Mathe 1 BWL Lösungen zu den Übungen PDF

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Alle Lösungen und Lösungswege/Hinweise zu den Übungen aus MATHE BWL 1...

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c) A ∨ E Diese Aussage A ∨ E ist wahr d) E ⇒ F Diese Aussage E ⇒ F ist wahr e) B ⇔ E Diese Aussage B ⇔ E ist wahr f) B ⇔ F Diese Aussage B ⇔ F ist falsch g) D ⇒ E Diese Aussage D ⇒ E ist falsch h) ¬B ⇔ ¬E Diese Aussage ¬B ⇔ ¬E ist wahr

Aufgabe 2 (Aussagenlogik) Seien A, B, C Aussagen mit folgenden Eigenschaften: A ∧ B ist falsch A ∧ C ist wahr Da die zusammengesetzte Aussage A∧C wahr ist müssen die beiden Aussagen A und C ebenfalls wahr sein. Hingegen ist die zusammengesetzte Aussage A ∧ B falsch, woraus sich schließen lässt, dass Diese Aussage B falsch ist Welche der Aussagen a) - e) sind als wahr oder falsch zu beantworten? a) ¬A Diese Aussage ¬A ist falsch b) B Diese Aussage B ist falsch c) C ∧ ¬B Diese Aussage C ∧ ¬B ist wahr d) A ⇒ B Diese Aussage A ⇒ B ist falsch e) B ⇒ C Diese Aussage B ⇒ C ist wahr

Aufgabe 3 (Wahrheitstafel) Zeigen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel, dass die folgende Aussage stets wahr ist: (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)

A B

w w

w f

f w

f f

¬A ¬B A⇒B ¬B ⇒ ¬A

f f w w

f w f f

w f w w

w w w w

w

w

w

w

(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)

Aus der letzten Ziele folgt, dass die zusammengesetzte Aussage stets wahr ist. Es handelt sich somit um eine Tautologie. Bemerkung Gelingt der Nachweis von A ⇒ B nicht direkt, kann man aufgrund der gezeigten Tautologie indirekt vom Gegenteil ¬B ausgehen und versuchen auf ¬A zu folgern. Diese Beweismethode bezeichnet man auch als Kontrapositionsgestz oder indirekter Beweis

Aufgabe 4 (Wahrheitstafel) Weisen Sie mit Hilfe einer Wahrheitstafel nach, dass eine Kontradiktion vorliegt: (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ⇔ ¬(A ⇒ B) ∨ ¬(B ⇒ C ) A B C

w w w

w w f

w f w

f w w

w f f

f w f

f f w

f f f

A⇒B ¬(A ⇒ B) B⇒C ¬(B ⇒ C) (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ¬(A ⇒ B) ∨ ¬(B ⇒ C)

w f w f w f

w f f w f w

f w w f f w

w f w f w f

f w w f f w

w f f w f w

w f w f w f

w f w f w f

f

f

f

f

f

f

f

f

(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C) ⇔ ¬(A ⇒ B) ∨ ¬(B ⇒ C)

Aus der letzten Ziele folgt, dass die zusammengesetzte Aussage stets falsch ist. Es handelt sich somit um eine Kontradiktion.

Aufgabe 5 (MC-Aufgaben zur Aussagenlogik) Welche der Aussagen a) - e) sind als wahr oder falsch zu beurteilen? a) Ist eine zusammengesetzte Aussage keine Kontradiktion, ist sie stets eine Tautologie Diese Aussage ist falsch. Ein einfaches Gegenbeispiel ist die zusammengesetzte Aussage A ⇔ B die weder eine Tautologie noch eine Kontradiktion, sondern eine Kontingenz darstellt b) Folgt eine wahre Aussage aus einer falschen Aussage, ist die zusammengesetzte Aussage stets wahr Diese Aussage ist wahr. Es ist ein wichtiges logisches Prinzip, dass aus einer falschen Aussage A eine beliebige andere Aussage folgt: die Verknüpfung ergibt stets eine wahre Aussage

c) A ⇔ (¬(¬A)) ist eine Kontradiktion Diese Aussage ist falsch. Bei A ⇔ (¬(¬A)) handelt es sich um eine Tautologie d) ∃x ∈ N : A(x) mit A(x) = 4x3 + 4 = 38 Diese Aussage ist falsch. Die Gleichung hat zwar eine Lösung (x = nicht in den natürlichen Zahlen

q

3

17 ), 2

diese liegt aber

e) ∀x ∈ {−2, 2} : A(x) mit A(x) = 6x2 + 17 = 41 Diese Aussage ist wahr. Eine einfache Rechnung liefert: A(−2) = 6 · (−2)2 + 17 = 41 A(2) = 6 · 22 + 17 = 41

