GU9 L - Lösungen zu den Übungen PDF

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Lösungen zu den Übungen...

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Institut f¨ur Mechanik und Meerestechnik Prof. Dr.-Ing. R. Seifried

Mechanik III WiSe 16/17 L 9.1

Gruppen¨ ubung 9 y

Aufgabe 1 Eine homogene Kreisscheibe mit dem Radius

r1

r2 (Dicke d, Dichte ρ) besitzt eine Bohrung vom Radius r1 derart, dass sich die beiden

C

O

x

Kreise in einem Punkt ber¨uhren. Man bestimme die Lage des Massenmittelpunktes

C

tr¨ agheitsmomente

sowie um

die

die zur

r2

MassenScheibe

senkrechten Achsen durch O und C. a) Berechnen Sie den Massenmittelpunkt C.

F¨ur die y-Komponente gilt: yC = 0 P P P xi · mi d · ρ · Ai · xi Ai · xi F¨ur die x-Komponente gilt: xC = P = P = P mi d · ρ · Ai Ai =⇒ xC =

(r2 − r1 ) · π · r12 0 · π r22 − (r2 − r1 ) · π · r12 = − 2 π · (r22 − r1 ) π · (r2 − r1 ) · (r2 + r1 ) =⇒ xC = −

r12 r2 + r1

b) Bestimmen Sie den Tr¨ agheitsmoment bez¨ uglich einer senkrechten Achse durch O.

IO =

=

  1 1 2 2 2 2 2 2 (π · d · ρ · r1 ) · r 1 + (r2 − r1 ) · r1 · π · d · ρ (π · d · ρ · r2 ) · r 2 − 2 2   1 π · d · ρ · r24 − r14 − 2 · (r2 − r1 )2 · r12 2

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Mechanik III WiSe 16/17 L 9.2

c) Stellen Sie nun das Tr¨agheitsmoment bez¨ uglich des Gesamtschwerpunktes dar. Aus dem Satz von Huygens und Steiner folgt: IC = IO − mges · xC2  2  4  r12 1 2 2 4 2 2 =⇒ IC = π · d · ρ · r2 − r1 − 2 · (r2 − r1 ) · r1 −(r2 −r1 ) ·π · d·ρ · 2 r1 + r2   1 (r2 − r1 )2 2 r 41 2 2 2 2 · r1 − 2 · = π · d · ρ · (r2 − r1 ) · r2 + r1 − 2 · 2 2 r2 − r12 (r1 + r2 )2   1 r 41 r − r1 2 = π · d · ρ · (r22 − r12 ) · r22 + r12 − 2 · 2 · r1 − 2 · 2 r1 + r2 (r1 + r2 )2   1 2 · (r22 − r12) · r12 + 2 · r14 2 2 2 2 = π · d · ρ · (r2 − r 1 ) · r2 + r1 − 2 (r1 + r2 )2   1 2 · r22 · r12 =⇒ IC = π · d · ρ · (r22 − r12) · r22 + r12 − 2 (r1 + r2 )2

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Mechanik III WiSe 16/17 L 9.3

Aufgabe 2 Wie groß muss bei einem senkrechten Kreiskegel das Verh¨altnis der H¨ ohe h zum Grund-

z

kreishalbmesser r sein, damit die Hauptachsentr¨ agheitsmomente bez¨uglich des Schwerpunktes S gleich groß sind? Der Kreiskegel ist ein homogener K¨orper, und es gilt ρ = konst.

h zS r

Hinweis: F¨ ur den senkrechten Kreiskegel gilt: 

1 3 2 r + h2 IOx = IOy = m 20 10 1 1 zS = h, V = πhr 2 4 3



y

O x

a) Bestimmen sie den Radius in Abh¨ angigkeit der z-Koordinate aus der Geometrie. r r− z h

re(z) =

b) Bestimmen Sie das Massentr¨ agheitsmoment ISz

ISz =

Z

K

r 2 dm =

Z

K

r

Z h z) Z h Z2π (r− r 3 dr dϕ dz r 2 ρ dV = ρ 0

0

0

Zh Z2π  Zh 1 r 4 r 4 1 r− z =ρ dϕ dz = ρ 2 π r − z dz 4 h 4 h 0

0

0

 h 1 1 h m 1 r 5 1h  =ρ π − = ρ π r5 = π h r4 r− z r 10 V 10 h 2 5r 0 =⇒ ISz =

m 1 3 π h r4 = m r2 2 h r 10 10

1π 3

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Mechanik III WiSe 16/17 L 9.4

