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ACTIVIDAD N°13: HIDRODINAMICA

FISICA I

UTN FRA

2014

MECANICA DE LOS FLUIDOS. Segunda parte. -HIDRODINÁMICA -LÍQUIDOS IDEALES -CAUDAL DE MASA -CAUDAL DE VOLUMEN -RELACIÓN ENTRE EL CAUDAL DE MASA Y EL DE VOLUMEN -ECUACIÓN DE CONTINUIDAD -TEOREMA DE BERNOULLI -LÍQUIDOS REALES -LEY DE POISEUILLE

HIDRODINÁMICA La hidrodinámica estudia el movimiento de las masas líquidas, analizando la distribución de presiones y velocidades. Para el análisis de los fenómenos la física utiliza modelos donde es común considerar hipótesis simplificativas, que consisten en suponer características “ideales” de las situaciones, que si bien no son totalmente ciertas, facilitan la interpretación de los hechos. Para ello se distinguen los fluidos ideales de los fluidos reales. Los fluidos ideales son los que cumplen con las siguientes condiciones:  Son incompresibles , por lo que su densidad es constante.  Son no viscosos, o sea que no presentan rozamiento interno cuando se mueven.  El flujo es laminar, lo que significa que las líneas de corriente no se cruzan, entendiéndose por líneas de corriente a las trayectorias de las partículas del líquido al moverse. Además se considera que todas las partículas de una misma sección transversal tienen la misma velocidad.

Lo contrario es el flujo “turbulento”, en el cual las líneas se entrecruzan formándose remolinos o turbulencias, como en la estela de un barco.  El régimen es estacionario o permanente, lo que significa que los valores de las magnitudes en cada punto (velocidad, presión) son constantes, es decir, no cambian en el tiempo. Cuando un líquido se mueve dentro de un conducto, tanto la velocidad de sus partículas como la presión van variando punto a punto a lo largo de la línea de corriente, y serán función de las características geométricas del conducto por donde circulan, como su sección transversal (en la cual todas las partículas tienen idéntica velocidad), así como de la altura. De esa manera, es posible predecir los valores de estas magnitudes en cualquier punto de una masa líquida en movimiento dentro de un conducto si se conocen dichos valores en algún otro sector del mismo.

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CAUDAL.

El caudal indica la cantidad de masa líquida que atraviesa una sección de un conducto por unidad de tiempo, o bien la cantidad de volumen que atraviesa la sección en cada unidad de tiempo. Así, puede definirse el caudal de masa o el caudal de volumen.

Por definición de densidad, podemos expresar la masa en función del volumen, y así relacionar entre sí las dos formas de expresar el caudal:

Es posible expresar el caudal en función de la velocidad y de la sección que atraviesa:

La figura representa una tubería cilíndrica de sección , por donde circula un líquido hacia la derecha con velocidad

en todos los puntos de la sección, desplazándose

definición de caudal volumétrico

Por la

, pero a su vez el diferencial de volumen se puede expresar

como el producto del área por el diferencial del desplazamiento, entonces:

Problema: Hallar la velocidad del agua en un conducto si su caudal es de 120 litros por minuto y el área de su sección es de 10 cm 2. Resolución:

Q = 120 l/min Q = 120 dm3/1 min Q = 0,12 m3/ 60 s Q = 0,002m3/s = 2.10-3 m3/s

Además: A = 10 cm2 A = 0,001m2 = 1 . 10-3m2 Ahora calculamos la velocidad: v=Q/A v = 2.10-3 (m3/s) / 10-3 m2 v = 2 m/s

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ECUACION DE CONTINUIDAD. Se puede verificar que mientras la sección no cambia, la velocidad se mantiene constante, pero cuando varía la sección la velocidad también varía, de manera que si se angosta ésta aumenta, y si se ensancha disminuye. Efectivamente, tomando un conducto con dos sectores de diferente sección, al no haber entre ellos fuentes ni sumideros, el caudal que circula por uno es el mismo que circula por el otro:

=

Problema: Por un conducto de 2,4m2 de sección circula agua a 20 m/s. Más adelante, el caño se angosta de tal manera que su sección pasa a ser de 0,8m2. Hallar: a) el caudal de agua que circula y expresarlo en litros por segundo; b) la velocidad en el sector más angosto. a)

Q = A. V

Q = 2,4 m2. 20 m/s Q = 48 m3/s 1 Litro = 1 dm3, de donde: b)

Q = 48.000 l/s

A1. V1 = A2. V2

v 2 = A1. V 1 / A2 V2 = 2,4 m2. 20 (m/s) / 0,8 m2

V2 = 60 m/s

TEOREMA DE BERNOULLI. Daniel Bernoulli (1700-1782) fue un científico suizo que investigando el comportamiento fluidos observó que al moverse disminuían su presión cuando aumentaban su velocidad. Esto es sucede cuando hay viento fuerte, que arrastra los objetos porque “los absorbe” por el hecho de presión es menor que la atmosférica del aire en calma, como sucede al pasar el subte y mover rápidamente para ocupar su lugar (Cuidado al acercarse al borde del andén!!).

de los lo que que la el aire

Efectivamente, se comprueba que la presión atmosférica disminuye con el viento. Ésa es la causa por la que puede “volar” un techo un día de mucho viento, porque la presión interior es mayor que la exterior:

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DEDUCCION DE LA ECUACION DE BERNOULLI

TEOREMA DE BERNOULLI: “El trabajo neto realizado sobre un filete liquido, por la presión del fluido circundante, es igual al cambio de la energía cinética más el cambio en la energía potencial gravitatoria”. Aplicamos el teorema del trabajo y la energía mecánica, teorema de las Fuerzas Vivas

en

un tubo de corriente de un fluido.

Bernoulli llegó a una expresión que se aplica a toda línea de corriente de un líquido en movimiento, que es una ecuación válida para todo líquido ideal o perfecto, o sea que cumpla con las condiciones de ser no viscoso, incompresible, en régimen laminar y estacionario, mientras corresponda a un sector donde no hay ingresos ni egresos de líquido en su recorrido. Llegó a dicha ecuación analizando la variación que sufría la energía cinética a causa del trabajo realizado por las fuerzas de la presión y del peso sobre una masa líquida en movimiento. Conceptualmente, en las condiciones indicadas, el teorema de Bernoulli determina una constante para toda línea de corriente, formada por tres términos que pueden escribirse en función de tres tipos de energía, cuya suma se conserva, como son un término de energía potencial debida a la presión, otro debida a la energía cinética, y otro debida a la energía potencial gravitatoria. No es otra cosa que la expresión de la conservación de la energía mecánica para los líquidos. Es más común presentar este teorema en términos de:

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“Esta expresión en un punto de la masa liquida, es la que mas vamos a utilizar” Otra forma común de expresar este mismo teorema, es indicando en el primer miembro solamente la diferencia de presiones entre dos puntos:

Se puede observar que este teorema incluye al teorema fundamental de la hidrostática, que es el caso en el que las velocidades son nulas en ambos puntos.

Donde cada término se puede interpretar como una presión. El primero es la “presión hidrostática ”, el segundo es la “presión cinemática” y el tercero indica la “presión gravitatoria”, debida a la elevación del punto por encima de un plano de referencia al que se le asigna el valor cero para la y.

DIAGRAMAS DE CARGAS HIDRODINAMICAS

IDEAL

ENERGÍA CINÉTICA

LA SUMA DE LAS 3 ENERGIAS ES CONSTANTE

ENERGIA DE PRESION ENERGIA POTENCIAL

APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI. A) B) C)

ESCURRIMIENTO DE LIQUIDO POR UN ORIFICIO DE UN TANQUE TUBO DE PITOT MEDIDOR DE VENTURI.

