Esercizi - Geometria (I modulo) - Spazi vettoriali euclidei. Prodotto vettoriale in r 3 . - Prof. F. Flamini PDF

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Universita’ degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Scienza e Tecnologia dei Media Esercizi GEOMETRIA (I modulo) SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI. PRODOTTO VETTORIALE IN R3 . Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Svolti Esercizio 1. Nel piano vettoriale euclideo! R2 , dotato della base canonica E e del prodotto 1 scalare standard ·, sia U := Span e sia Π l’operatore lineare su R2 dato dalla 2 proiezione ortogonale sul sottospazio U . (i) Determinare il polinomio caratteristico di Π, calcolando la molteplicita’ algebrica e geometrica di ciascun autovalore di Π. (ii) Dedurre se Π e’ diagonalizzabile o meno. In caso affermativo, dedurre la forma diagonale di Π. Svolgimento. (i) Ovviamente si ha che un vettore ortogonale ai vettori di U e’ w = ! −2 . Se denotiamo con W = Span{w}, W e’ il complemento ortogonale ad U , 1 in altri termini R2 = U ⊕ W . Sia B = {u, w} la base ortogonale di R2 . In tale base la matrice rappresentativa dell’operatore Π e’ semplicemente A = MB (Π) =

1 0 0 0

!

.

Poiche’ il polinomio caratteristico di Π coincide con il polinomio caratteristico della matrice A, si ha immediatamente che PA (t) = t(t − 1). Visto che entrambi gli autovalori sono semplici, si ha necessariamente µa(0) = µg (0) = 1 e µa(1) = µg (1) = 1. (ii) Visto che il polinomio caratteristico di Π si fattorizza linearmente su R ed ha tutte soluzioni semplici, Π e necessariamente diagonalizzabile e la matrice A e’ la sua forma diagonale. Esercizio 2. Nel piano vettoriale euclideo R2 , munito di base canonica E e di prodotto scalare standard ·, sia v = 2e1 + e2 e sia U := Lin(v). Sia σU ∈ End(R2 ) l’operatore di riflessione rispetto ad U . (i) Stabilire il rango di σU . 1

2

(ii) Stabilire se l’operatore σU e’ diagonalizzabile. In caso affermativo, determinare i suoi autovalori, specificando per ciascuno di essi la molteplicita’ algebrica e geometrica. Scrivere esplicitamente il suo polinomio caratteristico. (iii) Dedurre la forma diagonale di σU e determinare inoltre la matriche ME (σU ) che rappresenta l’operatore σU nella base canonica. Svolgimento. (i) Sia w un qualsiasi vettore ortogonale a v. Per definizione di σU si ha σU (v) = v σU (w) = −w. Pertanto rg(σU ) = 2. (ii) Gli autovalori di σU sono 1 e −1, entrambi di molteplicita’ algebrica e quindi geometrica 1. Il polinomio caratteristico e’ quindi PσU ! (T ) = T 2 − 1. 1 0 (iii) La forma diagonale di σU e’ D = . Se prendiamo una base ortonor0 −1 male F data da ! ! √2 √1 v w 5 5 f1 = , f2 = , = = √1 ||v|| ||w|| − √2 5

5

questa base definisce una matrice cambiamento di base C = ME,F , tale che C −1 = t C . Grazie a C abbiamo ! 3/5 4/5 t ME (σU ) = CD C = . 4/5 −3/5 Esercizio 3. Nello piano vettoriale euclideo R2 , munito del prodotto scalare standard, si consideri il vettore u = (−1, 1), espresso in componenti rispetto alla base canonica E . Determinare tutti i vettori x che sono ortogonali ad u e che abbiano norma uguale a 2. Svolgimento: x = (x1 , x2 ) e’ tale che 0 = hu, xi = x2 − x1 ; percio’ x = (α, α). √ Inoltre ||x|| = 2 implica α = ± 2. Percio’, i vettori cercati sono √ √ √ √ x = ( 2, 2) oppure x = (− 2, − 2). Esercizio 4. Nel piano vettoriale euclideo R2 , munito del prodotto scalare standard, si consideri il vettore v = (2, 1), espresso in componenti rispetto alla base canonica E . (i) Determinare le formule di proiezione ortogonale sul sottospazio V := Span(v). (ii) Determinare una base ortonormale O di R2 , il cui primo vettore sia proporzionale a v. (iii) Detta C = ME,O la matrice cambiamento di base dalla base canonica E alla nuova base ortonormale O, verificare che C = C −1 . Svolgimento: (i) Sia x = (x1 , x2 ) un vettore arbitrario di R2 . Si ha pertanto   2 2 1 4 x1 + x2 , x1 + x2 . ΠV (x) = 5 5 5 5

