La variación y la derivada - Crisólogo Dolores Flores - 2ed PDF

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2a. Edición LA VARIACIÓN Y LA DERIVADA LA VARIACIÓN Y LA DERIVADA CRISÓLOGO DOLORES FLORES Segunda edición: 2013 Edición digital: 2013 © Crisólogo Dolores Flores © Ediciones Díaz de Santos Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamien...

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2a. Edición

LA VARIACIÓN Y LA DERIVADA

LA VARIACIÓN Y LA DERIVADA CRISÓLOGO DOLORES FLORES

Segunda edición: 2013 Edición digital: 2013 © Crisólogo Dolores Flores © Ediciones Díaz de Santos Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Ediciones D. D. S. México Elisa 161, Col. Nativitas, C. P. 03500 Delegación Benito Juárez, México, D. F. [email protected] http://www.diazdesantosmexico.com.mx/ Ediciones Díaz de Santos C/ Albasanz 2, 28037, Madrid, España [email protected] http://www.editdiazdesantos.com ISBN: 978-84-9969-091-9 (Libro en papel) ISBN: 978-84-9969-605-8 (Libro electónico) Corrección ortográfica y de estilo: Adriana Guerrero Tinoco. Diseño de portada e interiores: Aarón González Cabrera. Fecha de edición: enero de 2013 Impreso y hecho en México

AGRADECIMIENTOS Manifiesto mi agradecimiento a María del Socorro García González, por haber empleado innumerables horas en la revisión y corrección de esta obra. Su ayuda fue determinante para su publicación. El autor

ÍNDICE

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

PRIMERA PARTE Las variables y las funciones, elementos básicos para el estudio de la variación 1 2 3 4

Las variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Las relaciones entre las variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La función: una relación especial entre variables . . . . . . . Las gráficas de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 27 35 43

SEGUNDA PARTE La variación y la derivada 5 La medición del cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6 Una notación operativa para cuantificar los cambios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7 ¿Cómo se comportan los cambios? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 8 Cambios relativos: la rapidez media de la variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 9 ¿Cómo cambia la rapidez (o la velocidad) media? . . . . . . .107

10 Los cambios infinitamente pequeños y la velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 11 Interpretación geométrica de la velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 12 Cálculo de velocidades instantáneas por medios algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 13 Cálculo de las diferencias infinitamente pequeñas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 14 Otras reglas y fórmulas para calcular diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 15 Uso de las diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 16 La función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189 17 Problemas de máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

INTRODUCCIÓN

E

ste libro fue pensado para ser utilizado por estudiantes y profesores de bachillerato, sobre todo por aquellos estudiantes que tienen sus primeros contactos con el Cálculo Diferencial. El objetivo central que guía este acercamiento es el de aportar elementos didácticos que propicien una mejor comprensión de las ideas y conceptos básicos del cálculo, en especial aquellos que están cercanamente relacionados con la derivada. Por tal razón, esta introducción a la derivada tiene carácter intuitivo y pretende develar su naturaleza variacional a partir del planteamiento y resolución de situaciones variacionales elementales. Dada la naturaleza variacional del Cálculo, en esta obra se ubica a la variación como eje rector del cual se desprenden las ideas y conceptos, propiedades y procedimientos esenciales de esta parte de la matemática. Esta forma de ver el cálculo tiene razones históricas, el Cálculo Infinitesimal fue desarrollado gracias a la introducción de la matemática del cambio. La necesidad de resolver problemas como los del movimiento de los astros, del flujo de los líquidos, del movimiento de un cuerpo impulsado, entre otros, todos ellos planteados por el desarrollo de las fuerzas productivas alcanzado en los siglos XVI y XVII, propició que los científicos de esa época crearan nuevos métodos matemáticos 11

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para su resolución, pues los existentes eran limitados. De ahí surgieron las nociones de variable y función, y de ahí se generó la necesidad de medir el cambio y los cambios relativos, de la medición de los cambios relativos surgieron las nociones de derivada, integral, las ecuaciones diferenciales, y así muchos otros. Con estos recursos matemáticos se pudieron resolver muchos de los problemas que sobre la variación y el cambio planteaba el desarrollo tecnológico de esa época. La derivada es uno de los principales conceptos que se introducen en los últimos semestres del bachillerato. En el ambiente escolar, muchas veces este concepto es considerado como un algoritmo (la regla de los cuatro pasos), como una fórmula o, en el mejor de los casos, como relacionado con las pendientes de tangentes a curvas. Sin embargo, la derivada es mucho más que eso. La derivada es un concepto matemático creado para cuantificar los cambios relativos en un instante, en un punto. Los cambios relativos como la velocidad media (por mencionar el más común) nos permite saber cuánto cambia la variable distancia cuando la variable tiempo cambia una determinada magnitud; es, pues, una razón o cociente entre cambios. No obstante, en muchos problemas de la variación lo que interesa es la velocidad en un instante o las razones de cambio en un punto. La idea matemática que subyace en el concepto de derivada es precisamente la cuantificación de los cambios relativos por medio de las razones de cambio. Éste es un aspecto esencial que en esta obra pretendemos hacer patente. La obra está estructurada en dos partes principales. La primera parte se titula: “Las variables y las funciones, elementos básicos para el estudio de la variación”, y la segunda parte: “La