Aufgabe 6 (Vollständige Induktion) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass die folgenden Gleichungen gelten: a)

n X i=2

(i − 1)2 =

1 · n · (n − 1) · (2n − 1) n ≥ 2, n ∈ N 6

Induktionsanfang Sei n = 2. Dann liefert (2 − 1)2 = Damit gilt der Induktionsanfang

1 6

· 2 · (2 − 1) · (2 · 2 − 1) bzw. 1 = 1 eine wahre Aussage.

Induktionsannahme n X

Für ein beliebiges n ∈ N mit n ≥ 2 gilt

i=2

(i − 1)2 =

1 · n · (n − 1) · (2n − 1) 6

Induktionsschritt Zu zeigen ist, dass diese Annahme

n+1 X i=2

n+1 X i=2

(i − 1)2 =

n X i=2

(i − 1)2 = IA

(i − 1)2 + (n + 1 − 1)2 =

1 · n · (n + 1) · (2n + 1) impliziert: 6

1 · n · (n − 1) · (2n − 1) + n2 6

1 · n · (2n2 + 3n + 1) 6 1 = · n · (n + 1) · (2n + 1) 6 Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung =

b)

n X i=1

(2i − 1)2 =

n · (4n2 − 1) 3

∀n ∈ N

Induktionsanfang Sei n = 1. Dann liefert (2 · 1 − 1)2 = der Induktionsanfang

1·(4·12 −1) 3

bzw. 1 = 1 eine wahre Aussage. Damit gilt

Induktionsannahme Für ein beliebiges n ∈ N gilt

n X i=1

(2i − 1)2 =

n · (4n2 − 1) 3

Induktionsschritt Zu zeigen ist, dass diese Annahme

n+1 X i=1

n+1 X i=1

(2i − 1)2 =

n X

i=1

(n + 1) · (4 · (n + 1)2 − 1) impliziert: 3

(2i − 1)2 = IA

(2i − 1)2 + (2 · (n + 1) − 1)2 =

n · (4n2 − 1) + 4n2 + 4n + 1 3

=

4n3 + 12n2 + 11n + 3 3

=

(n + 1) · (4n2 + 8n + 3) 3

=

(n + 1) · (4 · (n + 1)2 − 1) 3

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung c)

n X i=1

3i3 = 3n3 ·

(n + 1)2 4n

∀n ∈ N

Induktionsanfang (1+1)2 4·

Sei n = 1. Dann liefert 3 · 13 = 3 · 13 · der Induktionsanfang

bzw. 3 = 3 eine wahre Aussage. Damit gilt

Induktionsannahme Für ein beliebiges n ∈ N gilt

n X i=1

3i3 = 3n3 ·

(n + 1)2 4n

Induktionsschritt Zu zeigen ist, dass diese Annahme

n+1 X i=1

n+1 X i=1

3i3 =

n X i=1

IA

3i3 + 3 · (n + 1)3 = 3n3 ·

3i3 = 3 · (n + 1)3 ·

(n + 2)2 impliziert: 4 · (n + 1)

(n + 1)2 + 3 · (n + 1)3 4n

= 3 · (n + 1)3 ·

n2 + 4n + 4 4 · (n + 1)

= 3 · (n + 1)3 ·

(n + 2)2 4 · (n + 1)

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung d)

n X i=1

i · (1 + i2 ) =

n · (n + 1) · (n2 + n + 2) 4

∀n ∈ N

Induktionsanfang Sei n = 1. Dann liefert 1 · (1 + 12 ) = gilt der Induktionsanfang

