Exemples - Séance 1 à 6 PDF

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Exemples pratique en classe...

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Exemples – Placements Cours 1 – Introduction aux marchés financiers Exemple formule 1 :

Exemple formule 2 : Considérons un BdT avec une maturité de 6 mois (182 jours) et un BEY de 2.20%. Si la valeur nominale de ce BdT est de 1000$, le prix serait de :

Exemple :

Quel est le rendement sur l’indice pondéré par les prix en utilisant un diviseur de 3? **Indice avec même constituants vont pas nécessairement nous indiquer la même chose à cause de l’impact de la pondération. Quel est le rendement sur l’indice pondéré par la valeur marchande en utilisant un diviseur de 100?

SUITE

Quel est le rendement sur un indice pondéré par les prix si les titres A et B split 2 pour 1 et 4 pour 1, respectivement, après la période 0? Quel est le rendement sur un indice pondéré par la valeur marchande si les titres A et B split 2 pour 1 et 4 pour 1, respectivement, après la période 0?

Cours 2 – Les obligations : Introduction EXEMPLE – Obligation TIPS 

Les « Treasury Inflation Protected Securities » Placements protégés contre l’inflation  Exemple: Maturité de 3 ans, VN 1 000$, Taux coupon 4%

EXEMPLE – Évaluation des obligations Union Chemical Inc. émet une obligation à échéance 10 ans avec:   

Taux de coupon de 14% payés semestriellement Taux de rendement à échéance (TRE) de 14% Valeur nominale: $1000

Calculs initiaux   

Nombre de périodes: T = 10 ans*2 = 20 Coupon: C = 14%*$1000/2 = $70 Taux d’actualisation: r = 14%/2 = 7%

EXEMPLE – Évaluation des obligations : un an plus tard Supposons qu’une année vienne de passer et qu’on vous demande de calculer le nouveau prix de l’obligation: Situation 1:  

Le taux de rendement à échéance reste à 14%. La valeur est alors de

Situation 2:  

Qu’arrive-t-il si le TRE augmente à 20%? La valeur est alors de

Situation 3:  

Qu’arrive-t-il si le TRE chute à 8%? La valeur est alors de

EXEMPLE – Cotes provenant de journaux / web   

Vous voulez acheter une obligation dont le taux de coupon est 8%, versé semestriellement. Votre courtier vous donne une cote de 99. L’obligation a versé son dernier coupon il y a 48 jours. La période de coupon actuelle est de 182 jours.

Quel est le prix de cette obligation? Prix payé = 990$ + 40$ * (48/182) = 1000,55$

EXEMPLE – Le rendement de l’obligation : Taux de rendement à l’échéance (TRE) Calculer le TRE de l’obligation avec les informations suivantes :   

Le taux de coupon La maturité Valeur nominale

=7% = 6 ans = 1000 $

 

Prix Fréquence

= 1042,65 $ = Semestrielle

Note: si la fréquence n’est pas spécifiée, vous devez supposer que le coupon est semestriel, ce qui est le cas pour la majorité des obligations canadiennes et américaines.

Qu’arrive-t-il si l’obligation n’est pas détenue jusqu’à échéance?  

Alors, le TRE peut ne pas être réalisé. Cela dépend du prix auquel l’obligation sera vendue. Le prix va dépendre du niveau des taux d’intérêt.

Qu’arrive-t-il si l’obligation est détenue jusqu’à échéance mais que le taux de réinvestissement des coupons < TRE? 

La valeur future des coupons sera plus faible que prévue.

Implications:  

Réaction opposée face à un changement de taux d’intérêt. Une décision d’investissement ne devrait pas être faite uniquement sur la base du TRE.

EXEMPLE – Le rendement de l’obligation : Rendement total    

Supposons qu’un investisseur achète une obligation dont l’échéance est de 20 ans. L’obligation a un TRE de 10% et un taux de coupon de 10% (versé semestriellement). L’investisseur pense que le taux de réinvestissement sur le marché sera de 6%. La revente est prévue dans 3 ans et l’investisseur anticipe que le TRE au moment de la revente sera de 8%.

Quel est le rendement total (espéré)?

EXEMPLE – Obligations Zéro-coupons Maturité : Valeur à maturité : Rendement à l’échéance: Prix de vente?

5 ans 1000 $ 6%

Cours 3 et 4 – Durée et Convexité EXEMPLE – Numérique

Pour chaque obligation (taux de coupon fixe): On peut comparer l’impact de l’échéance (règle #3). Pour chaque colonne (échéance fixe): On peut comparer l’impact du taux de coupon (règle #4).

EXEMPLE – Durée Obligation d’échéance 2.5 ans versant un coupon de 8% et se transigeant au pair.

