Fase 5 – Prueba de conocimientos de la Unidad 2 PDF

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FASE 5 – PRUEBA DE CONOCIMIENTOS DE LA UNIDAD 2ECUACIONES DIFERENCIALESUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNADFASE 5 – PRUEBA DE CONOCIMIENTOS DE LA UNIDAD 21. Resolver la ecuación diferencial:𝒚 ́ ́ − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒚 =(𝟏 + 𝒆−𝒙)−𝟏¿Cuáles son los intervalos en los que se encuentra definida la soluci...

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FASE 5 – PRUEBA DE CONOCIMIENTOS DE LA UNIDAD 2

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

FASE 5 – PRUEBA DE CONOCIMIENTOS DE LA UNIDAD 2

1. Resolver la ecuación diferencial: 𝒚´´ − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒚 = (𝟏 + 𝒆−𝒙 )−𝟏 ¿Cuáles son los intervalos en los que se encuentra definida la solución general? Determinar la solución que cumple con las condiciones 𝒚(𝟎) = 𝟏, 𝒚´(𝟎) = 𝟎. Graficar la solución. Solución: A través del método homogénea, resolvemos la ecuación diferencial: 𝑦´´ − 3𝑦´ + 2𝑦 = 0 Donde: 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 𝑦 ′ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥 𝑦 ′′ = 𝑚 2 𝑒 𝑚𝑥 Reemplazando en la ecuación diferencial: 𝑒 𝑚𝑥 (𝑚2 − 3𝑚 + 2) = 0 𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0 (𝑚 − 2)(𝑚 − 1) = 0 𝑚1 = 2

∧ 𝑚2 = 1

Obtenemos que las soluciones son: 𝑦1 = 𝑒 𝑚1 𝑥 𝑦1 = 𝑒 2𝑥

∧ ∧

𝑦2 = 𝑒 𝑚2 𝑥 𝑦2 = 𝑒 𝑥

Por lo tanto, la solución general de la ecuación es: 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑚1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑚2 𝑥 𝑦 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 Para hallar la solución particular mediante el método de variación 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑢1 (𝑥) + 𝑒 2𝑥 𝑢2 (𝑥) 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝑦1 = 𝑒 2𝑥 𝑦2 = 𝑒 𝑥

𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝑦´1 = 2𝑒 2𝑥 𝑦´2 = 𝑒 𝑥

Realizamos las operaciones para resolver el wronskiano: 𝑦1 𝑊 = |𝑦´ 1

𝑦2 𝑦´2 |

2𝑥

𝑒 𝑥 | = (𝑒 2𝑥 )(𝑒 𝑥 ) − (2𝑒 2𝑥 )(𝑒 𝑥 ) 𝑒𝑥

𝑊 = | 𝑒 2𝑥 2𝑒

𝑊 = 𝑒 3𝑥 − 2𝑒 3𝑥 𝑊 = −𝑒 3𝑥 Procedemos a realizar en las fórmulas de variación de parámetros: 1

𝑓(𝑥) = 1+𝑒 −𝑥 𝑢1 = ∫ −

𝑦2 ∙𝑓(𝑥) 𝑊

𝑢1 = − ∫

𝑒 𝑥 (1+𝑒 −𝑥 )−1

𝑑𝑥

−𝑒 3𝑥

𝑑𝑥

𝑒𝑥

𝑢1 = ∫ 𝑒 3𝑥 (1+𝑒 −𝑥 ) 𝑑𝑥 Organizamos la expresión y resolvemos lo del paréntesis: 𝑢1 = ∫

𝑒𝑥

𝑒 3𝑥 +𝑒 2𝑥

𝑑𝑥

Sacamos factor común: 𝑢1 = ∫

𝑒𝑥

𝑒 𝑥 (𝑒 2𝑥 +𝑒 𝑥 )

𝑑𝑥

Simplificamos: 𝑢1 = ∫

1

𝑒 2𝑥 +𝑒 𝑥

𝑑𝑥

Sacamos el factor común y organizamos: 𝑢1 = ∫

1

𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 +1)

𝑑𝑥

𝑒 −𝑥

𝑢1 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 +1 Hacemos cambio de variables: 1

𝑢 = 𝑒 −𝑥 ⟶ 𝑒 𝑥 = , 𝑑𝑢 = −𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑢 𝑢1 = − ∫ 1