1·(1+1)·(12 +1+2) 4

bzw. 2 = 2 eine wahre Aussage. Damit

Induktionsannahme Für ein beliebiges n ∈ N gilt Induktionsschritt

n X i=1

i · (1 + i2 ) =

n · (n + 1) · (n2 + n + 2) 4

Zu zeigen ist, dass diese Annahme

i=1

impliziert: n+1 X i=1

n+1 X

i · (1 + i2 ) =

n X i=1

i · (1 + i2 ) =

(n + 1) · (n + 2) · ((n + 1)2 + n + 3) 4

i · (1 + i2 ) + (n + 1) · (1 + (n + 1)2 )

=

n · (n + 1) · (n2 + n + 2) + (n + 1) · (1 + (n + 1)2 ) 4

=

(n + 1) · (n3 + 5n2 + 10n + 8) 4

=

(n + 1) · (n + 2) · (n2 + 2n + 1 + n + 3) 4

=

(n + 1) · (n + 2) · ((n + 1)2 + n + 3) 4

IA

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt die Behauptung

Aufgabe 7 (Mengenalgebra) Gegeben seien die Mengen: A = {a, c, e, g, i} B = {b, c, d, f, h} C = {e, f, g} D = {b, h, j} a) Bestimmen Sie die Mengen A ∩ D, B ∪ C , A \ D, (B ∪ D) \ C , (C ∩ A) ∪ B und (C ∪ A) ∩ B A ∩ D = {a, c, e, g, i} ∩ {b, h, j} = {} B ∪ C = {b, c, d, f, h} ∪ {e, f, g} = {b, c, d, e, f, g, h} A \ D = {a, c, e, g, i} \ {b, h, j} = {a, c, e, g, i} (B ∪ D) \ C = ({b, c, d, f, h} ∪ {b, h, j}) \ {e, f, g} = {b, c, d, f, h, j} \ {e, f, g} = {b, c, d, h, j } (C ∩ A) ∪ B = ({e, f, g} ∩ {a, c, e, g, i}) ∪ {b, c, d, f, h} = {e, g} ∪ {b, c, d, f, h} = {b, c, d, e, f, g, h} (C ∪ A) ∩ B = ({e, f, g} ∪ {a, c, e, g, i}) ∩ {b, c, d, f, h} = {a, c, e, f, g, i} ∩ {b, c, d, f, h} = {c, f} b) Bestimmen Sie die Grundmenge Ω, wenn gilt: A ∪ B ∪ C ∪ D = {l, m} In A∪ B ∪ C ∪D sind alle Elemente enthalten, die in den Mengen A, B, C und D enthalten sind: A ∪ B ∪ C ∪ D = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} Diese Elemente sind natürlich auch Bestandteil der Grundmenge Ω. Zusätzlich sind in Ω

noch die Elemente enthalten, welche nicht in A ∪ B ∪ C ∪ D enthalten sind: A ∪ B ∪ C ∪ D = {l, m} Somit folgt: Ω = (A ∪ B ∪ C ∪ D) ∪ (A ∪ B ∪ C ∪ D) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} ∪ {l, m} = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m} c) Bestätigen Sie die Gültigkeit der folgenden Regel von DE MORGAN: B ∪ D = B ∩D B ∪ D = Ω \ (B ∪ D) = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m} \ {b, c, d, f, h, j } = {a, e, g, i, l, m} B ∩ D = (Ω \ B) ∩ (Ω \ D) = {a, e, g, i, j, l, m} ∩ {a, c, d, e, f, g, i, l, m} = {a, e, g, i, l, m} Somit gilt B ∪ D = B ∩ D

