Esercizi Svolti MF (Piano Francese) PDF

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Esercizi sul piano di ammortamento francese...

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PIANO DI AMMORTAMENTO A RATE COSTANTI (FRANCESE) Testo Esercizio Guida

Un …nanziamento di 50.000e viene rimborsato in 5 anni tramite rate mensili costanti posticipate (in regime composto) al tasso mensile 12 = 0 0042. 1) Si determini la rata costante dell’ammortamento. 2) Si determinino il debito residuo 5 e la quota interessi 5 . 3) Si supponga che subito dopo aver pagato la rata numero 5, in seguito ad una diminuzione dei tassi di interesse, la banca acconsente alla seguente rinegoziazione del …nanziamento: estinzione del vecchio debito e contemporanea accensione di un nuovo …nanziamento, emesso al tasso del 4% annuo nominale convertibile mensilmente, per un importo pari al debito residuo aumentato di 500e per spese amministrative, da rimborsarsi nei 55 mesi rimanenti mediante rate mensili costanti posticipate (capitalizzazione composta). Si determini l’importo delle rate del nuovo mutuo i

D

:

I

Soluzione

1) Siamo di fronte al tipico piano di ammortamnto di tipo francese, in cui cioè l’importo della rate attraverso cui avviene il rimborso è costante ( = , 8 ). In questi casi, se si conosce l’importo del prestito concesso ( ), il numero e la periodictà dei pagamenti, e il tasso d’interesse applicato, è possibile utilizzare la condizione di chiusura …nanziaria (Cap. 3.4 del libro di testo) per individuare l’importo della rata (eq. 3.24): Rk

k

R

S

= S   nji =

R

S a nji

dove corrisponde al numero delle rate (nel nostro caso 60, perchè in 5 anni ci sono 60 mesi) e è il tasso relativo ala periodicità della rendita (nel nostro caso serve il tasso mensile 12). Quindi: n

i

i

R

=

50:000 a

60ji12

= 943; 56e

.

2) In un piano francese, è possibile dimostrare che il generico debito residuo si può calcolare a partire dal valore della rata costante, del tasso d’interesse applicato e del numero complessivo di pagamenti attraverso la formula (Cap. 3.2.1 del testo): Dk

Dk

= Ra nkji

che si può interpretare come la condizioni di chiusura …nanziaria applicata al generico periodo . Nel nostro caso, in cui  = 60  5 = 55 abbiamo: 5 = 55j 12 = 46 293 1e. Per il calcolo di una generica quota interessi ( ) occorre conoscere il debito residuo del periodo precedente ( 1 ) e il tasso di interesse applicato. Nel k

n

D

Ra

k

:

i

;

Ik

Dk 

1

nostro caso, poichè dobbiamo calcolare residuo

D4 ,

I5 , occorre prima calcolare il debito in modo analogo a quanto abbiamo già fatto in precedenza:

=

D4

e quindi: I5

=

iD4

Ra

= 47 040 65e, :

56ji12

;

= 0 0042 47040 65 = 196e. :



;

Si noti che nella formula precedente abbiamo usato il tasso mensile perchè questo è il lasso di tempo che intercorre tra la quarta e la quinta rata. 3) Il vecchio debito dopo il pagamento della rata numero 5 (cioè D5 ) è già stato calcolato nel punto precedente. L’importo del nuovo …nanziamento è: S

0

=

=

0

D5

D5

+ 500 = 46 793 1e :

;

Per calcolare l’importo della nuova rata (R0 ) si procede con la consueta modalità con cui si calcola la rata di un piano francese: R

dove nel nostro caso

n

0

=

S

0

  nji

=

S

0

a nji

= 55, mentre il tasso mensile è da calolare, a partire dal

tasso annuo nominale convertibile mensilmente (j12 ), sapendo che (Cap. 1.9.4 del testo): j12

e quindi: i12

= 12

 i12

= 1212 = 01204 = 0 0033 ;

j

;

