Formelsammlung der Statische und Dynamische Verhalten PDF

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Der Modul SRT 2 wurde bestanden wenn sie diese Fazit komplett auswendig im Kopf haben ...

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Einführung Regelgröße Führungsgröße Störgröße Stellgröße Regelstrecke Regler

Ausgangsgröße der Regelstrecke, die auf einem vorgegebenen konstanten o. veränderlichen Wert gehalten werden soll, Von außen zugeführte Größe, der die Regelgröße folgen soll. Jede Größe, die auf die Regelgröße wirkt, mit Ausnahme der Stellgröße. Ausgangsgröße des Reglers, durch deren Änderung die Regelgröße über die Regelstrecke beeinflusst werden. Gerät, Anlage o.a. , dessen Ausgangsgröße geregelt wird, indem eine oder mehrere Eingangsgrößen verändert werden. Gerät, das Regel- und Führungsgröße bzw. Sollwert miteinander vergleicht und aus der Differenz die Stellgröße bildet

statisches Verhalten Eigenschaften von Regelkreisgliedern u. Regelkreisen nach Abklingen von Übergangs- u. Einschwingvorgängen Darstellungsmöglichkeiten: Kennlinie, Kennlinienfeld, Wertetabelle, Formel

Linearisierung geg.: nichtlin. Zusammenhang (Formel, Kennlinie(nfeld))

Y = f (U , Z1 , Z 2 ,...)

Ansatz

y = K u ⋅ u + K z1 ⋅ z1 + K z2 ⋅ z2 + ...

analytische Linearisierung

⎡∂ Y ⎤ Ku = ⎢ ⎥ ⎣∂U ⎦ A

graphische Linearisierung (Tangentenverfahren)

⎡ ∆Y ⎤ Ku ≈ ⎢ ⎥ ⎣∆ U ⎦ Z1 =Z10 , Z 2 =Z 20 ,...

!!!! Bei Darstellung in impliziter Form und/oder Verwendung von Zwischenvariablen folgendes Vorgehen:!!! 1) Mit den gegebenen nichtlinearen Beziehungen sind alle benötigten Arbeitspunktwerte für alle Variablen zu ermitteln. 2) Jede gegebene nichtlineare Beziehung ist durch eine vollständige lineare Gleichung zu ersetzen, die durch Linearisierung für den gegebenen Arbeitspunkt entsteht. 3) Durch Zusammenfassung mit Elimination von Zwischenvariablen und Umformen sind die nach 2. gewonnenen linearen Gleichungen in die gewünschte Form zu bringen.

statisches Verhalten von Regelkreisen P - Regler ¾ Gerade als Kennlinie; vgl. S.22 (2.32) ¾ bleibende Regelabweichung ¾ schnelle Reaktion Regelfaktor ∆X mR 1 R= = a0a4

Bei einschleifigen Regelkreisen (vgl. Einführung) reicht eine Untersuchung des aufgeschnittenen Regelkreises aus. Prüfe Nullstellen des nebenstehenden Ausdruckes. Achtung falsche Schlüsse sind möglich, wenn in G(s) gekürzt werden kann (vgl. S.147 (5.43)f)

1 + G0 ( s) = 0

Stabilitätsprüfung nach Nyquist geeignet auch bei Totzeitverhalten Analyse der grafischen Darstellung des aufgeschnittenen Regelkreises (Ortskurve o. Bode-Diagramm) neben der Stabilität werden gleichzeitig Aussagen über die Güte und Optimiermöglichkeiten gewonnen

¾ ¾

¾ Betrachtung der Ortkurve

Nyquist

Wenn die Übertragungsfunktion G0(s) des aufgeschnittenen Regelkreises p Pole in der rechten s-Halbebene aufweist, dann gilt: Wenn die Ortskurve des Frequenzganges G0(jω) beim Durchlaufen der Frequenzwerte von -∞ bis ∞ den Punkt –1 auf der reellen Achse genau p Mal im mathematisch positiven Sinn umfährt, dann ist der geschlossene Regelkreis stabil. Andernfalls ist er nicht stabil.