Aufgabe 8 (Mengenalgebra) Gegeben seien die Mengen: A = {1, 10} B = {x ∈ N|1 ≤ x ≤ 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} C = {x ∈ N|1 < x < 10} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Berechnen Sie: a) A \ C A \ C = {1, 10} \ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 10} b) B \ (A ∪ C ) B \ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} \ ({1, 10} ∪ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} \ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {} c) B ∪ C B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∪ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} d) B ∩ C B ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Aufgabe 9 (Mengenalgebra und Venn-Diagramm) Gegeben seien die Mengen A und B sowie die Grundmenge Ω, für die gilt: A \ B = {a, c} B \ A = {b, d, f} A ∪ B = {a, b, c, d, e, f } Ω = {a, b, c, d, e, f, g}

a) Skizzieren Sie zu jeder dieser Mengen ein geeignetes Venn-Diagramm Ω

B

A A c

Abbildung 1: Venn-Diagramm der Menge A \ B

Ω

B

A b d f

Abbildung 2: Venn-Diagramm der Menge B \ A

Ω

B

A A c

b e

d f

Abbildung 3: Venn-Diagramm der Menge A ∪ B

Ω g B

A A

b e

c

d f

Abbildung 4: Venn-Diagramm der Grundmenge Ω

b) Bestimmen Sie die Mengen A ∩ B, A ∪ B, A ∩ B, A, B und skizzieren Sie zu jeder dieser Mengen ein geeignetes Venn-Diagramm 







A ∩ B = (A ∪ B) \ (A \ B) ∪ (B \ A) = {a, b, c, d, e, f} \ {a, c} ∪ {b, d, f} = {e} Ω

B

A e

Abbildung 5: Venn-Diagramm der Menge A ∩ B

A ∪ B = Ω \ (A ∪ B) = {a, b, c, d, e, f, g} \ {a, b, c, d, e, f} = {g} Ω g A

B

Abbildung 6: Venn-Diagramm der Menge A ∪ B

A ∩ B = A ∪ B = Ω \ (A ∪ B) = {a, b, c, d, e, f, g} \ {a, b, c, d, e, f} = {g}

Ω g B

A

Abbildung 7: Venn-Diagramm der Menge A ∩ B

A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) = {a, c} ∪ {e} = {a, c, e} Ω

B

A A

e

c

Abbildung 8: Venn-Diagramm der Menge A

B = (B \ A) ∪ (A ∩ B) = {b, d, f } ∪ {e} = {b, d, e, f } Ω

A

B b e

d f

Abbildung 9: Venn-Diagramm der Menge B

Aufgabe 10 (MC-Aufgaben zur Mengenlehre) Seien A, B, C Teilmengen einer Menge Ω. Welche der Aussagen a) - e) sind als richtig oder falsch zu beurteilen? a) A ∩ B = ∅ ⇒ A ∩ B = A Diese Aussage ist wahr. Aus A ∩ B = ∅ folgt A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A ∩ B

b) A ∩ B ∩ C = ∅ ⇒ B ∩ C = ∅ Diese Aussage ist falsch. Ein einfaches Gegenbeispiel: Seien A = {a}, B = {b} und C = {b, c}. Dann gilt A ∩ B ∩ C = ∅ aber B ∩ C = 6 ∅ c) B ∩ C = ∅ ⇒ A ∩ B ∩ C = ∅ Diese Aussage ist wahr. Aus B ∩ C = ∅ folgt A ∩ B ∩ C = A ∩ ∅ = ∅ d) A ∩ B = C ⇒ C ⊆ A Diese Aussage ist wahr. Aus A ⊆ Ω und B ⊆ Ω folgt C = A ∩ B ⊆ A ∩ Ω = A und damit auch A ∩ B = C ⇒ C ⊆ A e) A ∩ B = B ∩ A Diese Aussage ist falsch. Ein einfaches Gegenbeispiel: Seien Ω = {a, b, c}, A = {a} und B = {b}. Dann gilt A ∩ B = {a} und B ∩ A = {b}, also A ∩ B 6= B ∩ A

Aufgabe 11 (Rechnen mit komplexen Zahlen) Berechnen Sie: a)

3 5 7 −2 + · i + + ·i 2 3 4







−2 +

b)





3 5 7 1 13 ·i + + ·i =− + ·i 2 3 4 3 4 







−4 −

1 5 1 ·i − + ·i 5 3 6



−4 −

5 1 17 11 1 ·i − + ·i =− − ·i 5 3 6 3 30













c) (2 − 3 · i) · (−1 + 5 · i) (2 − 3 · i) · (−1 + 5 · i) = (−2 + 15) + (10 + 3) · i = 13 + 13 · i d)

5 1−2·i

5 · (1 + 2 · i) 5 + 10 · i 5 = = =1+2·i 1−2·i (1 − 2 · i) · (1 + 2 · i) 5

e)