Adesso possiamo calcolare la nuova rata: R

0

= 46 793 1 = 932 57e. :

a

;

;

55ji12

2

FORMULE INVERSE Testo Esercizio 1

Siano 7 = 295,3e e 9 = 344,43e le quote capitale di un ammortamento francese a rata annua, di durata 13 anni e di debito iniziale pari a e4000. A quale tasso di interesse annuo è stato redatto il piano di ammortamento? Soluzione Al …ne di rispondere a questa domanda occorre richiamare come sono legate tra loro due quote capitale consecutive in un piano francese (Cap. 3.5.1 del testo): C

C

i

che nel nostro caso diventa:

Ck



= (1 + i)Ck 1

C9

= (1 + i)C8

C8

= (1 + i)C7

e sapendo che: abbiamo:

r

da cui: i

=

= (1 + i)

C9

C9 C7

1=

r

2

C7

344; 43 295; 3

Quindi il tasso annuo è l’8%.

 1 = 0 08 :

Testo Esercizio 2

Un debito di e 37.000 è ammortizzato in 13 anni con ammortamento francese al tasso annuo del 3.5%. Calcolare la quota capitale del 11o anno. Soluzione Anche in questo caso occorre utilizzare la regola che mette in relazioni le quote capitali di un piano francese (Cap. 3.5.1 del testo): Ck



= (1 + i)Ck 1

che nel nostro caso permette di dire che C11

e ricavando

C10

= (1 + i)C10

in funzione di 9 , e così via, si ottiene: C

C11

= (1 + i)

10

C1

Poichè noi conosciamo il tasso di interesse applicato (che è già annuo, come la cadenza delle rate, e quindi va bene), ci serve solo calcolare la prima quota capitale. 3

Calcoliamo innanzitutto la rata: R

S

=

a nji

37:000

=

a

13j0;035

= 3:591; 28

e

e quindi la prima quota interessi: =

I1

i  D0

=

= 0; 035  37:000 = 1:295

i S

Ora è immediato calcolare la prima quota capitale: =

C1

R  I1

e in…ne:

= 3:591; 28  1295 = 2:296; 28

= (1; 035)

C11

e

10

2:296; 28 = 3:239; 13



Testo Esercizio 3

e

e

Una persona deve saldare un debito pagando per 15 anni rate annue posticipate costanti al tasso del 14% composto annuo. Sapendo che il debito residuo dopo 4 anni è pari a 6000 euro, determinare l’importo . Soluzione Al …ne di calcolare l’ammontare del debito iniziale occorre conoscere la rata del piano francese. Questa può essere ricavata a partire dall’informazione sul debito residuo dopo 4 anni, infatti sappiamo che un relazione notevole di un piano francese è (Cap. 3.5.1 del testo): S

S

S

=

Dk

che nel nostro caso, con

n

= 15

,

k

=4

D4

da cui: R

=

D4 a

11j0;14

Ra

=

=

e

Ra

i

nk ji

= 0:14

11j0;14

6:000 a

, diventa:

11j0;14

= 1:100; 37

e

Ora, in base al principio di equivalenza …nanziaria: S

=

Ra nji

= 1:100; 37  a 15 0:14 = 6:758; 6 j

e

Testo Esercizio 4

Un prestito di e viene ammortizzato con ammortamento a rata costante (francese) in n = 10 anni al tasso annuo e¤ettivo di interesse = 0,06. Sapendo che il debito estinto 6 = 132 300,79. Si calcoli l’importo del prestito . S

i

E

S

4

Soluzione In un piano francese, l’importo del debito estinto in un generico periodo (Ek ) è legato all’importo del debito inziale (S ) dalla seguente relazione notevole: Ek

=

S  nji  s

k ji

Ricordando che:  nji

=

ne nostro caso, con E6

n

=

1 s nji

= 10,

S

10ji

da cui: S

i

=

=

(1 + i)n

k

=6 e

s

6ji

=

i



1

e

s

k ji

=

(1 + i)k



i

= 0:06, abbiamo:

S

(1 + i)6

i

(1 + i)10



1

(1 + i)10  1 E6 = 250:000 (1 + i)6  1

5

i

e



1

1

PIANO FRANCESE CON CAMBIO PERIODICITA’ Testo Esercizio 5

Un prestito di 50.000e viene rimborsato tramite il pagamento di rate di importo costante per 9 anni. Le rate sono annue per i primi tre anni, semestrali per altri tre anni e in…ne di nuove annue per gli ultimi tre anni. a) Si calcoli l’importo della rata se il tasso applicato è il 5% annuo per tutta la durata dell’operazione. b) Si calcoli l’importo della rata se il tasso applicato è il 5% annuo per i primi 4 anni e il 6% annuo per i successivi anni. Soluzione a) La di¢coltà di questo esercizio è dovuta al cambiamento di periodicità dei pagamenti. Il calcolo della rata avviene sempre applicando la proprietà di chiusura …nanziaria, ma ora occorre attualizzare le rate suddividendole in tre gruppi a seconda della periodicità. Avremo le prime 3 rate annue, poi 6 rate semestrali, ed in…ne altre 3 rate annue. Il valore attuale ( ), da rendere equivalente all’importo del prestito, si otterrà dall’attualizzazione delle prime tre rate: VA

V A1

=

Ra

3j0;05 = 2; 723248029R

a cui va aggiunto, dopo aver ricavato il tasso semestrale ( 2 = 1 + 1 = 0 024695076), il valore attuale del secondo gruppo formato da 6 rate semestrali, che vanno prima portate all’anno 3, e poi attualizzate …no a 0: p

i

i 

:

V A2

=

Ra

6ji2 (1 + i)

3 = 5; 513746888R

ed in…ne, l’ultimo gruppo di 3 rate annue, da portare al periodo 6, e poi attualizzare …no a 0: =

V A3

Ra

3j0;05 (1 + i)

6 = 2; 032129608R

Ora, applicando le proprietà di chiusura …nanziaria, abbiamo: VA

=

V A1

+ V A2 + V A3 = 9; 518359508R = 50:000

da cui: R

=

50:000 9; 518359508

= 5:253

e

e.

b) In questo caso si aggiunge l’ulteriore di¢coltà del cambio di tasso in un periodo intermedio, che necessita di suddividere il secondo gruppo i rate (quelle pagate semestralmente) in quelle versate prima del cambio di tasso (le prime 2) e quelle dopo il cambio di tasso (le altre 4). Occorre inoltre fare attenzione, nell’attualizzazione, del doppio tasso quando necessario. Per il primo gruppo di rate non ci sono cambiamenti rispetto al punto precedente: V A1

e e = Ra 3j0;05 = 2; 723248029 R

6

Per il secondo gruppo, come anticipato, calcoliamo separatamente il valore attuale delle prime due rate: V A2

3 = 1; 665721651Re e _ 1 = Ra 2ji2 (1 + i)

e poi pquelle delle altre 4, portate …no all’anno 4 col nuovo tasso semestrale (e2 = 1 + e 1 = 0 029563014) e poi …no a 0 col tasso del 5%: i

i 

;

V A2

e e (1 + i)4 = 3; 061264356Re _ 2 = Ra 4j i2

Poi, per il terzo gruppo di rate, va ricalcolato col nuovo tasso il valore all’anno 6 e poi attualizzare …no all’anno 4 con nuovo tasso e dall’anno 4 all’anno 0 con il vecchio tasso del 5%: V A3

=

e

Ra

e 2 (1 + i)4 = 1; 957185427Re

3j0;06 (1 + i)

Siamo ora in gradi di impostare il calcolo della nuova rata: VA

da cui:

=

V A1

e = 50:000 + V A2_ 1 + V A2_ 2 + V A3 = 9; 407419463R e=

R

50:000 9; 407419463

7

= 5:314; 95

e.

e...