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=

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Problema: Un caño horizontal de calefacción por donde circula aceite se ensancha de manera que su sección se cuadruplica. Indicar la diferencia de presiones entre los dos sectores, si en el primero la velocidad vale 2m/s y la densidad del aceite es de 0,9 g/cm3. Primero necesitamos conocer la velocidad en el segundo sector. Por la ecuación de continuidad: A1. V1 = A2. V2 Despejando v2: V2 = A1. V1 / A2 Pero como A 2 = 4 A1 resulta: V2 = 2 (m/s) / 4 V2 = 0,5 m/s Por el teorema de Bernoulli: p2 – p1 = (1/2). δ . (V12 – V22) + δ. g . (y1 – y2) Como están a la misma altura (caño horizontal), el último término desaparece. Reemplazando resulta: p2 – p1 = (1/2). 900 (kg/m3). (4 – 0,25) m2/s2 ∆p = 1.687,5 Pa Hemos calculado la diferencia de presiones haciendo el segundo punto menos el primero. Al darnos ese resultado positivo significa que el segundo punto tiene mayor presión que el primero, encierra un aumento de la presión. Problema: En un sector de una tubería horizontal de 5 cm2 de sección circula un líquido cuya densidad es de 1.200 kg/m3 a una velocidad de 16 m/s , siendo su presión de 303.900 Pa. Luego baja descendiendo 2m al mismo tiempo que se ensancha su sección hasta 8 cm 2, luego de lo cual continúa en un plano horizontal. Hallar a) la velocidad en el sector más bajo; b) la presión en dicho sector. a)

A1. V1 = A2. V2 V2 = A1 . V1 /A2 V2 = 5.10-4m2. 16(m/s)/8.10-4m2 V2 = 10 m/s

b)

p1 + (1/2)δ.V 12 + δ.g.y1 = p2 + (1/2)δ.V22 + δ.g.y 2

Tomando y2 = 0: p2 = p1 + (1/2). δ . (V12 – V22) + δ . g. y1 p2 = 303.900Pa + (1/2)1.200(kg/m 3)(256 – 100)m 2/s2 + 1.200(kg/m3)2m p2 = 399.900 Pa FLUÍDOS REALES. Los fluidos reales tienen viscosidad, que es la propiedad por la cual presentan rozamiento, tanto contra las paredes de los conductos que los contienen como entre sus líneas y capas de movimiento, por lo que la velocidad no es la misma en todos los puntos de una sección transversal del mismo, siendo mayor en el centro. Estas fuerzas realizan trabajo y son causa de que la energía mecánica disminuya, por lo que el teorema de Bernoulli ya no es válido. Del teorema de Bernoulli se ve que en un conducto por donde circula líquido ideal, por largo que sea, si mantiene la sección y la altura, no existe diferencia de presiones a lo largo de él. En los líquidos reales no es así. Su presión disminuye en el sentido de avance del líquido.

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Aclaración: La ecuación de continuidad sigue valiendo para los reales, por lo que la velocidad es la misma mientras no cambie la sección. Además, el caudal en A es igual al caudal en B en ambos casos ya que entre esos sectores no existen fuentes ni sumideros. Para la velocidad en la sección transversal del líquido real, debido a que contra las paredes va disminuyendo, se considera para los análisis una velocidad media para toda la sección. El médico francés Poiseuille, estudiando la circulación de la sangre, determinó una ley que relaciona la caída de presión entre los extremos de un conducto con el caudal que circula por él cuando existe viscosidad, válida para todo líquido real en régimen laminar que circula por un tubo cilíndrico horizontal:

A esta ley se la suele llamar “Ley de Ohm de la hidrodinámica”. El factor R H se denomina “resistencia hidrodinámica” y depende de la viscosidad del fluido, que es una propiedad característica de cada fluido en particular, y de las características geométricas del tubo cilíndrico como ser su radio y su longitud. La resistencia hidrodinámica se mide en Pa.s/m3 en el sistema M.K.S.