3

(ii) Un vettore ortogonale a v e’ ad esempio il vettore w = (1, −2). La base O cercata e’ quindi     w v 2 2 1 1 √ √ , f2 = . f1 = = √ , = √ ,− ||v|| ||w|| 5 5 5 5

(iii) Per definizione di matrice cambiamento di base, si ha ! 1 2 C=

√ 5 √1 5

√ 5 − √2 5

.

Poiche’ O e’ una base ortonormale, allora C e’ una matrice ortogonale, i.e. tC = C −1 . Notando che C e’ simmetrica, allora C = C −1 . Esercizio 5. Dati i vettori di R3       2 1 0 0  . 1   1 x = , y =  , z =   1 1 0

(i) Calcolare il volume del parallelepipedo avente come spigoli i tre vettori dati; (ii) calcolare l’orientazione della terna ordinata {y, x, z}. Svolgimento: (i) Il volume del parallelepipedo richiesto si trova calcolando il valore assoluto del determinante della matrice quadrata di ordine 3 che ha per colonne le coordinate della terna di vettori. Tale volume risulta uguale ad 1. (ii) Il valore del determinante della matrice associata alla terna ordinata {y, x, z} e’ - 1; segue che la terna ordinata e’ una base non equiorientata (o equiversa) alla base canonica di R3 . Esercizio 6. Nello spazio vettoriale euclideo R3 , sia dato il sottospazio vettoriale di equazione cartesiana U : X1 − X2 = 0.

Determinare una base ortonormale b di R3 , orientata positivamente ed i cui primi due versori appartengano al sottospazio U . Svolgimento: Notiamo che U e’ un piano vettoriale, cioe’ e’ un sottospazio di R3 di dimensione 2. Una base naturale per U e’ data dai vettori: v = (1, 1, 0), w = (0, 0, 1) (le cui coordinate sono scritte per riga per brevita’). Notiamo che hv, wi = 0 e che w e’ gia’ un versore. Percio’ per determinare una base ortonormale di U , basta versorizzare v e si ottiene:    √  0 1/ 2 v    √  f 1 := =  1/ 2  , f 2 := w =  0  . ||v|| 1 0

4

Tali due versori sono i primi due vettori di b. Per determinare il terzo vettore di b, basta considerare  √  1/ 2 √   f 3 := f 1 ∧ f 2 =  −1/ 2  . 0

Tale base e’ sicuramente ortonormale, inoltre e’ orientata positivamente, dato che Or (f 1 , f 2 , f 3 ) = ||f 3 ||2 = 1.

Esercizio 7. Nello spazio vettoriale euclideo R3 , sia dato il sottospazio vettoriale U , di equazioni cartesiane: ( X1 + X2 = 0 . X2 + X3 = 0 Determinare una base ortonormale b′ di R3 , orientata positivamente ed il cui primo versore appartenga al sottospazio U . Svolgimento: Notiamo che U e’ una retta vettoriale. Un vettore direttore di U , i.e. una base di U , si trova risolvendo il sistema lineare omogeneo che definisce U . Ad esempio, una soluzione e’ data dal vettore v = (1, −1, 1). Percio’, versorizzando v si ottiene: √  1/ 3 √  v = f 1 :=  −1/ 3  . √ ||v|| 1/ 3 

