Examen 21 Diciembre 2017, preguntas y respuestas PDF

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Pauta Tercera Prueba de Cátedra Cálculo 3 DAMA389-DAMA410 21 de diciembre de 2017 1. Sea R = (x; y) =x2 + y 2 1 y f (x; y) = x2 x + y2 y: i) [6 puntos] Determine los puntos críticos de f en el interior de la región R y analice su naturaleza. Solución. Puntos críticos de f fx (x; y) = 2x fy (x; y) = ...

Description

Pauta Tercera Prueba de Cátedra Cálculo 3 DAMA389-DAMA410 21 de diciembre de 2017   1. Sea R

=



(x; y ) =x2 + y 2

i) [6 puntos] Determine

1

y f (x; y )

=

x

2



x

+ y2



y:

los puntos críticos de f en el interior de la región

R y analice su naturaleza.

Solución.

Puntos críticos de f fx

(x; y )

=

2x

fy

(x; y )

=

2y



entonces

1 1

 

1=0 1=0



;

2 2 = 2; fxy =

es el único punto crítico. Ya que fxx entonces el discriminante es

=

D



fxx fyy

fxy fyx

1 1 ;

=4

>

fyx

= 0

y fyy

0

y como fxx > 0 tenemos que 2 2 es un minimo. ii) [7 puntos] Usando multiplicadores de Lagrange, determine extremos de f sobre el borde de R:

Solución. 2 x



x

 



Considere la restricción x

+ y2

y

 2 2  x +y

1

sistema @L

=

2y

=



2

 

2 ( x



@y @L @y

@L @x

 @L@y

= 2 (x

   

2x

@L

x

y)

2 + y2

p



1

2x = 0

1

2y = 0

+y

y)



2



p12 ; p12



=1

= 0

y 

minimo y f

6

= 1;entonces 2x 2 = 1

)

p  p 1 ; 2

x

1 2

maximo. Otra manera es despejar x e y en términos de ; esto es x

6

1 y = 2 2 ;  = 1; entonces iii) [2 puntos] Determine los



Solución.

 f



y f

x

=

1 1

=

 p p 2

=

y;

pp

1: 2

= 1+

1 = 2 2



y:::::



2 2

;

x

=

valores extremos de f sobre la región R:

;

1

=





2

Sea L (x; y; )

1 = 0:

reemplazando en la restricción otenemos que Evaluando f

1 = 0:

los valores

; entonces tenemos que resolver el

=

@x

Como



= 2;



1 2

valor mínimo



1 2

sobre R:

1

= 1+

p

2

valor máximo

2 e

2. Sea Q la región que esta al interior de la esfera x interior del cono

i) [9 puntos]

2 2 x +y =

2 z :

2 +

y

2 +

z

2 = 2

y al

Usando integración doble en coordenadas cartesianas, exp-

rese el volumen V de la región Q: No calcule las integrales.

Solución.

Las curvas de intersección de las super…cies proyectadas

en el plano es la circunferencía x plazando x Q

=

Q1

Q1

=

2 + y2 =

[ Q2 ; donde

z

2

2 +

y

2 = 1;

esta se obtiene reem-

en la ecuación de la esfera.

f(x; y; z ) 2 R3 =x2 +y 2  1; y 

p

2

Luego la región

 x2  y 2  z  

p

x2

+ y2

g

y

Q2

=

f(x; y; z ) 2 R3 =x2 + y 2  1; y

p

x2

+ y2

z

p

2

 x2  y 2 g

Entonces el volumen es

Z V

=2

1

Z p1x2 p

1 p1x2

p

 x2  y 2 

2

x2

+ y2

 dydx

La multiplicación por dos se produce por que el volumen de Q1 es igual al volumen de Q2 :

ii) [6 puntos]

Usando un cambio de coordenadas adecuado, calcule ex-

actamente el valor de V :

Solución.

Usando coordenadas polares la integral de arriba se re-

Z 1Z

duce a V

=2

0

Z V

= 4

0

0 1

 V

= 4

V

2  p

p r

1

3 =

2

2



2

2



 r2  r r 2 dr

r

8  p 3



 2 3=2

2

1



Z

rddr

1 0

j10 



2 r dr 1 3





3.

[15 puntos]

Evalue la integral triple

Z Z Z I

donde S x

=

p

S

dV x

2 + y2 + z2

es el sólido acotado por las super…cies x

2 + y 2 + z 2 = b2 ; =



cos ;

2 +

=



S

0

:

b

  

a; 0

 2 

Z Z Z

luego I

=



  

2

3

S0

; 0

sin ddd

Usando integrales iteradas obtenemos

I

I

=

=

I

Z  Z 2 Z a sin  b

0

0

Z  Z 2 0

0

= 2 ln I

2 +

sin  cos ; y =

la región S es equivalente en coordendas

sólida

y

z

2 =

2

a

y

0:

donde a > b >

Solución. Usando coordenadas esféricas x y z

3

ln

a b

a b

d

sin dd

Z 0

= 4 ln

3



sin d a b





sin  sin 

(; ; )

a la caja

4. Considere la integral de línea J

Z

=

2

+ 2xydy

y dx



i) [8 puntos] Evaluar directamente para  (t) = (t; t2 ); t 2 [0; 1] : Solución. Suponiendo que  (t) = (x (t) ; y (t)) y por de…nición de

integral de linea

Z 1 =

J

J

y

0

=

(t)

2

dx dt

+ 2x (t) y (t)

dy dt

 dt

Z 1 Z 1  4 4 4 dt = t + 4t 5t dt = 1 0

0

si  es una curva cualesquiera C 1 que une (0; 0) con (1; 1)? Justi…que. Solución. Note que el campo de vectores F (x; y ) = y 2 i+2xy j es conservativo con potencial evidente f (Rx; y) = xy 2 : También lo podemos Ry x calcular por la formula f (x; y ) = 0 P (t; y ) dt + 0 Q (0; t) dt; para un campo de vectores conservativo F (x; y) = P (x; y ) i + Q (x; y ) j: Luego en nuestro caso particular tenemos

ii) [7 puntos] ¿Cuál es el valor de

Z x f

(x; y ) =

Entonces

Z

0 2



y dx

2

y dt

J;

Z y +

0

2

+ 2xydy =

 0  tdt = xy 2 + 0 = xy 2 f

(1; 1)

 f (0; 0) = 1

**************************************************************************************** Cálculo de la Nota: Si P es el puntaje obtenido, entonces la nota N se obtiene de la siguiente manera: N

=

 1

si 0  P  36 si 36  P  60

12 P + 1; 1P 1; 2 8



4...