Aclaración: El cálculo de la resistencia hidrodinámica es: R H = 8.ɳ.l/∏.r4 , donde el factor ɳ representa la viscosidad del fluido, que se mide en Pa.s en el M.K.S. aunque es muy utilizado también el Poise y el centipoise (1P = 0,1 Pa.s). A mayor temperatura menor viscosidad. Como comentario, para el agua a 20ºC vale 1.10-3 y a 100ºC es de 0,3.10-3 Pa.s; a 20ºC para la glicerina es de 1500.10-3 y de un aceite de motor 250.10-3 Pa.s. La letra l indica la longitud del tubo y la letra r simboliza el radio del mismo.

Problema: Hallar el caudal que circula por un conducto cilíndrico horizontal sabiendo que presenta una resistencia hidrodinámica de 5 Pa.s/m 3 y entre sus extremos hay una caída de presión de 40 Pa. Q = ∆p / RH Q = 40 Pa / 5 (Pa. s/m3) de donde el caudal es de:

Q = 8 m 3/s

Problema: Hallar la resistencia hidrodinámica de un tubo cilíndrico horizontal por donde circulan 1,92.106 l/min si se mide una caída de presión de 0,8 atm. Resolución: Primero debemos compatibilizar las unidades: 1,92.106 l/min=1,92.103m3/60s De donde Además, Así que

Q=32 m3/s; 0,8 atm=81.040 Pa ∆p = 81.040 Pa ∆p = RH.Q

Despejando:

RH = ∆p/Q RH = 81.040Pa/32(m 3/s)

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RH = 2.532,5 Pa.s/m 3

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PROBLEMAS DE HIDRODINÁMICA P1) Por una manguera de jardín de 2cm de diámetro circula agua a volumen de agua (en litros) utilizado para regar durante 5 minutos. Rta: a) Q = 2,199.10-3 m3/s = 2,199 l/s b) ∆V = 659,7 l

7m/s. Hallar: a) el caudal; b) el

P2) Una pileta se llena con agua desde un caño de 8 cm 2 de sección que aporta un caudal de 24 l/min. Hallar: a) la velocidad con que sale el agua del caño; b) el tiempo necesario para llenar la pileta cuyo fondo b) ∆t = 10 h mide 4,8m x 2,5m hasta 1,2m de alto. Rta: a) v = 0,5 m/s

P3) Expresar el caudal de masa del problema anterior. Rta: Qm = 0,4 kg/s P4) Un conducto por el que circula un caudal de 2,5 l/s tiene una sección de 5 cm2; luego se angosta hasta reducir su sección a la mitad. Hallar: a) la velocidad en el primer sector: b) la velocidad en el segundo Rta: a) v1 = 5 m/s b) v2 = 10 m/s sector. P5) Una manguera de 4 cm 2 de sección lleva agua a 18 m/s y termina en un rociador donde el agua sale por 20 orificios de 0,1 cm2 c/u. Hallar la velocidad de salida del agua por los orificios. Rta:v2 = 36 m/s P6) Un tanque abierto tiene agua hasta una altura de 1,8 m, y su base se encuentra 5,4 m por encima del suelo. Se conecta una manguera en un pico ubicado en su base y se apoya en el suelo. Hallar la velocidad con que el agua sale de la manguera. Rta: vB = 12 m/s P7) En un sistema de calefacción se bombea agua desde el sótano a una velocidad de 0,9 m/s por una cañería de 6 cm de diámetro y a una presión de 4,5 atm, que debe salir en el 8ª piso, que se encuentra 40m más arriba, por un conducto de 3 cm de diámetro. Hallar: a) la velocidad en el 8ª piso; b) la presión manométrica en el conducto. Rta: a) v2 = 3,6 m/s b) p2 = 49.755 Pa P8) Un caño que transporta un líquido cuya densidad es de 1.500 kg/m 3 desciende por un plano inclinado hasta llegar a una pileta donde lo vuelca. Si la boca de salida del líquido se encuentra 2,5m más abajo, hallar la presión dentro del caño en la parte más alta si patm= 1,2 atm. Rta: pA = 84.060 Pa P9) Por un tubo cilíndrico circulan 5 l/s de un fluido viscoso. Si la resistencia hidrodinámica es de 3.600 Pa.s/m3, hallar la diferencia de presión entre sus extremos. Rta: ∆p = 18 Pa P10) Se mide una diferencia de presión entre los extremos de un tubo cilíndrico horizontal, de 1,4 atm. Hallar el caudal que transporta si la resistencia hidrodinámica es de 4.500 Pa.s/m 3. Rta: Q = 31,5 m3/s P11) Un tubo cilíndrico horizontal de 3m de longitud y 10cm de diámetro transporta glicerina (ɳGlic. = 1,5 Pa.s). Hallar: a) su resistencia hidrodinámica; b) el caudal, si entre sus extremos hay una diferencia de presión de 81.393Pa. Rta: a) RH = 1,833.106 Pa. s/m3 = 1.833.465 Pa. s/m3 b) Q = 0,0444 m3/s = 44,4 l/s