Possiamo ora scegliere opportunamente un vettore di R3 che sia manifestamente ortogonale ad U , ad esempio w = (1, 1, 0). Percio’, versorizzando w otteniamo: √  1/ 2 √  w = f2 =  1/ 2  . ||w|| 0 

Tali due versori sono i primi due vettori di b′ . Per determinare il terzo vettore della base b′ , basta considerare  √  −1/ 6 √   f 3 := f 1 ∧ f 2 =  1/ 6  . √ 2/ 6

Tale base e’ sicuramente ortonormale, inoltre e’ orientata positivamente, dato che Or(f 1 , f 2 , f 3 ) = ||f 3 ||2 = 1.

5

Esercizio 8. (i) Si consideri R3 come spazio vettoriale euclideo, munito della base canonica e e del prodotto scalare standard h, i. Sia U il sottospazio vettoriale di equazione cartesiana X1 − X3 = 0.

Determinare una base ortonormale di R3 , positivamente orientata, i cui primi due versori appartengano ad U .

(ii) Si consideri ora R3 come spazio cartesiano, con riferimento cartesiano standard (O; x x3 ). Determinare l’equazione cartesiana del piano π, passante per il punto 1 , x2 , 2   P = −1, parallelo alla retta r, di equazioni cartesiane 3 ( X1 − 3X3 = 1 , X2 + X3 = 3 e perpendicolare al piano α di equazione cartesiana 2X1 − 3X2 + 4X3 = 1. Scrivere infine l’equazione cartesiana di una qualsiasi retta che sia sghemba alla retta s di equazioni cartesiane ( X1 − X3 = 1 . X1 + X2 + X3 = 1 Svolgimento: (i) Dall’equazione di U , abbiamo che una base di U e’ ad esempio     0 1     b1 = 0  , b2 = 1 . 0 1

Tali due vettori sono gia’ ortogonali. Pertanto, basta considerare    √  0 1/ 2     f 1 =  0  , f 2 =  1 . √ 0 1/ 2

Il terzo versore della base ortonormale positivamente orientata sara’ dato da  √ −1/ 2   f3 = f1 ∧ f2 =  0  . √ 1/ 2

(ii) Il piano richiesto deve contenere nella sua giacitura un vettore direttore di r ed un vettore normale al piano α. Pertanto, detto v un vettore direttore di r e n un vettore normale a α, un vettore normale a π e’ il vettore   1   n′ = v ∧ n = 10  . 7

6

Pertanto, l’equazione cartesiana di π e’ della forma X1 + 10X2 + 7X3 + k = 0. Il passaggio per P fornisce l’equazione X1 + 10X2 + 7X3 − 13 = 0. Per determinare una qualsiasi retta sghemba a s, prendiamo un qualsiasi piano parallelo ad esempio a X1 − X3 = 1, sia questo ad esempio X1 − X2 = 2. In seguito, consideriamo un piano non parallelo a X1 + X2 +X3 = 1 e che non contenga s, ad esempio X3 = 1. Infatti, mettendo a sistema le equazioni cartesiane di s con X3 = 1 troviamo un unico punto di intersezione, pertanto X3 = 1 non contiene s. In definitiva, la retta data da ( X1 − X3 = 2 , X3 = 1 e’ sicuramente sghemba a s, dato che essa non e’ parallela a s ed e’ contenuta in un piano parallelo ad uno dei due che determinano s.