Die Ortskurve ist nach den Regeln für Inversion bzw. Negation für negative ω zu ergänzen Beim Zählen der Umläufe einfach die vollständigen Umdrehungen eines Zeigers betrachten, der in –1 auf der reellen Achse befestigt ist und die Ortskurve von ω = -∞ bis ω = ∞ abgetastet wird.

¾ ¾

Nyquist

Nyquist (vereinfacht)

Wenn der aufgeschnittene Regelkreis stabil ist oder integrierendes Verhalten aufweist (d.h. G0(s) hat nur Pole mit negativem Realteil und bei I-Verhalten zusätzlich Pol(e) bei s=0), dann gilt: Wenn der Punkt –1 auf der reellen Achse im Gebiet zur Linken der in Richtung zunehmender Frequenz durchlaufenen Ortskurve des Frequenzganges G0(jω) liegt, dann ist der geschlossene Regelkreis stabil. Anderenfalls ist er nicht stabil Wenn der aufgeschnittene Regelkreis stabil ist oder integrierendes Verhalten aufweist (d.h. G0(s) hat nur Pole mit negativem Realteil und bei I-Verhalten zusätzlich Pol(e) bei s=0) und die Ortskurve des Frequenzganges G0(jω) die reelle Achse nur so schneidet, dass beim Übergang vom 3. in den 2. Quadranten die Frequenz zunimmt, dann gilt: Wenn die Ortskurve des Frequenzganges G0(jω) die reelle Achse nur rechts vom Punkt –1 der reellen Achse schneidet, dann ist der geschlossene Regelkreis stabil. Anderenfalls ist er nicht stabil.

¾ Betrachtung des Bode-Diagramms

Nyquist (vereinfacht)

Wenn der aufgeschnittene Regelkreis stabil ist oder integrierendes Verhalten aufweist (d.h. G0(s) hat nur Pole mit negativem Realteil und bei I-Verhalten zusätzlich Pol(e) bei s=0) und der Phasengang seines Frequenzgangs im Bode-Diagramm die Linien -180° -n·360° nur mit negativer Steigung schneidet, dann gilt: Wenn der Betrag des Frequenzgangs |G0(jωπ)| bei den Frequenzwerten, für die der Phasengang φ0(ωπ) = -180° -n·360° kleiner ist als 1, dann ist der geschlossene Regelkreis stabil. Anderenfalls ist er nicht stabil

Gütemaße Amplitudenreserve AR =

1 G( jωπ )

Phasenreserve α R = ϕ 0 (ω d ) + π mit:

ϕ 0 (ω π ) = − π G0 ( jω d ) = 1

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Einstellregeln gutes Störverhalten gutes Führungsverhalten

1,5 < AR < 3 4 < AR < 10

20° < αR < 70° 40° < αR < 60°

! wirkt die Störgröße am Ende der Regelstrecke ⇒ Auslegung für gutes Führungsverhalten (vgl. S.161 Bild 5-25)

weitere Forderungen ¾ ¾ ¾

ωd und ωπ möglichst groß ⇒ schnellere Reaktion auf Stör- o. Führungsgrößenänderungen |G(jω)| möglichst groß (besonders für kleine ω) ⇒ geringer statischer Fehler der Regelung Realisierung durch Verwendung von Kompensationsgliedern (PDT1, PPT1; vgl. S.165ff)

Erfahrungsregeln der Amplitudengang soll die Linie |G(jω)| = 1 mit der Steigung –1 schneiden, weil zu dieser Steigung bei Phasenminimumsystemen ein Phasenwinkel von –90° gehört ¾ das Kurvenstück mit der Steigung –1 sollte sich mindestens von |G(jω)| = 2 bis |G(jω)| = 0,4 erstrecken ¾

Gerätetechnik Klassifizierung von Regelungen einfachste Regelungen ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Einheitsregelsysteme

meist einfache und billige P-Regler ¾ ohne Hilfsenergie (1 Gerät) geringe Anforderungen ¾ (Genauigkeit, Geschwindigkeit) Fliehkraftpendel (S.195) Druckminderer (S.195) Temperaturregler (S.196)

Regel- u. Stellgröße sind genormte elektr. Einheitssignale ⇒ geeignete Gerätekombinationen versch. Hersteller möglich (geringe Lagerhaltung)