Introducción

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variación y la derivada”. En la primera se pretende crear las condiciones previas para estudiar el cambio y en la segunda se estudian los procesos de cambio propiamente dichos. La primera sección incluye el estudio de situaciones de variación elementales, de las cuales se obtienen los conceptos de variable y función. La conexión entre sus expresiones analíticas y representaciones gráficas es utilizada para manipular los procesos de cambio, pues se considera que es muy difícil realizar operaciones con los cambios si no se cuenta con una fórmula matemática y una gráfica que ayude a representar el comportamiento de dichos cambios. Sobre esta base, se estudia el cambio y su medición en la segunda parte de esta obra. La medición del cambio se obtiene por medio de las diferencias, éstas son los elementos matemáticos centrales en torno de los cuales se organiza el resto del trabajo. En principio, se analizan los cambios que suceden a intervalos grandes, luego se estudian los cambios relativos (como la rapidez media) para después plantear la necesidad de cuantificar los cambios relativos en un instante por medio de la velocidad instantánea. El problema de las velocidades instantáneas motiva el estudio de los procesos infinitos, en particular los procesos infinitos asociados con el límite de las razones de diferencias que van haciéndose infinitamente pequeñas. El estudio de las razones de diferencias constituye la puerta de entrada al concepto de derivada que se define a la postre como cociente entre cambios infinitamente pequeños, o como cociente de diferenciales. El proceso de búsqueda de las velocidades instantáneas primero es llevado al plano de las aproximaciones numéricas, luego al plano de las representaciones geométricas a través

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de las pendientes de las tangentes y, finalmente, al plano de los cálculos algebraicos. Éstos hacen evidente la necesidad de que para obtener velocidades instantáneas o derivadas, el problema se reduzca a la obtención de diferenciales. En este trabajo también se muestran algunos usos de los diferenciales en la resolución de problemas de variación. Por último, se estudia la función derivada y su relación con el comportamiento variacional de la función de la cual se obtuvo, y se resuelven luego problemas de máximos y mínimos. Cada lección se estructura a partir de la presentación de las ideas y conceptos matemáticos que emergen del estudio de la variación y el cambio y de actividades por realizar. Estas actividades, denominadas en el libro como Ejercicios y problemas, tienen la intención de contribuir al desarrollo de competencias asociadas con el planteamiento y resolución de problemas. Partimos del supuesto de que para contribuir a la comprensión de los conceptos e ideas fundamentales del Cálculo es necesario realizar tales actividades. Para entender las ideas, conceptos, propiedades y procedimientos expuestos en este trabajo, no basta sólo con leer la parte teórica y de ejemplos de cada sección, sino que es necesario, entonces, realizar las actividades planteadas en los ejercicios y problemas. Muchas de ellas pueden ser resueltas de manera individual; sin embargo, una discusión colectiva de cada una puede enriquecer el aprendizaje y desarrollar el pensamiento variacional. Para entender la realidad se necesita saber matemático, pero además, se necesita poder hacer con ese saber. La derivada no es un concepto aislado de la realidad, por el contrario, emerge del estudio de situaciones directamente vinculadas con la realidad. En particular, de situaciones de la variación física. Por ello,

Introducción

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saber y poder matemáticos ligados al entendimiento de la variación y el cambio pueden contribuir al desarrollo del pensamiento y lenguaje variacional. Este libro tiene esa pretensión. Chilpancingo, Gro., México, junio de 2012.