𝑢

1

+1

𝑑𝑢

𝑢

𝑢1 = − ∫ 1+𝑢 𝑑𝑢 𝑢1 = − ∫

𝑢+1−1 1+𝑢

𝑑𝑢

𝑢+1

𝑢1 = − ∫ 1+𝑢 𝑑𝑢 + ∫

1

1+𝑢

𝑑𝑢

𝑢1 = −𝑢 + 𝑙𝑛 (1 + 𝑢) 𝑢1 = −𝑒 −𝑥 + 𝑙𝑛 (𝑒 −𝑥 + 1) Reemplazamos los valores obtenidos en 𝑢2 : 𝑢2 = ∫ 𝑢2 = ∫

𝑒 2𝑥 (1+𝑒 −𝑥 )−1

𝑑𝑥

−𝑒 3𝑥

𝑒 2𝑥

−𝑒 3𝑥 (1+𝑒 −𝑥 )

𝑑𝑥

Organizamos la expresión y se resolvemos lo del paréntesis: 𝑢2 = − ∫

𝑒 2𝑥

𝑒 3𝑥 +𝑒 2𝑥

𝑑𝑥

Sacamos el factor común y organizamos 𝑢2 = − ∫

𝑒 2𝑥

𝑒 3𝑥 (1+𝑒 −𝑥 )

𝑑𝑥

𝑢2 = ∫

−𝑒 −𝑥

1+𝑒 −𝑥

𝑑𝑥

𝑢2 =𝑙𝑛 𝑙𝑛 (1 + 𝑒 −𝑥 ) Reemplazamos los valores calculados en 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑒 2𝑥 + 𝑢2 𝑒 𝑥 𝑦𝑝 = (−𝑒 −𝑥 + 𝑙 (𝑒 −𝑥 + 1) )𝑒 2𝑥 +𝑙𝑛 𝑙𝑛 (1 + 𝑒 −𝑥 ) 𝑒 𝑥 Resolvemos los paréntesis: 𝑦𝑝 = −𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥 𝑙(𝑒 −𝑥 + 1) + 𝑒 𝑥 𝑙𝑛 𝑙𝑛 (1 + 𝑒 −𝑥 ) Sacamos factor común: 𝑦𝑝 = −𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑙(𝑒 −𝑥 + 1)( 𝑒 𝑥 + 1) 𝑦𝑝 = 𝑒 𝑥 (𝑙(𝑒 −𝑥 + 1)( 𝑒 𝑥 + 1) − 1) Finalmente, la solución general es 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 𝑦 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 (𝑙(𝑒 −𝑥 + 1)( 𝑒 𝑥 + 1) − 1) Hallamos 𝑦’ 𝑦′ = 2𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 (𝑙(𝑒 −𝑥 + 1)( 𝑒 𝑥 + 1) − 1) + 𝑒 𝑥 (−1 + 𝑒 𝑥 𝑙(𝑒 −𝑥 + 1) Aplicamos 𝑦(0) = 1 1 = 𝑐1 𝑒 2(0) + 𝑐2 𝑒 (0) + 𝑒 (0) (𝑙(𝑒 −(0) + 1)( 𝑒 (0) + 1) − 1) 1 = 𝑐1 + 𝑐2 + 2 ln 2 − 1 𝑐2 = 2 − 𝑐1 − 2 ln 2 Aplicamos 𝑦′(0) = 0 0 = 2𝑐1 𝑒 2(0) + 𝑐2 𝑒 (0) + 𝑒 (0) (𝑙(𝑒 −(0) + 1)( 𝑒 (0) + 1) − 1) + 𝑒 (0) (−1 + 𝑒 (0) 𝑙(𝑒 −(0) + 1) 0 = 2𝑐1 + 𝑐2 + 2 ln 2 − 1 − 1 + ln 2

0 = 2𝑐1 + 𝑐2 + 3 ln 2 − 2 Reemplazamos los valores de 𝐶2 0 = 2𝐶1 + 2 − 𝐶1 − 2 ln 2 + 3 ln 2 − 2 0 = C1 + ln 2 𝐶1 = − ln 2 𝐶2 = 2 + ln 2 − 2 ln 2 = 2 − ln 2 Ahora, establecemos la solución general 𝑦𝑔 = 𝑦ℎ +𝑦𝑝 𝑦𝑔 = −𝑙𝑛2𝑒 2𝑥 + (2 − 𝑙𝑛2)𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 (𝑙(𝑒 −𝑥 + 1)( 𝑒 𝑥 + 1) − 1)