Prozessrechner o. –leitsysteme zeitdiskret u. keine parallelen Operationen ⇒ bei mehreren angeschlossenen Regelkreisen ist momentan immer nur ein Kreis geschlossen ¾ einfache Modifizierung durch Programmänderung

¾

Regler ¾ ¾

ohne Hilfsenergie ⇒ vgl. einfachste Regelungen ¾ Signalverstärkung durch aktiven Verstärker (mit passiver Rückführung) mit einstellbarem mit Hilfsenergie statischen u. dynamischen Verhalten (S.199 Bild 6-7) elektrisch ¾ hoher Übertragungsfaktor ⇒ stat. u. dyn. Verhalten nur abhängig von der Rückführung (vgl. hydraulisch S.199 (6.1)ff) pneumatisch ¾ ¾

keine Stabilitätsprobleme bei P-Verstärkern mit P-, D- oder PT1-Rückführung (S.200) I-Verstärker als Regler unbrauchbar (vgl. S.200f)

hydraulische Regler keine Signalübertragung über große Entfernungen möglich Verstärker hat I-Verhalten o ohne Rückführung (S.202 Bild 6-9) o überwiegend mit starrer Rückführung (P-Verhalten) • Wegvergleich (S.203 Bild 6-10) • Kraftvergleich (S.203 Bild 6-10) ¾ selten nachgebende Rückführung (DT1-Verhalten) ¾ für große Flüssigkeitsströme → Verwendung von Vorsteuerungen (S.203f)

¾ ¾

elektronische Regler ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

hohe Flexibilität und Vielseitigkeit beschalteter Differenzverstärker (S.206 Bild 6-13) o Id ≈ 0, hoher K-Faktor ⇒ Ud ≈ 0 o Uy ~ U x P-Regler (S.209 Bild 6-14) PI-Regler (S. 210 Bild 6-16 mit gewichteter Eingangssumme) PID – Regler (S.209 Bild 6-15) Spannungsteiler zur Veränderung des K-Faktors, dessen Widerstand gegenüber der Rückführung vernachlässigbar ist

GRe gler ( jω ) =

uy ux

=−

Z r( ω ) Z e (ω )

=−

Geingang ( jω ) Grückführun g ( j ω )

Messgeräte Regelungen arbeiten nicht genauer als die Messgenauigkeit bei der Regelgrößenerfassung ¾ ¾ ¾

Messen

¾

Messsystem Messverfahren

¾ ¾ ¾ ¾ ¾

mit geringem Aufwand eine zuverlässige, genaue u. reproduzierbare Erfassung der interessierenden Größe inkl. Ausdruck durch eine geeignete (digitale o. analoge) Größe sowie Weiterleitung an Regler, Anzeiger o. Überwacher im engeren Sinne: Ausdruck der Messgröße als Vielfaches einer SI-Einheit (S.211) bzw. SIKombination idealisiert (S.212 Bild 6-17) fehlerbehaftet (S.2-13 Bild 6-18; vgl. auch Fehlerbegrenzungsmaßnahmen und Berücksichtigung der stabilitätsgefährdenden dynamischen Messfehler S.212 ff) erweitert (S.213 Bild 6-19) ¾ zeitlich: kontinuierlich ←→ diskontinuierlich direkt ←→ indirekt analog←→digital ¾ Ausschlagsverfahren ←→ Kompensationsverfahren

¾ Widerstandthermometer (S.215) ¾ Thermoelement (S.215) ¾ Piezoaufnehmer (S.216) Kraft ¾ Dehnungsmessstreifen (DMS S.217) Druck ¾ Druckmessgeräte mit Membran in Verbindung mit DMS oder Piezoelement (S. 219) ¾ Piezoelement Beschleunigung ¾ kapazitiv ⇒ S.220 ¾ DMS ¾ Düsen o. Blenden (S.220) Durchfluss ¾ Coriolisprinzip (S.222) kleine Wege: ¾ kapazitive Weggeber Weg große Wege: ¾ optische Abtastung von Strichmaßstäben (inkremental o. absolut S.223) ¾ induktiv (S.223) Geschwindigkeit ¾ Tachogenerator (S.223) Temperatur

Stelleinrichtungen Umformung der Stellgröße in eine geeignete Zwischengröße (z.B. elektro-pneumatischer Umformer) direkte Beeinflussung des Prozesses bzw. der Regelstrecke (Ventile, Drosselklappen, Fördereinrichtungen, Lenkeinrichtungen, Stelltrafos ....)

