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1. La Partícula en una Caja

Se llama partícula en una caja o partícula en un pozo de potencial infinito a

un

sistema físico en el que una partícula se mueve sometida a potencial cero entre dos paredes de potencial infinito. El movimiento de la partícula está confinado entre ambas paredes, sin pérdida de energía en las colisiones. Según la mecánica clásica el movimiento de la partícula será rectiliíneo y uniforme, con cambios en el sentido de la velocidad (colisión) pero no en su módulo.

Si la partícula es pequeña (cuántica) deja de cumplir las Leyes de Newton y debemos resolver la ecuación de Schrödinger para conocer su comportamiento. ¿Coincidiran los resultados clásicos con las predicciones de la mecánica cuántica?

1.1

Partícula en una caja unidimensional

Ahora vamos a introducir un sistema mecanocuántico sencillo, donde podemos aplicar los conceptos introducidos en la sección anterior. Este modelo se puede aplicar al movimiento traslacional monodimensional de las moléculas de un gas ideal, movimiento de electrones en metales e incluso al movimiento de electrones pi en hidrocarburos insaturados.

Consideremos una partícula de masa m que se mueve a lo largo del eje x sometida a un potencial nulo en la región situada entre las coordenadas 0 y a. Fuera de esta zona el potencial es infinito. La partícula no puede acceder a la zona de potencial infinito por lo que su movimiento queda limitado a la región 0,a.

Planteamos la ecuación de Schrödinger:

Resolución de la ecuación en las regiones I y III En las regiones I y III V(x)=∞. La ecuación de Schrödinger tomará la siguiente forma:

Esta ecuación también se puede expresar como:

Despejando ψ(x)

Por tanto, en las regiones I y III la función de onda es nula, lo cual implica una densidad de probabilidad nula y la particula no puede encontrarse en estas regiones de la caja. Una partícula no puede encontrarse en regiones donde la energia potencial sea infinita.

Resolución de la Ecuación de Schrödinger en la región II

Despejando la derivada de mayor grado y pasando todo al primer miembro de la ecuación.

Por simplicidad llamaremos k=2mE√ℏ

Se trata de una ecuación diferencial lineal, homogénea y de segundo orden cuya solución general es:

Las constantes A y B se determinan aplicando las condiciones límite que debe cumplir la función ψ(x) para que sea bien comportada. Puesto que ψ(x) debe ser contínua, cumplirá las condiciones. ψ(x)→0 si x→0 y si x→a. Aplicando la primera condición:

Dado que A=0 la ecuación nos queda: ψ(x)=Bsen(kx). Aplicando la condición límite en x=a

Una posible solución de esta última ecuación es B=0, esta solución anula la función de onda e implicaría que la caja no tiene partícula (caja vacía). Por tanto, debe anularse el sen(ka)

El valor n=0 debe ser rechazado ya que anula la función de onda. Elevando al cuadrado la ecuación anterior:

Teniendo en cuenta que k2=2mEℏ2 la ecuación anterior nos da:

Como puede observarse en esta ecuación la energía sólo puede tomar ciertos valores (energía cuantizada) que vienen determinados por el número cuántico n. Solamente estos valores de energia permiten a la función ψ(x) satisfacer las condiciones de continuidad en x=0 y x=a.

Haciendo n=1 obtenemos la energía del estado fundamental E1=h28ma2. También puede observarse que la diferencia de energía entre dos niveles sucesivos decrece a medida que aumenta tanto n como la logitud de la caja.

Por último, obtendremos el valor de B normalizando la función de onda ψ(x)=Bsennπxa. Normalizar consiste en igualar a 1 la probabilidad de encontrar la particula en todo el espacio.

Sustituyendo ψ(x) por su valor:

Utilizando la relación trigonométrica sen2x=1−cos2x2, se obtiene:

Despejando B

Sustituyendo B en la función de onda

1.2

Oscilador Armónico

El oscilador armónico es un sistema físico en el que una masa oscila en torno a una posición de equilibrio sometida a un potencial elástico V(x)=12kx2. La oscilación de los átomos de una molécula puede ser estudiada mediante la versión cuántica de este modelo. La resolución de la ecuación de Schrödinger nos proporciona los niveles de energía y la función de onda.

1.3

Oscilador armónico unidimensional

Planteamos la ecuación de Schödinger:

El oscilador armónico está sometido a un potencial del tipo: V(x)=12kx2

Despejando la derivada de mayor grado, la ecuación (2) puede escribirse:

Simplificamos la ecuación (3) definiendo las siguientes magnitudes:

Sustituyendo (4) y (5) en (3):

La resolución de la ecuación (6) requiere el siguiente cambio de variable:

Aplicando la regla de la cadena:

Despejando x de (7) y derivando respecto a ξ obtenemos:

Sustituyendo (11) y (12) en (9) y despejando d2Ψdx2:

Sustituyendo (10) y (13) en (6):

Dividiendo (14) por β:

Sacando factor común a la función de onda se obtiene la ecuación de Hermite - Gauss, conocida en Matemáticas incluso antes del nacimiento de la mecánica cuántica.