 

D = 462.99/100.00 = 4.63 semestres. Alternativement: calcul en terme d’années (à éviter?)

EXEMPLE – Calcul de la durée Une perpétuité qui paie 100$ par année - Durée si TRE =10% ? - Durée si TRE = 8% ?

EXEMPLE – Calcul de la durée Obligation 1: Quelle est la durée de l’obligation ayant les caractéristiques suivantes:  

Maturité: 2 ans Coupon annuel: 8%; TRE= 10%

Attention: lorsqu’on calcule la durée d’une obligation à coupons semestriels, il faut travailler en semestres. Obligation 2: Quelle est la durée de l’obligation ayant les caractéristiques suivantes:  

Maturité: 2 ans Coupon semestriel: 0%; TRE= 10%

EXEMPLE – Durée modifiée Pour une obligation ayant une durée modifiée de 3.99 et P = $100, une hausse de un point de base dans le taux conduit à une baisse de prix de P = (-3.99) x $100x (+0.0001) P = $-0.0399 ou 3.99 cents

EXEMPLE – Immunisation du bilan



Si les paiements effectués sont semi-annuels:  Durée (modifiée) des actifs = 3.68 ans  Durée (modifiée) des passifs = 1.86 ans



Qu’arrive-t-il au capital si les taux d’intérêt augmentent de 100 points de base?  Puisque capital (ou FP)= Pactifs – Ppassifs

 En utilisant la durée modifiée, on obtient:

EXEMPLE – Immunisation de portefeuille Considérons un investisseur avec un horizon de 5 ans: 



Celui-ci veut s’immuniser contre le risque de taux d’intérêt. Il doit choisir entre 2 obligations de coupons annuels de 8%, avec une VN de 10,000$: 1. Échéance de 5 ans 2. Échéance de 6 ans Les deux ont un TRE de 8% et se transigent au pair.

Dans les deux cas, quel est sont rendement total si…   

… les taux ne varient pas? … les taux augmentent de 1%? … les taux diminuent de 1%?

La raison pour cette différence provient de la durée:  

Pour l’obligation 5 ans: D = 4.31 Pour l’obligation 6 ans: D = 4.99

Lorsque Durée=Échéance, le rendement total est immunisé face aux petites variations dans les taux d’intérêt.

EXEMPLE – Utilisation de la durée dans le cadre d’un portefeuille obligataire Un gestionnaire a un horizon de placement de 2 ans: il a pour objectif de disposer de 1 000 000$ dans 2 ans et a accès à deux titres (dont les coupons sont annuels):  

Obligation A : n= 3 ans, TC=8%, TRE = 10% Obligation B : n= 1 an, TC=7%, TRE = 10%

Comment peut-il s’assurer d’avoir 1 000 000$ dans deux ans?

EXEMPLE – Calcul de la convexité Obligation d’échéance 3 ans versant un coupon de 12% annuel, VN de 1,000$ et un TRE de 9%.

 

1/(1+0.09)2=0.84 Convexité = (11,204.50*0.84)/1,075.95 = 8.75

EXEMPLE – Durée et convexité pour l’approximation de la variation du prix Soit une obligation ayant les caractéristiques suivantes :    

Valeur nominale : 1000$ Taux de coupon, versement annuel : 8% TRE : 8% Maturité : 30 ans

Quelle est la variation de prix (en $ et en %) si les taux augmentent à 10% ?

EXAMEN A2014 Vous travaillez au service de la gestion des risques de taux d’intérêts chez Mackenzoo. Vous êtes chargé(e) de suivre l’exposition des fonds propres aux changements de taux d’intérêt. Les actifs de la compagnie ont une valeur de marché de 1089 M$ (valeur au pair) et un taux de rendement à échéance de 15%, flux monétaires annuels, maturité 4 ans. Le passif a une valeur marchande de 1010 M$ (valeur au pair) et un taux de rendement à échéance de 10 %, flux monétaires annuels, maturité de 8 ans. 1. Calculez la durée des actifs et des passifs, selon les deux définitions connues. Y-a-t-il un écart de durée entre les actifs et passifs?

2. Calculez le duration gap, expliquez si les fonds propres sont plus vulnérables à une petite hausse ou à une petite baisse des taux d’intérêt.

3. Quel sera l’effet sur les fonds propres, en $ et en pourcentage, d’une baisse des taux d’intérêt de 60 points de base?

4. Vous avez la possibilité d’investir ou d’emprunter via des obligations zéro-coupon avec valeur marchande de 990$, valeur nominale de 1000$, et maturité de 2 ans. Combien d’obligations devez-vous acheter ou vendre pour immuniser les fonds propres contre de faibles mouvements des taux d’intérêt? Pour simplifier, vous pouvez supposer que les fonds utilisés pour cette opération n’affectent ni le passif ni l’actif.