Stellantrieb (Steller) Stellglied ¾ ¾

Berücksichtigung stabilitätsgefährdender dynamischer Eigenschaften häufig treten problematische Nichtlinearitäten (Ansprechschwelle, Hysterese) auf

Steller ¾

pneumatisch geradlinige Bewegungen mit beträchtlichen Kräften

¾ ¾ ¾

kostengünstig gute Dynamik ausreichende Genauigkeit

¾ ¾

¾ ¾

Kolben und Zylinder Membranantriebe (vgl. S.226 Bild 6-28)

¾

¾

elektropneumatische Steller (Py ~ Iy → vgl. S. 225 Bild 6-27)

¾

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¾ ¾

hydraulisch translatorische Bewegungen Schwenk- und Drehbewegungen hohe Kräfte und Momente fast immer mit Stellungsregler (steuert den Fluss von Hydrauliköl, der die Stellbewegung verursacht) Kolben u. Zylinder (einfach o. doppeltwirkend) evtl. mit Getriebe Schwenk- und Drehmotoren

¾ ¾

elektrisch hohe Flexibilität breiterer Einsatzbereich

integrales Verhalten (vgl. Mann/Schiffelgen S.359 oben) ¾ fast immer mit Stellungsregler

¾

¾

Gleich- und Drehstrommotoren mit Getrieben und Gewindespindeln

lineare Abtastregelungen ¾ ¾ ¾ ¾ ¾

Glieder, die Größen nur zu diskreten, äquidistanten Zeitpunkten übertragen Regelkreis mit kontinuierlicher Regelstrecke und abtastend arbeitendem Regler Abtaster liefert Folge äquidistanter Impulse oder Werte Halteglied (0. Ordnung) hält Abtastwert über die Abtastzeit T konstant Regler wandelt Folge von Eingangssignalen in eine Folge von Ausgangssignalen um

Differenzengleichung Differentiation

a0 yk + a1 yk −1 + ... + an yk −n = b0 u k + b1u k −1 + ... + bm u k −m vgl. S.234 (7.3) u. (7.4) Rechenregeln (vgl. Bsp. PT1-Glied S.235) K y = K ⋅ u& y k = ⋅( u k − u k−1 ) ⇒ T t

Integration

∫

y = K ⋅ u (τ )⋅ dτ

y k − y k −1 = K ⋅ T ⋅ u k

⇒

0

stat. Übertragungsfaktor eines stabilen Systems Frequenzgang (entspricht der zÜbertragungsfunktion)

K= G( e jωT ) =

yk uk

=

y ⋅ e jωkT u ⋅ e jωkT

=

y u

b0 + b1 + ... + bm a 0 + a1 + ... + a n j ωT

=

j ω 2T

j ωmT

+ b2 e − + ... + bm e − b0 + b1e− a 0 + a1e − jωT + a 2 e − jω2 T +... + a n e − jωnT

Das Argument von G ist periodisch in

2π T

(Bsp. D- und I-Glied S.237f)

Shannon-Abtast-Theorem Eine zeitkontinuierliche Funktion kann aus ihren Abtastwerten nur dann fehlerfrei rekonstruiert werden, wenn die höchste in dieser Funktion enthaltene Frequenz kleiner als die Shannon-Frequenz (bzw. die Abtastzeit kürzer als die Hälfte der kürzesten Periodendauer der in der abzutastenden Funktion) ist. T π T < min ω max < ω S = bzw. 2 T Folgen von ¾ Signalverfälschung im interessierenden, niederfrequenten Bereich Unterabtastung ¾ Verlust höherfrequenter Signalbereich (meist unproblematisch) Anti-Aliasing-Filter kontinuierliches, analoges Tiefpassfilter unterdrückt unerwünschte höherfrequente Signalanteile die wg. Unterabtastung zu Signalverfälschungen führen

quasikontinuierliche Abtastregelungen Das Gesamtsystem kann als quasikontinuierlich aufgefasst werden, wenn T so klein ist, dass der Abtastvorgang das Gesamtverhalten nicht wesentlich beeinflusst. Tg T< (Tg : Ausgleichszeit der Regelstrecke, vgl. Gütemaße bzgl. Sprungantwort) Bedingung: 2 Durch Vertauschung von verzögerungsfreiem Regler und Halteglied können Abtaster und Halteglied für kleine ω (d.h. ωT < 1) durch ein Totzeitglied (PTt mit Tt= 0,5 ·T) ersetzt werden ⇒ Ersatzregelkreis (vgl. S.231f) ! Stabilitätsprobleme durch Totzeitglied !

