costo marginale dell’impresa è uguale a 5. Vero. Il costo marginale è uguale a MC = w / MPL = 10 / 2 = 5 10) Considerate la funzione di produzione Q = L + K dove Q è l’output, L il lavoro e K il capitale. La funzione di produzione esibisce rendimenti di scala crescenti. Falso. Siamo nel caso di input perfetti sostituti e i rendimenti di scala sono costanti. 11) Considerate la seguente funzione di produzione Y = 2 L + 3K , dove Y indica l’ output, L il lavoro e K il capitale (unici fattori impiegati nel processo produttivo). La produttività marginale del lavoro è crescente. Falso. La produttività marginale è definita come il prodotto aggiuntivo che si può ottenere impiegando una unità in più di un fattore mantenendo invariata la quantità degli altri fattori produttivi. La funzione di produzione data si riferisce a due fattori produttivi che risultano perfetti sostituti. In tal caso il prodotto marginale di entrambi i fattori è costante. Infatti: MP L =2 12) Se una funzione di produzione presenta rendimenti di scala crescenti, allora la sua funzione di costo totale di lungo periodo è caratterizzata da economie di scala. Vero. In presenza di rendimenti di scala crescenti, al fine, per esempio, di raddoppiare il volume di produzione, l’impresa deve utilizzare una quantità meno che doppia degli input. Di conseguenza, il costo totale per gli input aumenta “meno velocemente” dell’aumento dell’output. Per cui, avremo costi medi di produzione decrescenti che coincide con la definizione di economie di scala.

13) Se nel breve periodo il prodotto marginale del lavoro è costante, all’aumentare del numero dei lavoratori l’output totale non varia. Falso. Se il prodotto marginale del lavoro è costante, ciò significa che all’aumentare del numero dei lavoratori l’output totale aumenta sempre della stessa proporzione.

14) Data una funzione di produzione y = min(L,K), una variazione del prezzo di uno dei due fattori produttivi non ha effetto sulla combinazione di fattori utilizzata per produrre una data quantità di output, ma solo sul costo complessivo di produzione Vero. Poiché si tratta di una tecnologia in cui i fattori produttivi sono perfetti complementi, la combinazione economica efficiente dei fattori produttivi è sempre quella corrispondente al vertice della curva di indifferenza corrispondente al livello di produzione desiderato. Il costo di produzione, invece, varia al variare del prezzo dei fattori: aumenta quando questi aumentano e diminuisce in caso contrario.

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15) Al fine di minimizzare i costi di lungo periodo un’impresa deve scegliere una combinazione di input tale per cui il rapporto tra i prodotti marginali dei fattori produttivi sia uguale al rapporto tra i loro prezzi. Incerto. Nel caso di tecnologia Cobb-Douglas l’enunciato è vero, ma in altri casi è falso (per esempio, nel caso di fattori perfetti sostituti).

16) La ditta MIX produce braccialetti. Il costo medio totale di produrre 10 braccialetti è 10 €, mentre il costo medio totale di produrre 11 braccialetti è 11 €. Quindi il costo marginale di produrre l’undicesimo braccialetto è 11 €. Falso. E’ 121− 100 = 21 €.

17) Se nel breve periodo il prodotto marginale del lavoro è crescente, il costo marginale di produzione è crescente. Falso. Se il prodotto marginale del lavoro è crescente, ciò significa che all’aumentare dell’output un’impresa necessiterà di sempre meno lavoratori per unità aggiuntiva e, dato il salario, si avrà una riduzione del costo marginale.

18) Per l’impresa che minimizza i costi, in equilibrio il prodotto marginale dell’ultimo euro speso è lo stesso per ogni fattore della produzione. Incerto. Se l’equilibrio è interno, l’affermazione è vera: MRTS=MPL/MPK =w/r, e quindi ; il lato sinistro corrisponde alla produttività per euro speso in lavoro, la parte destra la produttività per euro speso in capitale. Se l’equilibrio non è interno, l’affermazione può essere falsa.