Universita’ degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Scienza e Tecnologia dei Media Esercizi GEOMETRIA (I modulo) Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, Complementi ortogonali. Proiezioni su sottospazi. Operatori ortogonali e triangolarizzazione di operatori. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Svolti Esercizio 1. Nello spazio vettoriale euclideo (R4 , h, i), dotato della base canonica e e del prodotto scalare standard h, i, siano assegnati i vettori       0 0 1  2   1   1        f1 =   , f2 =  , f =  .  1  3  3   0  4

0

0

(i) Determinare dimensione ed equazioni cartesiane di W = Span{f 1 , f 2 , f 3 }. (ii) Costruire a partire dal sistema di vettori f := {f 1 , f 2 , f 3 } una base ortonormale per W. Svolgimento: (i) Sia A la matrice che ha come colonne ordinatamente i tre vettori dati. Notiamo che det(A(1, 2, 3; 1, 2, 3)) = 1 6= 0, pertanto i 3 vettori sono linearmente indipendenti, quindi dim(W ) = 3 ed f e’ una sua base. Essendo W un iperpiano in R4 , esso e’ definito da un’unica equazione cartesiana che si ottiene semplicemente sviluppando   X1 1 0 0  X 1 1 2   = 0,  2 det    X3 0 1 3  X4 0 0 3

i.e.

3X1 − 3X2 + 3X3 − X4 = 0. (ii) Notiamo ad esempio che hf 1 , f 2 i = 1 6= 0, pertanto la base f non e’ ortogonale. Mediante il procedimento di Gram-Schmidt possiamo determinare da f una base ortogonale. Poniamo g 1 = f 1. Pertanto

g 2 := f 2 −



 hf 2 , g 1 i  g1 =  hg 1 , g 1 i 

0 1 1 0





 1   −   2

1

1 1 0 0





     =  

−1/2 1/2 1 0



  . 

2

Aanalogamente

g 3 := f 3 −



 hf 3 , g 1 i hf , g i  g 1− 3 2 g 2 =  hg 1 , g 1 i hg 2 , g 2 i 

0 2 3 4

      −  

1 1 0 0





 8   −   3

−1/2 1/2 1 0



  = 



   

1/3 −1/3 1/3 4



 .  

Il sistema di vettori g := {g1 , g 2 , g3 } costituisce una base ortogonale per W ma non √ ortonormale, dato che ad esempio ||g 1 || = 2. Per determinare una base ortonormale per W basta quindi ortonormalizzare i vettori della base g. Notiamo che r √ 7√ 3 3. , ||g 3 || = ||g 1 || = 2, ||g 2 || = 2 3 Pertanto la base ortonormale cercata e’ determinata dai vettori  √  √  √   2/2 3/21 − 6/6 √ √ √      g g2 g3 2/2  6/6  − 3/21 h1 = 1 =  = =  , h2 =   , h3 =  √  √ ||g 1 ||  0  ||g 2 ||  ||g 3 ||  6/3  3/21 √ 0 0 4 3/7 Esercizio 2. Nello spazio vettoriale euclideo (R5 , h, i), dotato della base canonica e e del prodotto scalare standard h, i, sia U il sottospazio di equazioni cartesiane (

X2 − X3 = 0 X2 + X4 − X5 = 0

Sia P l’ operatore lineare su R5 dato dalla proiezione ortogonale sul sottospazio U . Determinare la matrice Me (P ) cioe’ la matrice rappresentativa dell’operatore P in base canonica e. Svolgimento: (i) Notiamo che U e’ U = Span{u1 := e1 , u2 := e2 + e3 − e4 , u3 := e4 + e5 }. Pertanto U ⊥ e’ definito da equazioni cartesiane   X1 = 0  X2 + X3 − X4 = 0   X4 + X5 = 0

Pertanto, si ha ad esempio che U ⊥ = Span{w1 := −e2 + e3 , w2 := e2 + e4 − e5 }. Consideriamo allora R5 = U ⊕ U ⊥ con base v data da v := u1 , u2 , u3 , w1 , w2 .



 .  

3

Pertanto la matrice cambiamento di base e’  1 0   0 1  Me,v =  1  0  0 −1  0 0

0 0 0 0 −1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 −1

Per definizione di P , si ha:



Pertanto

   Mv (P ) =    

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0



Me (P ) = Me,v Mv (P )Mv,e

   −1 = Me,v Mv (P )Me,v =    

0 0 0 0 0



   .   



   .   