5. Les fonds propres sont maintenant un portefeuille (1) des anciens actifs, (2) du zéro coupon, et (3) du passif. Un nouveau problème survient: En incorporant la position dans le zéro coupon, vous calculez que le portefeuille a maintenant une convexité négative (!), en fait égale à -300. Quel serait en fait l’impact en pourcentage d’une baisse des taux de 60 points de base sur le rendement des fonds propres? Quel serait l’impact en pourcentage d’une diminution de 300 points de base.

Cours 5 – Les obligations : La structure par terme des taux d’intérêt EXEMPLE – Utilisation de la courbe des taux Supposons que les TRE des zéros coupons canadiens sont donnés dans le tableau suivant

Supposons une obligation 3 ans, coupons annuels de 10% qui se vend actuellement 1,080.17$ 

Que ferait un investisseur aguerri?

Un dealer peut acheter cette obligation, la « stripper » et vendre les différents coupons sous forme de zéro-coupons.  

Le prix de vente de l’obligation strippée est 1,082.17$. Donc, le dealer réalise un gain de 2$ sans prendre de risque.

L’existence de cette opportunité d’arbitrage augmentera la demande pour l’obligation sous évaluée, entraînant une hausse de prix. 

À l’équilibre, la valeur de l’obligation deviendra 1,082.17$.

EXEMPLE – La structure à terme des taux d’intérêt dans un monde sans incertitude   

Supposons que l’on connaisse les taux spot un an actuel et futurs Le prix d’un zéro-coupon d’échéance un an est de: $1000/(1+0,08)=$925,93 Le prix d’un zéro-coupon d’échéance 2 ans est de: $1000/((1+0,08)(1+0,10))=$841,75



En utilisant les prix des zéro-coupons, on peut aussi calculer les TREs. Les TREs obtenus sont égaux aux taux spot 1 an, 2 ans, ans et 4 ans.



3

Donc, en connaissant les taux spot un an actuel et futurs, on pourrait calculer le prix d’une obligation versant des coupons à partir de ces taux:

Ce qui revient au même que

en utilisant la courbe des taux spot (TRE des zéro-coupons).

EXEMPLE – Utilisation de la courbe des taux On a les taux zéro coupons annuels suivants 

Quels sont les forward rates?

EXEMPLE – Utilisation de la courbe des taux On a les informations suivantes

Quelle stratégie peut être mise en place si on anticipe que le taux spot un an, dans un an, sera 4.5%?    

Est-ce une situation d’arbitrage? Et si le taux spot un an dans un an est finalement 5%? Et s’il est finalement 6%? Et si tous les investisseurs pensent qu’il sera 4.5%?

EXEMPLE : Déterminants de la prime de risque    

TRE d’une obligation du Canada 10 ans : 3,462% TRE d’une obligation Bombardier 10 ans: 7,476% Spread de taux : 7,476% - 3,462% = 4,014% ou 401 points de base. Hypothèse : obligations avec mêmes caractéristiques.

EXEMPLE : Stratégies de placement Supposons que l’on ait les deux obligations suivantes:    

Gouv fédéral, 10 ans, TC =12%, TRE = 10% Hydro-Québec, 10 ans, TC=12%, TRE=11% Votre analyse suggère que l’écart de taux devrait être de 200 points de base. Quelle stratégie employer pour profiter de cet écart?

Cours 6 – Les obligations : La structure par terme des taux d’intérêt EXEMPLE : Obligations rachetables – Calcul du prix Prenons une obligation d’échéance 2 ans avec coupons annuels de 10% et rachetable dans un an à 1040$.



Supposons que le rendement requis par les investisseurs soit de 5% et qu’il reste constant (donc nous connaissons le taux spot 1 an pour les prochaines années). On peut affirmer avec certitude que l’obligation sera rachetée l’an prochain car:



Quelle est donc la valeur de l’obligation aujourd’hui



EXEMPLE : Un modèle d’évaluation des obligations rachetables Prenons une obligation d’échéance 2 ans avec taux de coupon de 10%, rachetable à 1040$ dans 1 période. Taux intérêt 1 an est présentement 5%. 

Probabilité 50/50 que le taux spot futur soit de 4% ou 6%.

Quelle est la valeur d’une obligation non rachetable? 

À la période 1, les deux valeurs possibles sont:



En remplaçant dans la formule générale, nous obtenons:

Quel est le prix de l’obligation rachetable?