2. Resolver la ecuación diferencial de valores iniciales: 𝒚´´ + 𝟔𝒚´ + 𝟏𝟎𝒚 = 𝟑𝒙𝒆−𝟑𝒙 − 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ,

𝒚(𝟎) = 𝟏,

𝒚´(𝟎) = −𝟐

Solución: Mediante el método homogénea, resolvemos la ecuación diferencial: 𝑦´´ + 6𝑦´ + 10𝑦 = 0 Reescribimos la ecuación: 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 𝑦´ = 𝑚𝑒 𝑚𝑥 𝑦´´ = 𝑚 2 𝑒 𝑚𝑥 Ahora reemplazamos la ecuación diferencial: 𝑚2 𝑒 𝑚𝑥 + 6𝑚𝑒 𝑚𝑥 + 10𝑒 𝑚𝑥 = 0 Hallamos el factor común: 𝑒 𝑚𝑥 (𝑚2 + 6𝑚 + 10) = 0

𝑚2 + 6𝑚 + 10 = 0 Hallamos las raíces por medio de la ecuación cuadrática: 𝑎 = 1, 𝑏 = 6, 𝑐 = 10 𝑚=

−6±√(6)2 −4(1)(10)

𝑚=

−6±√36−40

𝑚=

−6±√−4

𝑚=

−6±√4𝑖 2

2(1)

2

2

𝑚1 =

−6+√4𝑖 2

=

−6+2𝑖 2

= −3 + 𝑖

𝑚2 =

−6−√4𝑖 2

=

−6−2𝑖

= −3 − 𝑖

2

De acuerdo a las raíces complejas homogéneas, obtenemos la solución: 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 (𝐶1 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 sen(𝛽𝑥)) 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 (𝐶1 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 sen(𝛽𝑥)) 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 (𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sen 𝑥) Ahora se halla la solución particular 𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 + 𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +𝐶𝑒 3𝑥 sin 𝑥 𝑦ℎ = 𝑒 𝑎𝑥 (𝐶1 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2 sen(𝛽𝑥)) 𝑎 = −3; 𝑏 = 1 𝑦ℎ = 𝑒 −3𝑥 (𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sen 𝑥 ) 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 −3𝑥 cos 𝑥 +𝐶2 𝑒 −3𝑥 sen 𝑥 El método coeficientes indeterminados 3𝑥𝑒 −3𝑥 − 2𝑒 3𝑥 cos 𝑥 = 𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 + 𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +𝐶𝑒 3𝑥 sin 𝑥

Se debe hallar la primera y segunda derivada: 𝑦 = 𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 + 𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥

𝑦 ′ = 𝐴𝑒 −3𝑥 − 3𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 + 3𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 +3𝐶𝑒 3𝑥 sin 𝑥 +𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥

𝑦 ′′ = −3𝐴𝑒 −3𝑥 − 3𝐴𝑒 −3𝑥 + 9𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 − 3𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 9𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −3𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 − 𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +9𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 3𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 3𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥

Reemplazamos el valor en la fórmula de la ecuación diferencial −3𝐴𝑒 −3𝑥 − 3𝐴𝑒 −3𝑥 + 9𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 − 3𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 9𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −3𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 − 𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +9𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 3𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 3𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +6𝐴𝑒 −3𝑥 − 18𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 + 18𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −6𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 18𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 6𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +10𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 + 10𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +10𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥

Se procede a igualar los términos con la función del problema 9𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 − 3𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 9𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −3𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 − 𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +9𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 3𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 3𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −18𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 + 18𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −6𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 18𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 6𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +10𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 + 10𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +10𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 9𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 − 18𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 + 10𝐴𝑥𝑒 −3𝑥 = 3𝑥𝑒 −3𝑥

−3𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 − 3𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 9𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 − 𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 − 6𝐵𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 18𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 + 10𝐶𝑒 3𝑥 sen 𝑥 = 0

9𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 −𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +3𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +3𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +18𝐵𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +6𝐶𝑒 3𝑥 cos 𝑥 +10𝐵𝑒 3𝑥

cos 𝑥 = −2𝑒 3𝑥 cos 𝑥 9𝐴 − 18𝐴 + 10𝐴 = 3 𝐴=3

−3𝐵 − 3𝐵 − 6𝐵 = −12𝐵 9𝐶 − 𝐶 + 18𝐶 + 10𝐶 = 36𝐶 −12𝐵 + 36𝐶 = 0

9𝐵 − 𝐵 + 18𝐵 + 10𝐵 = 36𝐵 3𝐶 + 3𝐶 + 6𝐶 = 12𝐶 36𝐵 + 12𝐶 = −2

Sistema de ecuaciones método de reducción −12𝐵 + 36𝐶 = 0 36𝐵 + 12𝐶 = −2 (36𝐵 + 12𝐶 = −2) × −3 −108𝐵 − 36𝐵 = 6 −12𝐵 + 36𝐶 = 0

−108𝐵 − 36𝐵 = 6

Proceso para calcular B

−120𝐵 = 6 𝐵=−

6 1 =− 120 20

Proceso para Calcular C 1 1 36 36 (− ) + 12𝐶 = −2 𝐶= (−2 + ) 20 20 12 36 1 −40 + 36 4 1 − 𝐶= ( )=− =− + 12𝐶 = −2 20 20 × 12 12 60 20

𝑦𝑃 = 3𝑥𝑒 −3𝑥 −

1

20

1

𝑒 3𝑥 cos 𝑥 − 60 𝑒 3𝑥 sen 𝑥

Solución general 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑒 −3𝑥 cos 𝑥 +𝐶2 𝑒 −3𝑥 sen 𝑥 𝑦𝑃 = 3𝑥𝑒 −3𝑥 −

1 3𝑥 𝑒 20

1

cos 𝑥 − 60 𝑒 3𝑥 sen 𝑥

𝑦𝑔 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑃 𝑦𝑔 (𝑥) = 𝐶1 𝑒 −3𝑥 cos 𝑥 +𝐶2 𝑒 −3𝑥 sen 𝑥 + 3𝑥𝑒 −3𝑥 −

1 3𝑥 1 3𝑥 𝑒 cos 𝑥 − 𝑒 sen 𝑥 20 60

Condición inicial 𝑦 (0) = 1, 𝑦′(0) = −2 1 1 𝑦𝑔 (0) = 𝐶1 𝑒 −3(0) cos(0) +𝐶2 𝑒 −3(0) sen(0) +3(0)𝑒 −3(0) − 𝑒 3(0) cos(0) − 𝑒 3(0) sen(0) 60 20 1 1 𝑦𝑔 (0) = (𝐶1 × 1 × 1) + (𝐶2 × 1 × 0) + (3 × 0 × 1) − ( × 1 × 1) − ( × 1 × 0) 60 20 1 = 𝐶1 −

1

20

1

1 + 20 = 𝐶1 21 20

= 𝐶1

𝑦𝑔 (𝑥) = 𝐶1 𝑒 −3𝑥 cos 𝑥 +𝐶2 𝑒 −3𝑥 sen 𝑥 + 3𝑥𝑒 −3𝑥 − 𝑦′𝑔 (𝑥) = −3 (

1 𝑒 3𝑥 20

1

cos 𝑥 − 60 𝑒 3𝑥 sen 𝑥

21 −3𝑥 21 )𝑒 cos 𝑥 − ( ) 𝑒 −3𝑥 sen 𝑥 − 3𝐶2 𝑒 −3𝑥 sen 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 cos 𝑥 −9𝑥𝑒 −3𝑥 20 20

1 + 3𝑒 −3𝑥 − 𝑒 3𝑥 cos 𝑥 6

𝑦′𝑔 (0) = −3 (

21 −3(0) 21 cos(0) − ( ) 𝑒 −3(0) sen(0) − 3𝐶2 𝑒 −3(0) sen(0) + 𝐶2 𝑒 −3(0) cos(0) )𝑒 20 20

1 − 9(0)𝑒 −3(0) + 3𝑒 −3(0) − 𝑒 3(0) cos(0) 6

𝑦′𝑔 (0) = −

𝑦′𝑔 (0) = (−

63

20

𝑒0 × 1 −

21 0 1 0 𝑒 × 0 − 3𝐶2 𝑒 0 × 0 + 𝐶2 𝑒 0 × 1 − 9(0)𝑒 0 + 3𝑒 0 − 6 𝑒 × 1 20

63 21 × 1 × 1) − ( × 1 × 0) − (3𝐶2 × 1 × 0) + (𝐶2 × 1 × 1) − 9(0) × 1 + (3 × 1) 20 20 1 − ( × 1 × 1) 6 63

𝑦′𝑔 (0) = − 20 − (0) − (0) + 𝐶2 − (0) + (3) − −2 = −

63

1

6

1

+ 𝐶2 + 3 − 6

20 1

63

−2 − 3 + + = 𝐶2 10 6 𝐶2 =

22

15

Ecuación para la solución del problema 𝑦(𝑥) =

21 −3𝑥 22 1 3𝑥 1 𝑒 cos 𝑥 + 𝑒 −3𝑥 sen 𝑥 + 3𝑥𝑒 −3𝑥 − 𝑒 cos 𝑥 − 𝑒 3𝑥 sen 𝑥 60 20 15 20