1 0 0 0 0 0 2/5 2/5 −1/5 1/5 0 2/5 2/5 −1/5 1/5 0 −1/5 −1/5 3/5 2/5 0 1/5 1/5 2/5 3/5

Esercizio 3. Nello spazio vettoriale euclideo (R3 , h, i), dotato della base del prodotto scalare standard h, i, siano dati i 5 vettori          2 3 2 1          v1 =  2  , v2 =  1  , v3 =  3  , v4 =  4  , v5 =  2 4 3 1

canonica e e  1 −1  . 2

(i) Denotato con U = Span{v 1 , v2 , v 3 , v4 , v 5 } il sottospazio vettoriale generato dai 5 vettori, determinare una base, equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di U . (ii) Ortogonalizzare la base di U determinata al punto (i). (iii) Estendere la base ortogonale di U determinata al punto (ii) ad una base ortogonale di R3 . (iv) Determinare equazioni parametriche e cartesiane di U ⊥ , il complemento ortogonale di U in R3 . Svolgimento: (i) Notiamo che v 3 = v 1 + v 2 , v 4 = 2v 1 , v 5 = v 2 − v 1 mentre v 1 e v 2 non sono proporzionali. Pertanto dim(U ) = 2 ed una base di U e’ proprio u := v 1 , v 2 . Pertanto, equazioni parametriche per U sono X1 = t + 2s, X2 = 2t + s, X3 = t + 3s, t, s ∈ R.



   .   

4

Un’equazione cartesiana per U si puo’ determinare eliminando i parametri t ed s dalle precedenti equazioni parametriche scalari, oppure considerando direttamente   X1 X2 X3   det  1 2 1 =0 2 1 3 che fornisce 5X1 − X2 − 3X3 = 0. (ii) Il primo vettore della base ortogonale di U e’ v 1 . Utilizzando il Gram-Schmidt abbiamo inoltre      5/6 1 2 hv 1 , v 2 i   7    w2 = v 2 − =  1  −  2  =  −8/6 6 ||v 1 ||2 11/6 1 3

procedimento di 

. 

La base ortogonale per U e’ quindi v 1 , w2 . (iii) Per estendere la base ortogonale di U ad una base ortogonale di R3 si puo’ semplicemente considerare che l’equazione cartesiana di U e’ 5X1 − X2 − 3X3 = 0. Poiche’ tale equazione stabilisce che tutti i vettori (a, b, c) ∈ U sono tali da soddisfare 5a − b − 3c = 0, ∀ (a, b, c) ∈ U questo significa in particolare che un vettore perpendicolare ad U e’ :   5   w3 =  −1  . −3

(iv) Si ha che U ⊥ = Span{w3 } pertanto equazioni parametriche sono X1 = 5t, X2 = −t, X3 = −3t, t ∈ R ed equazioni cartesiane sono 3X2 − X3 = 0 = X1 + 5X2 .

Esercizio 4. Sia R4 lo spazio vettoriale euclideo, munito del prodotto scalare standard h , i. Sia U ⊂ R4 il sottospazio definito dalle equazioni cartesiane    X1 + X2 − X3 + X4 = 0 2X2 − X4 = 0 U:   X4 = 0

(i) Determinare una base ortonormale di U . (ii) Determinare l’equazione cartesiana del complemento ortogonale U ⊥ del sottospazio U. (iii) Determinare una base ortonormale di U ⊥ .