5 + 12 · i 3+2·i

(5 + 12 · i) · (3 − 2 · i) 39 + 26 · i 5 + 12 · i = = =3+2·i 3+2·i (3 + 2 · i) · (3 − 2 · i) 13

f) (1 − i)2 · (1 + i)3 (1 − i)2 · (1 + i)3 = (1 − i) · (1 − i) · (1 + i) · (1 + i) · (1 + i) = (−2 · i) · (−2 + 2 · i) = 4 + 4 · i Alternativ (1 − i)2 · (1 + i)3 = g)

(−2 + i)2 ˙ + 2 · i) + 2 · 2(1

1−i 2

√

2·e

+i

7π 4

·i

2 √

·

2 · e 4 ·i π

3

=

√ 17π 32 · e 4 ·i = 4 + 4 · i

(−2 + i)2 ˙ + 2 · i) + 2 · 2(1

1−i

+i 2 h) (3 + 5 · i) · (−3 − 2 · i)

3+4·i =1 (−2 − i)2 = 3+4·i = 3+4·i

(3 + 5 · i) · (−3 − 2 · i) = (3 + 5 · i) · (−3 + 2 · i) = −19 − 9 · i i) | − 2 + i| | − 2 + i| = 3 1  j)  − · i 2 2 



q

(−2)2 + 12 =

√ 5

√  s 2     3 3 1 2 1 10  − · i = + − = 2 2  2 2 2

Aufgabe 12 (Vereinfachen von komplexen Ausdrücken) Vereinfachen Sie den folgenden Ausdruck: ! √ 3i + 1 3 + 2i | 27 + 3i| −4 + 8i · · + 4 8 − 24i 1 − 3i 2 ! √   3 + 2i | 27 + 3i| −4 + 8i 3i + 1 −4 − 8i 3i + 1 3 + 2i 6 · · + + = · · 2 4 8 − 24i 1 − 3i 1 − 3i 2 4 8 − 24i =



1−i 6 3 + 2i + · 1 − 3i 4 4

=



18 + 12i (1 − i) · (1 − 3i) + 4 · (1 − 3i) 4 · (1 − 3i)

=

16 + 8i 1 − 3i · 2 4 · (1 − 3i)



·

1 − 3i 2 

·

1 − 3i 2

16 + 8i 8 =2+i =

Aufgabe 13 (Lösen von algebraischen Gleichungen) Bestimmen Sie die Lösungen z ∈ C der Gleichungen: a) z 2 + 2 · z + 2 = 0 Mit Hilfe der p-q-Formel erhalten wir: z1,2

p =− ± 2

s

 2

p 2

2 −q =− ± 2

s

√ 22 − 2 = −1 ± −1 = −1 ± i 4

Die Lösungsmenge lautet somit L = {−1 − i; −1 + i} b) z 2 + (1 − 2 · i) · z − (3 + i) = 0 Mit Hilfe der p-q-Formel erhalten wir: z1,2

p =− ± 2

s

 2

p 2

1−2·i ± −q =− 2

s

1 (1 − 2 · i)2 + (3 + i) = − + i ± 4 2

r

9 4

1 =− +i± 3 2 2 Die Lösungsmenge lautet somit L = {−2 + i; 1 + i}

Aufgabe 14 (Ungleichungen, GAUSSsche Zahlenebene) Skizzieren Sie folgende Punktmengen in der GAUSSschen Zahleneben: a) {z ∈ C : Re(z) ≥ 2} 3 2 1

-3

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -3 Abbildung 10: Die Menge {z ∈ C : Re(z) ≥ 2} in der GAUSSschen Zahlenebene

b) {z ∈ C : 1 ≤ Im(z) ≤ 2 ∧ 1 ≤ Re(z) ≤ 2} 3 2 1

-3

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -3 Abbildung 11: Die Menge {z ∈ C : 1 ≤ Im(z) ≤ 2 ∧ 1 ≤ Re(z) ≤ 2} in der GAUSSschen Zahlenebene

c) {z ∈ C : |z| ≤ 1}

3 2 1

-3

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -3 Abbildung 12: Die Menge {z ∈ C : |z| ≤ 1} in der GAUSSschen Zahlenebene