1.4

Oscilador armónico unidimensional (parte 2)

La ecuación diferencial (16) tiene una solución del tipo:

Calculamos las derivadas primera y segunda de (17):

Sustituyendo (17) y (19) en (16) y simplificando

La ecuación (20) es conocida con el nombre de ecuación diferencial de Hermite. H es una función polinómica, conocida como polinomio de Hermite. El polinomio de Hermite tiene la siguiente forma:

Derivando (21)

Sustituyendo las ecuaciones (21), (22) y (23) en (20):

Agrupando todos los términos en un sumatorio y sacando factor común:

Para que la ecuación (25) se cumpla los términos encerrados entre corchetes deben ser nulos

Despejando aj+2 se obtiene la relación de recurrencia.

Conocidos los coeficientes a0 y a1 del polinomio de Hermite se pueden calcular el resto de coeficientes utilizando la ley de recurrencia.

Para que la función de onda sea válida en Mecánica Cuántica debe ser cuadráticamente integrable, es decir, normalizable. El polinomio de Hermite es un desarrollo con infinitos términos y crece es más rápido que decrece la exponencial, haciendo que la función de onda tienda a infinito cuando x tiende a más infinito y a menos infinito.

Para que la función de onda se cuadráticamente integrable es necesario truncar el polinomio para un valor de j=v, de manera que av es el último coeficiente no nulo del desarrollo.

Haciendo j=v en la ley de recurrencia, nos da:

Como av es el último término no nulo y av+2=0, la ecuación (28) se cumplirá sólo si el numerador del cociente es nulo.

Sustituyendo α y β por su valor

Despejando E en (30) nos queda:

Donde ν representa la frecuencia del oscilador y v es el número cuántico que toma valores 0,1,2,3,.....

Características del oscilador armónico unidimensional 

La energía del oscilador armónico está cuantizada de acuerdo con el número cuántico v=1,2,3,....



El estado v=0, es el de menor energía (estado fundamental)



Los niveles de energía del oscilador armónico están igualmente espaciados. Al aumentar v en una unidad la energía aumenta en hν

1.5

Polinomios de Hermite

Algunas expresiones que permiten calcular los polinomios de Hermite son:

Hv(ξ)=(2ξ)v−v(v−1)(2ξ)v−2+v(v−1)(v−2)(v−3)2(2ξ)v−4+......(1)

La ecuación (1) puede escribirse de forma más compacta, como:

Hv(ξ)=∑k=0v(−1)kv!k!(v−2k)!(2ξ)v−2k(2)

Ahora obtendremos las derivadas primera y segunda de H a partir de la ecuación (1).

H′ v=2v(2ξ)v−1−2v(v−1)(v−2)(2ξ)v−3+2v(v−1)(v−2)(v−3)(v−4)2(2ξ)v−5+......(3)

De donde podemos ver que:

H′v=2vHv−1(4)

Derivando la ecuación (4) se obtiene la derivada segunda de H.

H′′ v=dH′ vdξ=2vH′ v−1=4v(v−1)Hv−2(5)

Sustituyendo estas derivadas en la ecuación de Hermite ( ???) y teniendo en cuenta que (αβ−1)=2v se obtiene:

4v(v−1)Hv−2−2ξ2vHv−1+2vHv=0(6)

Dividiendo la ecuación (6) por 4v:

ξHv−1=(v−1)Hv−2+12Hv(7)

Si en esta última ecuación cambiamos v por v+1 nos da:

ξHv=vHv−1+12Hv+1(8)

Otra fórmula que puede resultar útil es la ecuación de Rodrigues.

Hv=(−1)veξ2dve−ξ2dξv

1.6

Normalización de la Función de Onda

Las funciones de onda del oscilador armónico vienen dadas por la ecuación ( ???), donde N es la constante de normalización, que podemos calcular con la siguiente ecuación:

∫+∞−∞Ψ∗ v(x)Ψv(x)dx=1(1)

La normalización de la función de onda para un estado general v nos da el siguiente resultado:

Nv=(2vv!)−1/2(βπ)1/4

1.7 1.

Problemas del Oscilador Armónico

Para el estado fundamental del oscilador armónico unidimensional, encontrar el valor promedio de las energías cinética y potencial. Comprobar que = en este caso. Hállense la posición más probable de la partícula para dicha función de onda y comprobar que se cumple el principio de incertidumbre. Datos:∫∞0x2e−αx2dx=π1/2/4α3/2

2.

Haciendo uso de la fórmula de Rodrigues, genera los polinomios con v=0,1,2,3....

3.

El oscilador armónico tridimensional tiene la función de energía potencial V(x,yz)=kxx22+kyy22+kzz22, donde kx, ky y kz son tres constantes de fuerza. Haciendo uso del método de separación de variables, encontrar las funciones propias y los valores propios de la energía de dicho oscilador.

4.

Encontrar las funciones propias y valores propios del hamiltoniano H para un sistema unidimensional con V(x)=∞ para x...