La valeur serait donc:

Cas H: la valeur demeure la même; Cas L: profitable à l’émetteur de racheter l’obligation.



Nous pouvons ainsi calculer la valeur de l’option:

Il est aussi possible de fournir la valeur de l’option en points de base (i.e. en comparant le TRE des deux obligations).

EXEMPLE : Construction de l’arbre binomial et extension de l’arbre

Ci-haut des obligations actuellement disponibles sur le marché (se transigeant au pair). Volatilité hypothétique des taux forward 1 an: σ =10% Question: Construisez l’arbre binomial des taux pour les deux prochaines années en utilisant les obligations ci-dessus. PREMIER ESSAI :   

Étape 1: Choisissez une valeur pour r1L, le taux forward d’un an dans un an si le taux baisse (le taux d’actualisation pour la deuxième année). Pour le premier essai, on a choisi 4,5% Étape 2: Déterminez r1H, le taux forward d’un an dans un an si le taux augmente. Utilisez r1,H= r1,L(e2σ) = 4.50%(e2x0.10) Étape 3: Calculez la valeur (le prix) de l’obligation dans un an pour chaque nœud (les scenarios de haut taux et de bas taux)

 

    

 



Étape 4: Calculez la valeur espérée actuelle (le prix) en actualisant les deux valeurs calculées à l’étape 3. Étape 5: Comparez la valeur actuelle calculée à l’étape 4 à la valeur marchande actuelle.

Dans le premier essai, on a choisi 4,5% (au hasard) comme étant le taux forward bas dans un an, r1,L La valeur actuelle calculée est de $99,567 < $100, la valeur marchande. Donc, on peut dire que le taux forward bas que l’on a choisi était un peu trop élevé. Il faut répéter les 5 étapes en choisissant un taux un peu plus bas. Supposons qu’après plusieurs essais, on finisse par choisir 4.074%. On peut voir que le prix obtenu avec l’arbre est le même que celui au marché (100$). L’arbre est donc bien calibré.

Supposons que l’on veuille maintenant agrandir cet arbre binomial et ajouter une troisième année. Il faut maintenant utiliser l’obligation non rachetable d’échéance 3 ans . Après quelques essais, on trouve un taux bas de 4.53% pour la 3 ième année.

L’arbre est maintenant construit et peut être utilisé pour évaluer n’importe quelle obligation 3 ans du même émetteur.

Exemple: Quel est le prix d’une obligation non rachetable d’échéance 3 ans, taux de coupon de 5.25%?

Exemple: Quel est le prix d’une obligation d’échéance 3 ans, rachetable à une date de coupon au prix de $100 et dont le taux de coupon est de 5.25%?

 

Valeur de l’option de rachat = valeur de l’obligation non rachetable – valeur de l’obligation rachetable. Valeur de l’option de rachat:

$102.075 – $101.432 = $0.643 

Rappel: L’émetteur achète l’option et le détenteur vend l’option.

EXEMPLE : Obligations rachetables – calcul du rendement

Une obligation 30 ans avec coupons de 8% rachetable dans 10 ans au prix call de 1,100$. Quel est le yield to call?   

On ne fait que prendre la première date où l’obligation est rachetable comme date d’échéance. Cela donne un rendement de 6.64%. Dans cet exemple, on remarque que yield to call est plus petit que le rendement à échéance.

EXEMPLE : Évaluation d’une obligation encaissable utilisant l’arbre binomial Quel est le prix d’une obligation d’échéance 3 ans, encaissable après un an au prix de $100 et dont le taux de coupon est de 5.25%?

 

Valeur de l’option d’encaissement = Valeur de l’obligation encaissable – Valeur de l’obligation non encaissable. La valeur de l’option d’encaissement:

$102.523 - $102.075 = $0.448 

L’émetteur a vendu l’option et l’investisseur a acheté l’option.

EXEMPLE : Obligations convertibles L’obligation convertible XYZ a les caractéristiques suivantes:    

Échéance = 10 ans Taux de coupon = 10% Valeur au pair = 1000$ Ratio de conversion= 50

Cela implique que le détenteur peut acheter des actions de la compagnie XYZ pour: 

Prix de conversion = 1000$/50 = 20$

Si l’action XYZ se vend présentement à 17$, la valeur de conversion est de:



Valeur de conversion = 50 x 17$ = 850$

EXEMPLE : Obligations convertibles Supposons que l’obligation convertible XYZ se vende présentement à 950$ :   

Le prix de conversion du marché est de: 950$/50=19$ La prime payée est la différence entre ce prix et le prix courant au marché soit: 19$ - 17$ = 2$ En pourcentage, le détenteur paie une prime de 2$ / 17$ = 0.118 ou 11.8 %...