c) Ermitteln Sie die Massentr¨agheitsmomente ISx und ISy . Mit dem Huygens-Steiner’schen Satz erh¨ alt man: ISx = ISy = IOx − ISx = ISy

mzS2



1 h = IOx − m 4

2



 3 2 1 2 3 1 =m m(4 r 2 + h2 ) r + m h2 = h − 80 20 16 10

agheitsmomente d) Welches Verh¨altnis von rh muss gelten, damit die Hauptachsentr¨ bez¨uglich des Schwerpunktes S gleich groß sind? ISx = ISy = ISz =⇒

3 3 m r2 m(4 r 2 + h2 ) = 10 80

1 1 1 =⇒ r 2 = (4 r 2 + h2 ) =⇒ r 2 = h2 8 2 8 =⇒

h h2 = 4 =⇒ = 2 2 r r

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Mechanik III WiSe 16/17 L 9.5

Aufgabe 3 z 2

Gegeben ist das vereinfachte Modell einer 4

Raumstation. Die einzelnen Segmente werden als Massepunkte angenommen, die durch masselose St¨ abe wie skizziert miteinander

2m a O

m

m a

a a

verbunden sind. x

3

1

a

y m

a) Berechnen Sie f¨ur das angegebene Koordinatensystem den Tr¨agheitstensor bez¨uglich O. 

A

 I =  −F

−F

−E

B

−E −D

A=

B=

C=

R

K



 −D , C

2 2 2 2 (y 2 + z 2 )dm = |4a{z2 m | {zm} + |4a{zm} + |4a{zm} = 14a m } + 2a

R

Masse 4

(x2 + z 2 )dm = a2 m + 2a2 m + 4a2 m + a2 m = 8a2 m

K

R

2 2 + 5a m} = 10a2 m (x2 + y 2 )dm = |5a{z m | {z } K Masse 4

Masse 1

R

D=

yzdm = 0

K

R

E=

F =

Masse 3

Masse 2

Masse 1

xzdm = 0

K

R

K

xy dm = −2a2 m −2a2 m = −4a2 m | {z } | {z } Masse 1 Masse 4



  =⇒ I = a2 m   

14

4

0

4

8

0

0

0

10

      

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Mechanik III WiSe 16/17 L 9.6

b) Berechnen Sie die Tr¨agheitsmomente f¨ ur das Hauptachsensystem.

L¨ osen der Eigenwertaufgabe:

(I − λE)ω = 0

  14 − λ 4 0   ! 8−λ 0 =0 =⇒ det  4 0 0 10 − λ =⇒ (14 − λ)(8 − λ)(10 − λ) − 16(10 − λ) = 0 =⇒ λ1 = 10 (10 − λ)(λ2 − 22λ + 96) = 0 =⇒ λ2,3 = 11 ± =⇒ λ2 = 6,

A0 =

10a2 m

;

B0 =

√

121 − 96

λ3 = 16

6a2 m

;

C0 =

16a2 m

;

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Mechanik III WiSe 16/17 L 9.7

Aufgabe 4 Ein Zylinder mit dem Durchmesser a

K¨orper 2

liegt, wie in der nebenstehenden Skiz-

z′

ze dargestellt, auf einem W¨ urfel mit der

Cz

Kantenl¨ange a. Beide K¨ orper haben die Dichte ρ. Man

y′ a

x′

K¨orper 1 berechne

das

Massen-

a

tr¨ agheitsmoment des Gesamtsystems

z

um die x′′-Achse des Koordinatensys-

a

y

tems K′′. Dieses liegt im Gesamtschwer-

x

punkt C und seine x′′ -Achse ist parallel

a

zur x-Achse.

a) Berechnen Sie zun¨ achst den Massenmittelpunkt C des Gesamtsystems. (Verwenden Sie dabei die Vereinfachung:

urfels: Volumen des W¨

V W = a3

Volumen des Zylinders:

VZ =

√

2 3 πa 4

urfels: Massenmittelpunkt des W¨

Massenmittelpunkt des Zylinders:

Cz =

"

2π √ ≈ 1) 2 2+π

CxW = CyW = C zW = a CxZ = CyZ = , 2 V

CzW + V ZCzZ VW+VZ

Cz =

# √ 3 2 π + 1 4 √ 2 π+1 4

# √ 2 2 π 4 √ 2 π +1 4

" a = 1+ 2

C Zz =

W

a =⇒ Cx = Cy = , 2

a 2

=



3a 2

 √ 3 2 1 π + a 8 2 √ 2 π+1 4

  a a 2π √ = 1+ =⇒ Cz ≈ a 2 2 2+π 2

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Mechanik III WiSe 16/17 L 9.8

b) Bestimmen Sie die Massentr¨ agheitsmomente des Zylinders bez¨ uglich des Hauptachsensystems K′ . Z x sin 2ax Hinweis: sin2 (ax)dx = − 2 4a Z

IxZ′ x′ =

√

(y ′2 + z ′2 )dm = − √

=ρ −

Z

IyZ′ y′ =

√

=ρ −

a

2a

Z 2 Z2 Z2π

√

2a 2

0

0

√

a

2a

Z2 Z2

√

2πr 3 dr dx′ = 2πρ

0

2a 2

r 2 (ρrdϕ dr dx′ )

− √

2a

Z2

√

a4 ′ √ a5 dx = 2ρπ 32 64

2a 2

a

2a

Z 2 Z2 Z2π ′2 ′2 (x + z )dm = (x′2 + (r sin ϕ)2 )(ρrdϕ dr dx′ ) −

a

2a

Z2 Z 2

√

2a 2

0

√

= πρ −

2πrx′2 + r 3

2a

Z2 

√

2a 2

√

2a 2



0

0

ϕ sin 2ϕ − 2 4

2π

√

dr dx′ = ρ

0

−

a

2a

Z 2 Z2 √

2a 2

2πrx′2 + πr 3 dr dx′

0

√  √2a   2 4 2 x′2 a2 a 11 2 5 a4 a ′ ′ ′3 dx = πρ + x + x √ = πρ a 64 − 2a 64 4 12 12 · 16 2

IzZ′ z ′ = IyZ′ y′ (Symmetrie)

Z IK ′ =

√



  2ρπa  32    5

1

0

0

0

11 6

0

0

0

11 6

       

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Mechanik III WiSe 16/17 L 9.9

c) Wie lautet die Drehmatrix, welche die Drehung vom Koordinatensystem K′ gegen¨uber K beschreibt? 

S KK′

   =    

cos( 4π)

− sin( π4 )

0

sin( π4 )

cos( 4π )

0

0

0

1



 √  2  = 2   

1

−1

0

1

1

0

0

0

√

       

       

2

d) Bestimmen Sie das Massentr¨ agheitsmoment des Zylinders um die x-Achse durch CZ.

IKZ =

=

S KK′ I ZK′ S K′ K

√



2ρπa5  1 64 0 

    √ 2ρπa5   =  64      =⇒

1 −1

Z I xx

=

1 0

0

 

1

  0  · 0 √ 0 2

0 11 6

0

0

 

11 6

0

5 − 6

5 6

17 6

0

0 √

1

0

  2ρπa5 17 6 64



 0 √ 0 2

  0  · −1 1

17 6

−

1



0       0     11 3

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Mechanik III WiSe 16/17 L 9.10

e) Bestimmen Sie das Massentr¨ agheitsmoment des Gesamtsystems um die x′′ -Achse durch C. Hinweis: Das Massentr¨agheitsmoment f¨ur den W¨ urfel um die x-Achse durch CW 5 ρa W lautet Ixx . = 6

Mit dem Huygens-Steiner’schen Satz erh¨ alt man:   Z   W + ρV W (CzW − Cz )2 + Ixx + ρV Z(CzZ − Cz )2 Ixx = Ixx √   2 √ a3 a2 ρa5 2ρπ 17 3a + ρa + = a5 + ρ 2π 6 6 64 4 4 4 =⇒ Ixx

" √ # ρa5 41 2π = 5+ 12 32...