rekursive Rechenvorschrift zur Bestimmung der Werte der Stellgröße eines zeitdiskreten ⎡ ⎤ T Tv T T + ) ⋅ u k − ( a + 2 v ) ⋅ u k−1 + v ⋅ uk −2 ⎥ PID-Reglers: y k = y k−1 + K R ⎢(1 + T T T T n ⎣ ⎦ PI → Tv = 0 P → Tv = Tn = 0 Häufig in Verbindung mit integrierenden Stellgliedern, denen nur die Stellgrößenänderung (yk-yk-1) zugeführt wird (vgl. S.244 (7.43)) und die bei Ausfall des Reglers den letzten Stellgrößenwert beibehalten.

Einstellregeln (vgl. S.11) anhand Sprungantwort der Regelstrecke

anhand von Schwingversuchen

Die Reglerparameter sind die eines Geschwindigkeitsalgorithmus von der Form: ∆ yk = yk − yk −1 = K P ⋅ (uk − u k −1 ) + K I ⋅ u k + K D ⋅ (u k − 2u k −1 +u k −2 )

!!! nur gültig für T/Tu > 4 !!!

Regelungssysteme mit nichtlinearen Übertragungsgliedern Betrachtung von Regelkreisen mit einem nichtlinearen, verzögerungsfreien Übertragungsglied Dauerschwingungen definierter Amplitude und Frequenz können als stationärer Zustand auftreten Die Stabilität kann von den Eingangsgrößen abhängen.

¾ ¾ ¾

Folgeregelungen mit nichtlinearen Übertragungsgliedern Begrenzung der Stellgeschwindigkeit

e > e0 Rampe |e|< e0 Exponentialfunktion (PT1-Verhalten S.280 (8.3))

¾ ¾

Folgesystem mit Ansprechschwelle

¾ ¾

bleibende Regelabweichung aufgrund „toter Zone“ für e > e0 PT1-Verhalten (S.281 (8.7))

Regelungen mit schaltenden Reglern Vorteil: preiswert (Regler und Stellorgan) Nachteil: Arbeitsbewegung als stationärer Zustand (Ausgangsgröße kann nur wenige Werte annehmen ⇒ zur Realisierung von Zwischenzuständen tritt wechselweises Schalten ein

¾ ¾

Dreipunktregler häufig zur Ansteuerung integrierend wirkender Stellmotoren ⇒ keine Arbeitsbewegung wg. stetig vestellbarer Stellgröße ¾ Kombination aus Dreipunktregler + Stellgröße + proportionaler Rückführung ⇒ nahezu stetig wirkendes Stellglied (vgl. S.289)

¾

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Zweipunktregler w = 0,5 · x∞ w ≠ 0,5 · x∞ Sprungantwort für Regelstrecke mit Verzögerung und Totzeit (Regelstrecke ohne Totzeit ⇒ Verzugszeit Tu verwenden)

¾

Mittelwert der Arbeitsbewegung ist w T X A ≈ t ⋅ w T ≈ 4 ⋅ Tt minimale Periodendauer TS

¾ ¾

bleibende Regelabweichung XA wird weniger stark von einer Führungsgrößenverschiebung beeinflusst (im Gegensatz zu T)

¾ ungeeignet für Regelstrecken mit PT1-Verhalten und ¾ ohne Totzeit ⇒ hohe Schaltfrequenz (T → 0) großer Tot- bzw. Verzugszeit Tu (XA wird unzulässig groß)

¾

Zweipunktregler mit Hysterese erwünschte Hysterese Regelstrecken ohne Tot- bzw. Verzugszeit ¾ Minderung der Schaltfrequenz ¾ Vermeidung von Fehlschaltungen bei Schwankungen der gemessenen Regelgröße

XA =

unerwünschte Hysterese Regelstrecken mit Tot- oder Verzugszeit ¾ Vergrößerung von XA (durch technisch unvermeidliche Hysterese) ¾ Abhilfe: Rückführung zur Steigerung der Schaltfrequenz u. zur Senkung von XA (vgl. S.186 u.)