3. Resolver la ecuación diferencial detallando los procedimientos. Trazar la curva solución: 𝟐

𝒚´´ + 𝒙 𝒚´ + 𝒚 =

𝟏 𝒙

Conociendo la solución de la homogénea: 𝒚𝟏 =

𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒙

Integramos: ∫ 𝑥 4 𝑠𝑒𝑛−2 𝑥 Usando la fórmula 𝑦2 = 𝑦1 ∫

𝑒 − ∫ 𝑝 (𝑥)𝑑𝑥 𝑦1 2

𝑑𝑥

Condiciones iniciales

2

𝑝(𝑥) ; 𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑥 𝑥 Ahora se procede a reemplazar los valores y hacer las respectivas operaciones: 2

− 𝑑𝑥 𝑒 ∫𝑥

𝑦2 =

sen 𝑥 𝑥

∫

𝑦2 =

sen 𝑥 𝑥

∫

𝑦2 =

sen 𝑥 𝑥

∫

𝑦2 =

sen 𝑥 𝑥

∫ sen2 𝑥

𝑦2 =

sen 𝑥 𝑥

∫ sen2 𝑥

𝑦2 =

sen 𝑥 𝑥

∫ sen2 𝑥

𝑦2 =

sen 𝑥 𝑥

∫ sen2 𝑥

sen 𝑥 2

( 𝑥 )

𝑒 −2 𝐼𝑛𝑥 sen2 𝑥 𝑥2

𝑒 𝐼𝑛𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑥

−2

sen2 𝑥 𝑥2

𝑥 −2 𝑥2

𝑥 −2 𝑥 2 𝑥0 1

Ahora se construye la solución general 𝑦=

sen 𝑥 𝑥

+

sen 𝑥 𝑥

−cot 𝑥

4. Se tiene un circuito en serie que consta de una fuerza electromotriz 𝐄(𝐭) = 𝟏𝟎𝟎 𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎𝐭 𝐕, una resistencia de 𝐑 = 𝟐𝛀, un inductor de 𝐋 = 𝟎, 𝟏 𝐇 y un condensador de 𝐂 = 𝟏/𝟐𝟔𝟎 𝐅. Si la corriente y la carga inicial del condensador son cero, calcular la expresión de la carga del condensador para 𝒕 > 𝟎. Solución: Se aplica la ley de Kirchhoff establece que: 𝐿

𝑑2 𝑞 𝑑𝑡 2

+𝑅

𝑑𝑞 𝑑𝑡

1

+ 𝐶𝑞 = 𝐸

Lo que en este caso se convierte en el siguiente problema de Cauchy, sustituyendo los valores de R, L y C 0,1

𝑑2 𝑞 𝑑𝑡 2

𝑑𝑞

+ 2 𝑑𝑡 + 260𝑞 = 100 sen 60𝑡

Luego normalizando aparece la ecuación siguiente: 𝑑2 𝑞 𝑑𝑡 2

+ 20

𝑑𝑞 𝑑𝑡

𝑞(0) = 0,

+ 2600𝑞 = 1000 sen 60𝑡 𝑞´(0) = 0

De tal forma se resuelve el circuito consiste en obtener la solución de una ecuación lineal completa de segundo orden. Primero: Solución de la homogénea asociada La ecuación característica es: 𝑚2 + 20𝑚 + 2600 = 0, 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 La solución general de la homogénea asociada es: 𝑞(𝑡) = 𝑒 −10𝑡 [𝐶1 sen 50𝑡 +𝐶2 cos 50𝑡]

𝑚 = −10 ± 50𝑖

Segundo: Para la solución particular de la completa, el método de los coeficientes indeterminados (el término independiente es una función 𝐶𝐼: 𝑠𝑒𝑛60𝑡 ) se ordena que dicha solución particular es de la forma: 𝑞(𝑡) = 𝐴 sen 60𝑡 +𝐵 cos 60𝑡 Se determinan los coeficientes que son: 25