P12) El tubo de sección S de la figura se divide en los ramales A y B en el plano horizontal de acuerdo a las medidas indicadas. Halle el caudal y la velocidad media en la tubería B. Rta: 268,5 lts/s. V B=8,54 m/s.

SA=S/4

Q=318 lts/s

VA=5.V/8

S→ V=4,5 m/s

SB=4S/9 VB=?

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P13) Un líquido de peso específico γ=9800 N/m3 se halla comprimido dentro de un tanque. El líquido sale por un por un caño situado 10 m por debajo de la superficie libre con una velocidad de 20 m/s. determinar la presión sobre la superficie libre.

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P γ=9800 N/m3

10 m

Rta: 200 kpa. V=20 m/s

P14). Un tubo Pitot se introduce en un caño y el líquido asciende en el tubo 10 cm sobre la superficie libre del canal (fig) ¿Cuál es la velocidad de la corriente en el eje canal? Rta: 1,4 m/s. P15). Un tubo Pitot para gases la diferencia de nivel en el manómetro de mercurio es ∆h=30 cm. Determinar la velocidad del aire si γ hg= 13,6 gf/cm 3 y γaire=1,3 kgf/m3=0,0013gf/cm 3.

VA

Rta: VA=248 m/s. ∆h=30 cm

P16). Un depósito contiene agua (γ2=9800 N/m3) y aceite en capas de 5,00 m de altura cada una. Si el peso específico del aceite γ1=8820 N/m3 ¿Con que velocidad saldrá el líquido por un caño situado en el fondo? Rta: V=13,7 m/s.

V=?

γ1

5m

γ2

5m

P17). Las secciones de la tubería en los puntos 1 y 2 son S1=2dm2 y S2= 1 dm2. Si ∆h= 10 cm ¿Cuánto vale el caudal? ∆h=10 cm

2 3

Rta: 16166 cm /s.

agua

1

18) El caudal en una tubería por la que circula agua es 208 l/s. En la tubería hay instalado un medidor de Venturi con mercurio como líquido manométrico. Siendo 800 y 400 cm 2 las secciones en la parte ancha y estrecha de la tubería, calcular el desnivel que se produce en el mercurio. Rta: 1,98 10-3

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19) En un tubo como el de la figura para gases, la diferencia de nivel en el manómetro de mercurio es Δh = 30 cm. Determinar la velocidad del aire, si γ Hg = 13,6 gf/cm3, γaire = 1,3 kgf/m 3. Rta: 248 m/s

20) Un tubo Pitot se introduce en un canal y el líquido asciende en su interior hasta una altura h = 10 cm sobre la superficie libre del canal. ¿Cuál es la velocidad del líquido en la posición 1? Rta: 1,4 m/s

P21) En el tanque cerrado hay un líquido ideal en equilibrio con el aire en su parte superior. La presión en A es pA= 2431,20HPa y la presión en B es pB=2633,80HPa. Se pide hallar:

AIRE ZA=0,3m

ZB=0,45m

a) Densidad del líquido.

A LIQUIDO

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b) La presión de aire encerrado en la parte superior del tanque. B

C

c) Velocidad de salida al quitar el tapón en C. (patm=1013HPa.)

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