Aufgabe 15 (Rechnen mit komplexen Zahlen) Gegeben sei die komplexe Zahl z = 2 + 2i in algebraischer Form. Geben Sie z in trigonometrischer und exponentieller Darstellung an √ √ Betrag: r = |2 + 2i| = 22 + 22 = 2 2 Argument:

ϕ = arctan( 22 ) =

π 4

Trigonometrische Form √ z = r · (cos(ϕ) + sin(ϕ) · i) = 2 2 · (cos( π4 ) + sin( π4 ) · i) Exponentielle Form √ π z = r · eϕ·i = 2 2 · e 4 ·i 3 2 1 r

-3

-2

-1

=

| |z

=

√ 2 ·

2

ϕ=

1

π 4

2

3

-1 -2 -3 Abbildung 13: Die komplexe Zahl z = 2 + 2 · i in der GAUSSschen Zahlenebene

Aufgabe 16 (Zuordnungseigenschaften) Gegeben sind die Abbildungen:

a) f1 : N → R mit x 7→ f1 (x) =

x x+1

Die Funktion ist injektiv, denn aus f1 (x1 ) = f1 (x2 ) mit x1 , x2 ∈ N folgt: x1 x1 +1

=

x2 x2 +1

⇐⇒

x1 x2 + x1 = x1 x2 + x2

⇐⇒

x1 = x2

Die Funktion ist allerdings nicht surjektiv, da beispielsweise keine negativen Zahlen als Funktionswerte auftreten können. Da die Funktion nicht surjektiv ist, kann sie auch nicht bijektiv sein Bemerkung Eine Abbildung f : N → R mit x 7→ y ist niemals bijektiv, da die beiden Mengen N und R nicht gleichmächtig sind. 3 2 1

-3

-2

-1

•

•

•

1

2

3

-1 -2 -3 Abbildung 14: Graph der Abbildung f1 : N → R mit x 7→ f1 (x) =

x x+1

b) f2 : R → R mit x 7→ f2 (x) = 2x − 1 Die Funktion ist injektiv, denn aus f2 (x1 ) = f2 (x2 ) mit x1 , x2 ∈ R folgt: 2x1 − 1 = 2x2 − 1

⇐⇒

x1 = x2

Zum Beweis der Surjektivität von f2 muss für jedes y ∈ R nachgewiesen werden, dass es mindestens ein x ∈ R mit f2 (x) = y gibt. Hierzu wird ein beliebiges y ∈ R betrachtet und die Gleichung f2 (x) = y nach x aufgelöst: 2x − 1 = y

⇐⇒

x = 21 y +

1 2

Folglich besitzt das gewählte y ∈ R das Urbild x = surjektiv.

1 y 2

− 12 . Die Funktion f2 ist daher

Da die Funktion f2 sowohl injektiv als auch surjektiv ist ist sie damit insbesondere auch bijektiv

3 2 1

-3

-2

-1

1

2

3

-1 -2 -3 Abbildung 15: Graph der Abbildung f2 : R → R mit x 7→ f2 (x) = 2x − 1

c) f3 : N → N mit x 7→ f3 (x) = 2x − 1 Die Funktion ist injektiv, denn aus f3 (x1 ) = f3 (x2 ) mit x1 , x2 ∈ N folgt: x1 x1 +1

=

x2 x2 +1

⇐⇒

x1 x2 + x1 = x1 x2 + x2

⇐⇒

x1 = x2

Die Funktion ist allerdings nicht surjektiv, da keine geraden natürlichen Zahlen als Funktionswerte auftreten können Da die Funktion nicht surjektiv ist, kann sie auch nicht bijektiv sein •

3 2 1

-3

-2

-1

• 1

2

3

-1 -2 -3 Abbildung 16: Graph der Abbildung f3 : N → N mit x 7→ f3 (x) = 2x − 1

Welche der Abbildungen f1 , f2 , f3 ist surjektiv, injektiv, bijektiv?

Aufgabe 17 (Zuordnungseigenschaften) Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Begründen Sie kurz Ihre Antworten. a) f1 : R → R