5

Svolgimento: (i) Una base di U si determina trovando una soluzione non nulla del sistema lineare omogeneo che definisce U . Pertanto una base di U e’ data da u = √ √ (1, 0, 1, 0). Quindi una base ortonormale di U e’ data da f 1 = (1/ 2, 0, 1/ 2, 0). (ii) U ⊥ e’ costituito da tutti i vettori t = (x1 , . . . , x4 ) tali che ht, ui = 0, ∀ u ∈ U , cioe’ tali che risulti: X1 + X3 = 0. Questa e’ un’equazione cartesiana per il complemento ortogonale di U . (iii) Tre autosoluzioni linearmente indipendenti della precedente equazione sono date per esempio da u2 = (1, 0, −1, 0), u3 = (0, 1, 0, 0), u4 = (0, 0, 0, 1). Pertanto U ⊥ = Span(u2 , u3 , u4 ) ritrovando che ha dimensione 3, cioe’ che e’ un iperpiano in R4 . La base ortonormale si puo’ estrarre direttamente dalla precedente. Infatti basta prendere f 2 = u2 /||u2 ||, f 3 = u3 , f 4 = u4 Esercizio 5. Nello spazio vettoriale euclideo (R4 , h, i), dotato della base canonica e e del prodotto scalare standard h, i, sia U il sottospazio di equazioni cartesiane ( X2 − X3 = 0 X2 + X4 = 0 Sia P l’operatore lineare su R4 dato dalla proiezione ortogonale sul sottospazio U . (i) Stabilire il rango di P . (ii) Stabilire se P e’ un operatore diagonalizzabile ed, in caso affermativo, trovare la sua forma diagonale in un opportuna base. (ii) Determinare la matrice Me (P ), cioe’ la matrice rappresentativa dell’operatore P in base canonica e. Svolgimento. (i) La codimensione di U in R4 e’ 2, i.e. U e’ un piano vettoriale. Pertanto P , essendo l’operatore di proiezione ortogonale su U ha necessariamente come immagine U , quindi P ha rango 2. (ii) Dalle equazioni cartesiane di U si trova facilmente U = Span{u1 := e1 , u2 := e2 + e3 − e4 }. Di conseguenza Ker(P ) = U ⊥ che e’ definito da equazioni cartesiane ( X1 = 0 X2 + X3 − X4 = 0 Pertanto, si ha ad esempio che U ⊥ = Span{u3 := −e2 + e3 , u4 := e2 + e4 }. Consideriamo allora R5 = U ⊕ U ⊥ con base u data da u := u1 , u2 , u3 , u4 .

6

Per definizione di P , in base u si ha:



  Mu (P ) =  

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

    

quindi P e’ diagonalizzabile, Mu (P ) e’ la sua forma diagonale (in altri termini la base u e’ una base diagonalizzante). Esercizio 6. Sia R4 lo spazio vettoriale euclideo, munito del prodotto scalare standard h , i e di base canonica e. Sia U ⊂ R4 il sottospazio definito dalle equazioni cartesiane

U:

(

X1 − X2 = 0 X1 − X4 = 0

(i) Determinare la dimensione di U ⊥ , complemento ortogonale di U in R4 , ed una base di U ⊥ .   2  0    (ii) Sia dato il vettore v =   di R4 , espresso in componenti rispetto alla base  1  0 canonica e. Determinare il vettore πU (v) ottenuto per proiezione ortogonale di v sul sottospazio U (che per definizione e’ il vettore ottenuto come somma di tutte le proiezioni ortogonali πf (v), dove f 1 , . . . , f k , k = dim(U ), e’ una base ortonormale di U ). i (iii) Determinare ||v − πU (v)|| e cos(θ), dove θ denota l’angolo convesso tra i vettori v e πU (v). Svolgimento: (i) Poiche’ dim(U ) = 2, necessariamente dim(U ⊥ ) = 4 − 2 = 2. In effetti U ⊥ e’ generato dai vettori normali iperpiani che costituiscono le equazioni ai due   1 1        −1   0      ⊥ cartesiane di U . Quindi U := Span   . ,    0   0      −1 0     1 1  1   0      (ii) Una base per U e’ data dai vettori   ,  . Applicando il procedimento di  0   0  1 0 ortonormalizzazione di Gram-Schmidt, una base ortonormale di U e’ quindi f := f 1 =

7



√ 2 √2 2 2

    0 0





     , f2 =    

√ 6 6√ − 66

0

√ 6 3



   . Pertanto   

4 3 2 3

  πU (v) = hf 1 , vif 1 + hf 2 , vif 2 =   0 2 3

(iii) ||v − πU (v)|| =

√ 21 3

m...