19) Per un’impresa le curve di costo di breve periodo e quelle di lungo periodo si sovrappongono solamente nel caso in cui i due fattori produttivi L e K siano perfetti sostituti. Falso. Il fatto che K ed L siano perfetti sostituti non implica che sia possibile mutare il fattore produttivo “fisso”, ovvero il capitale anche nel breve periodo. Fintanto che uno dei due fattori produttivi è “fisso” ovvero mutabile solo nel lungo periodo le curve di costo di breve e di lungo sono differenti, indipendentemente dal grado di sostituibilità dei fattori.

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Seconda Parte – Esercizi COBB-DOUGLAS

Esercizio 1 L’impresa Delta produce divani (D) utilizzando due fattori produttivi: lavoro (L) e macchinari (M, in verticale). La funzione di produzione dell’impresa è la seguente: D = L0.5M0.5. a) Se L aumenta del 10%, quanto deve aumentare M affinché la produzione di D aumenti del 10%? In questo caso la somma degli esponenti della Cobb-Douglas è pari ad 1, quindi la funzione di produzione esibisce rendimenti di scala costanti, di conseguenza dato che L aumenta del 10%, anche M deve aumentare del 10% affinché la produzione di D aumenti del 10%.

b) Nel lungo periodo, il costo del lavoro è pari a 5 € e quello di un macchinario è pari a 20 €. Rappresentate graficamente i 2 isocosti corrispondenti a costi di produzione pari a 100 € e pari a 400 €, indicando chiaramente le intercette e le pendenze. 100 = 5L + 20M; M = 5 − 1/4L; pendenza = − 1/4. 400 = 5L + 20M; M = 20 − 1/4L; pendenza = − 1/4.

c) Sapendo che il Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica tra lavoro e macchinari (MRTS LM ) è pari a M/L, nell’ipotesi di voler produrre 10 divani, quante unità di lavoro e di macchinari saranno impiegate in equilibrio? Indicate l’equilibrio nel grafico precedente.

→

d) Supponete che l’impresa voglia produrre 30 divani e che abbia a disposizione 36 lavoratori. Quante unità di macchinari verranno utilizzate? 30 = 6 M0.5 → M = 25. 5

Esercizio 2 L’impresa Alfa produce dolci (D) utilizzando due fattori produttivi: lavoro (L) e farina (F, in verticale). La funzione di produzione dell’impresa è la seguente: D=L0.5F0.5. a) Che rendimenti di scala ha la funzione di produzione? Motivate la risposta. Si tratta di una CD, la cui somma degli esponenti è 1: rendimenti di scala costanti.

b) Supponendo che il costo del lavoro sia pari a 12 e quello della farina pari a 3, scrivete la generica equazione di una retta di isocosto, e rappresentatela graficamente, indicando le intercette e la pendenza. C=12L+3F Pendenza = -4

F

C/3

C/12

L

c) Nell’ipotesi di voler produrre 60 dolci, quante unità di lavoro e di farina verranno impiegati in equilibrio? Rappresentate la soluzione nel grafico precedente. 60 = L0.5F0.5 (1) 12/3=F/L (2) L*=30 F*=120

d) Supponete che nel breve periodo l’impresa voglia produrre 120 dolci e che abbia a disposizione 36 lavoratori. Quante unità di farina verranno utilizzate? 120=6 F0.5 F=400

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PERFETTI SOSTITUTI Esercizio 3 L’impresa Beta produce il bene B impiegando due fattori produttivi, X (in orizzontale) e Y (in verticale), secondo la funzione di produzione: B(X, Y) = 2X + Y a) Rappresentate graficamente ed analiticamente gli isoquanti corrispondenti alla produzione di 20 e 40 unità di B.