30

𝐴 = – 61 , 𝐵 = – 61 Tercero: La solución general de la ecuación del circuito es: 25

𝑞(𝑡) = 𝑒 −10𝑡 [𝐶1 sen 50𝑡 +𝐶2 cos 50𝑡] − 61 sen 60𝑡 −

30

61

cos 60𝑡

Cuatro: Fijare las constantes con las condiciones iniciales: 𝑞(0) = 0; 𝑞´(0) = 𝑖 (0) = 0 Para obtener como Resultado: 𝐶1 = 30/61 , 𝐶2 = 36/61 Quinto: Por tanto, la expresión pedida de la carga del condensador, en Culombios, a lo largo del tiempo es: 𝑞(𝑡) ≅ 0,77𝑒 −10𝑡 cos(50𝑡 − 0,88) − 6,64 cos (60𝑡 − 0,69) Es vital señalar que el primer término de 𝑞 (𝑡) se va anulando a medida que transcurre el tiempo, es el régimen TRANSITORIO. El segundo término es periódico, permanece a lo largo del tiempo: es el régimen PERMANENTE

5. En el extremo inferior de un muelle espiral sujeto al techo, se coloca un cuerpo de 8 kg. El cuerpo queda en reposo en su posición de equilibrio, en la que el muelle se ha alargado 0.1 m. A continuación, el cuerpo se desplaza 0.05 m por debajo de la posición de equilibrio y se deja libre en t = 0 con una velocidad inicial de 1 m/s, dirigida hacia abajo. Despreciando la resistencia del medio y suponiendo que no existen fuerzas exteriores, determinar la amplitud, periodo y frecuencia del movimiento resultante, así como la expresión del desplazamiento del cuerpo en función del tiempo.

a. Encontrar la ecuación de movimiento si la masa se somete a una fuerza periódica 𝑭(𝒕) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒕 + 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒕. Solución: La ecuación diferencial viene dada por: 𝑚𝑥 " (𝑡) + 𝐶 𝑥 ′ (𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 0 por lo tanto, la posición de equilibrio 𝑥(𝑡) de m, con respecto a la posición de equilibrio es : (𝑑2𝑥 ) 𝑑𝑡 2

+ 0,05

𝑑𝑥 𝑑𝑡

+ 0,1 = 0

Con las condiciones iniciales: 𝑥0 = 0 → 𝑡 = 0 ;

𝑣0 = 1 𝑚/𝑠𝑒𝑔

Luego se tiene: 𝑚 = 8; 𝑘 = 0,1 ; 𝑐 2 − 0.05(8)(0.1)

𝑐 = 0.05 , 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 .

(0.05)2 − 0.05(8)(0.1) 0.0025 – 0. 04 = 0 De esta manera se tiene que es críticamente amortiguado. En virtud de la ecuación. 𝑐𝑥

𝑥(𝑡) = [𝑥0 + 𝑣0 + 1𝑐𝑚 𝑡] 𝑒 0

= [0 + (1 + ) 𝑡] 𝑒 8

−𝑐 2𝑚

𝑡

−𝑡 8

= (0 + 1𝑡 )𝑒 −0.1𝑡 Luego la velocidad y la aceleración instantánea se obtienen derivando la posición una y dos veces respectivamente con respecto derivando al tiempo. Derivando y simplificando se tiene que: 𝑉(𝑡) = (1 − 0.1𝑡)𝑒 −0.1𝑡 𝑚/𝑠𝑒𝑔 𝐴(𝑡) = (0.05 + 3.5𝑡)𝑒 −0.1𝑡𝑚/𝑠𝑒𝑔 Para calcular el punto más alejado, basta con calcular donde la velocidad se anula 𝑉(𝑡) = 0 → (1 − 0.1𝑡)𝑒 −0.1𝑡 = 0 0.1

0.1 – 0.1𝑡 = 0 → 𝑡 = 0.1

De esta manera la posición es: 1 = [0 + 1(1)]𝑒 −5(1) = 𝟏𝑒 −5(1)

→ 𝑡= 1

b. Graficar las soluciones permanente y transitoria en los mismos ejes coordenados.

c. Graficar la ecuación que describe el movimiento.

BIBLIOGRAFÍA

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