1 ⋅ 2d 2

Zweipunktglied aus stetigem Regler und Pulslängenmodulator Regler (P-, PI-, PD- oder PID-Verhalten) ⇒ erzeugt wert- und zeitkontinuierliche Stellgröße yS Pulslängenmodulator ⇒ erzeugt binäre Stellgröße yB

(Periodendauer T wird, unabhängig von den Reglereigenschaften, so gewählt, dass XA und die Stellgliedbelastung im technisch sinnvollen Bereich liegen)

1) 2) 3) 4)

Vorgehensweise zur Analyse nichtlinearer Folgesysteme Der Arbeitsbereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes wird in Bereiche eingeteilt, in denen eine lineare Beziehung für den Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße gefunden werden kann. Für jeden dieser Bereiche wird der funktionale Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße des Gesamtsystems bestimmt. Überlegung: Handelt es sich vielleicht um einbekanntes Standardübertragungsverhalten? Soweit möglich, wird die Eingangsgröße des nichtlinearen Übertragungsgliedes in die grafische Darstellung eingetragen, und es werden die oben bestimmten Bereiche in diesem Graphen markiert. Die Anfangswerte aller zu zeichnenden Größen werden bestimmt. In welchem Bereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes befindet sich das System? Der Verlauf der Größen wird mit Kenntnis der linearen Zusammenhänge für den gefundenen Bereich gezeichnet. Bei Bereichswechseln wird, mit der zugeordneten linearen Beschreibung, weitergezeichnet.

Vermaschte Regelkreise Vorregelung ¾ ¾

Verbesserung des Störverhaltens (Störungen werden verringert, indem störende Einflussgrößen konstant gehalten werden) der Stellbereich kann verringert werden

Störgrößenaufschaltung ¾

¾ ¾

¾ ¾

¾

Hilfsregelgröße ¾

¾ ¾ ¾ ¾

Regelstrecke = Reihe von Verzögerungsgliedern + Störgrößen greifen in der Nähe des Stellgrößenangriffspunktes an Regler mit P-, PD- oder nachgebendem Verhalten (DT1) Dynamikänderung ⇒ Übertragungsfaktor des Hauptreglers kann erhöht werden Stabilitätsprobleme bei Ausfall des Hilfsregelkreises bei analogen Regelkreisen vgl. S.314 Bild 97b

aus Störgrößenänderungen werden zweckmäßige Stellgrößenänderungen abgeleitet, die die Störwirkung (teilweise) kompensieren bei wenigen, gut messbaren Störgrößen, wenn eine Vorregelung nicht möglich ist bei Regelstrecken mit Totzeit (wenn die Störgröße über Tt auf die Regelgröße wirkt) ⇒ wesentliche Verbesserung gegenüber einfacher Regelung keine Stabilitätsbeeinflussung bei Regler mit I-Verhalten muss das Aufschaltgerät bei zeitlich konstanter Störgröße eine verschwindende Ausgangsgröße ausgeben (→ DT1-Glied) bei analogen Regelkreisen vgl S.310 Bild 9-4

Hilfsstellgröße ¾ ¾

¾ ¾ ¾ ¾

Kaskadenregelung ¾

¾

¾ ¾

Regelstrecke = Reihe von Verzögerungsgliedern + Störgrößen greifen in der Nähe des Stellgrößenangriffspunktes an der Hauptregler erzeugt die Führungsgröße des Hilfsreglers ⇒ unterlagerter Regelkreis gleicht alle auf vorderen Teil der Regelstrecke wirkende Störungen aus Verbesserung der Dynamik und Ausgleich von Nichtlinearitäten bestimmter Regelstreckenteile die Dimensionierung erfolgt von innen nach außen

Vorsteuerung u Führungsgrößenfilter ¾

¾

¾

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Regelstrecke = Reihenschaltung mehrerer Verzögerungsglied...