Y 40

20

X

b) Sapendo che il prezzo di X è tre volte più grande del prezzo di Y e che MRTS = 2, quale dei due fattori produttivi sarà più utilizzato?

c) Supponete che il prezzo unitario del fattore X sia 12, mentre il prezzo del fattore unitario del fattore Y sia 4. Quale sarà il costo di produrre 20 unità del bene B?

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Esercizio 4 L’impresa Alfa ha la seguente funzione di produzione: Q = 2L + 5K, dove Q indica la quantità prodotta, mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale e sono gli unici fattori impiegati nel processo produttivo. a) Di che tecnologia si tratta? Rappresentate la mappa degli isoquanti in un grafico. Perfetti sostituti.

b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono, rispettivamente, P L = 1 €, P K = 1 €, scrivete l’espressione analitica del generico isocosto. TC = P L L + P K K TC = L + K, fascio di rette parallele con pendenza = − 1

c) Supponete che l’impresa voglia produrre una quantità Q = 50. Sapendo che il Saggio Marginale di Sostituzione Tecnica tra lavoro e capitale (MRTS) è pari a 2/5, trovate la combinazione di fattori impiegata in equilibrio e rappresentatela nel grafico precedente. Isoquanto di riferimento (in rosso nel grafico): 50 = 2L + 5K; retta con pendenza = −2/5 ed intercette (0;10) e (25;0). MRTS < (P L /P K ) → soluzione verticale (0;10). Isocosti di riferimento (in blu nel grafico): TC = L + K = 10 K= 10 − L pendenza = −1 Intercette: L = 0 K = 10 K = 0 L = 10

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d) Supponete, ora, che il prezzo del capitale P K salga a 5 €. Che effetto avrà tale aumento sulla combinazione di fattori impiegata in equilibrio? Rispondete analiticamente e graficamente. Nuova mappa di isocosti: TC = PL L + P K K TC = L + 5K; fascio di rette parallele con pendenza = − 1/5 MRTS LK > (P L /P K ) → soluzione orizzontale (25;0). Nuovo isocosto di riferimento (in verde nel grafico): TC = L + 5K = 25 K = 10 − L Intercette: L = 0 K = 5 K = 0 L = 25

e) Di che tipo di rendimenti di scala gode l’impresa Alfa? La tecnologia di Alfa presenta rendimenti di scala costanti, infatti: Q(tL,tK) = 2(tL) + 5(tK) = t(2L + 5K) = t Q(L,K).

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Esercizio 5 La tecnologia dell’impresa Gamma è rappresentata dalla seguente funzione di produzione: Q(K,L)=L+3K dove Q indica la quantità prodotta mentre L e K sono, rispettivamente, lavoro e capitale (unici input di produzione). a) Di che tecnologia si tratta? Sapendo che MP L =1 e MP K =3, indicate il saggio marginale di sostituzione tecnica tra K ed L e rappresentate la mappa degli isoquanti in un grafico. MRTS=MPL/MPK=1/3 Visto che l’MRTS è costante la tecnologia di produzione prevede l’impiego di fattori perfetti sostituti. Graficamente, gli isoquanti sono dati da rette parallele ad inclinazione costante e pari a -1/3 (curve in grassetto). K Pendenza = -1/3

E’

80 40

E

Pendenza = -1/2

TC(120) TC(240)

0

120

240

L

b) Sapendo che i prezzi dei fattori sono p L = 4 e p K = 8 scrivete l’espressione analitica del generico isocosto e trovate la combinazione dei fattori necessaria per produrre 120 unità di output. Rappresentate sul grafico. Un isocosto ha equazione TC = pL L + p K K. Nel nostro caso: TC = 4L + 8K, fascio di rette parallele con pendenza =-pL /p K = -1/2. L’isoquanto corrispondente alla produzione di 120 unità di output è 120 =3K + L, con pendenza uguale a -1/3 e intercette (0,40) e (120,0). Dunque MRTS KL...