PRIMERA PARTE Las variables y las funciones, elementos básicos para el estudio de la variación

1 LAS VARIABLES

E

s muy difícil comprender nuestro mundo circundante si lo consideramos sin movimiento, sin cambio; de hecho, no existe fenómeno en la naturaleza o en la sociedad que escape al fenómeno del cambio. Nuestra vida diaria y el mundo que nos rodea son siempre cambiantes, por ejemplo: en las carreteras, los autos recorren distancias cambiantes en tiempos también cambiantes, la temperatura ambiental cambia dependiendo de la estación del año, la población de nuestro país también es cambiante, pues aumenta con el tiempo, cuando recolectamos agua en una cubeta aumenta el volumen que ocupa el agua, por mencionar algunos ejemplos. En todos estos fenómenos hay siempre cosas que cambian. Esas cosas cambiantes, la distancia, el tiempo, la temperatura, la población y el volumen, pueden ser medidas y suele llamárseles magnitudes variables. En esta sección estudiaremos a las magnitudes variables y las formas de representarlas en matemáticas. Iniciaremos esta sección estudiando un fenómeno de cambio ampliamente conocido. Ejemplo 1. Supongamos que está entrando agua a una cubeta cilíndrica a una razón constante de 0.5 litros por segundo (figura 1). Si la cubeta tiene 20 litros de capacidad, ¿cómo se comporta el volumen del agua en la cubeta respecto al tiempo que tarda en llenarse? 19

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20

Empecemos por preguntar: ¿qué es lo que cambia? Lo que cambia es el volumen que ocupa el agua y el tiempo que tarda en ocupar un espcio. El volumen del agua necesariamente cambiará desde 0 hasta 20 litros (L), veamos cuánto tiempo se necesita para llenar el recipiente. Para ello es Figura 1 necesario utilizar el dato que involucra al tiempo y este dato es la razón a la que entra agua al recipiente, que es de 0.5 litros por segundo (L/s). En el primer segundo entran 0.5 L, en el segundo ha entrado 1 L, en el tercero 1.5 L, y así, sucesivamente. Véase la tabla 1. Tiempo en segundos 0 Volumen en litros

1

2

3

4

…

30

35

40

0 0.5 1

1.5

2

…

15

17.5

20

Tabla 1 En la tabla se puede observar que estuvo entrando agua al recipiente durante 40 segundos, el volumen cambia de 0 a 20 litros y el tiempo abarca entre 0 y 40 segundos. Como el volumen y el tiempo se mantienen en cambio continuo en los lapsos señalados, se les llama variables. Pero ¿todo cuanto interviene en la situación planteada se mantiene cambiando? Si se lee cuidadosamente el enunciado, podemos notar que la razón a la que está entrando el agua es la misma siempre, es decir, no cambia, pues en todo el proceso entra la misma cantidad de agua por unidad de tiempo; a estas cantidades se les llama constantes. En general, podemos concluir que:

Las variables

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Cantidades variables son aquellas que aumentan o disminuyen continuamente, por el contrario, las cantidades constantes son las que continúan siendo las mismas mientras que las otras cambian.

¿CÓMO SE REPRESENTAN LAS VARIABLES? Las variables se representan mediante letras y por lo general se utilizan las últimas del alfabeto: x, y, z. No obstante, al volumen de la situación anterior lo podemos representar con la letra V y al tiempo con la letra t. El volumen V del agua no estuvo cambiando ilimitadamente, sino que lo hizo en un tramo bien definido: cambió de 0 a 20 litros. El tiempo cambia de forma ilimitada, pero en la situación planteada interesa lo que sucede con el volumen entre 0 y 40 segundos. A estos tramos se les conoce con el nombre de intervalos de variación, y para representarlos se utilizan los símbolos de las desigualdades. Por ejemplo, para el caso del volumen el intervalo de variación se escribe: 0 < V ≤ 20, donde V está medido en litros. Si convenimos en que 0 es un valor que el volumen del agua puede adquirir, entonces se escribe: 0 ≤ V ≤ 20. La primera expresión se lee como: el volumen cambia de 0 a 20, o bien, la variable V adquiere valores mayores que 0 pero menores que o iguales a 20. La segunda expresión se lee: la variable V adquiere valores mayores o iguales que 0 y menores que o iguales a 20. Al primer intervalo que no incluye a uno de sus extremos se le denomina intervalo semiabierto, y al segundo, que sí incluye a los dos extremos, se le llama intervalo cerrado. Siempre que los extremos estén incluidos en los

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intervalos se utilizan los símbolos ≥ (mayor o igual), o bien, ≤ (menor o igual), dependiendo del caso. Los intervalos de variación pueden ser representados en la recta numérica. A continuación proponemos unos ejemplos. 0

20

0

20 0 ≤ V ≤ 20 2B. Intervalo cerrado

0 < V ≤ 20 2A. Intervalo semiabierto

Figura 2 Para terminar, las variables que nos interesan son las variables numéricas, es decir, aquellas cuyo campo de variación puede ser expresado mediante conjuntos numéricos. El conjunto de números que se ajusta a nuestras necesidades es el de los números reales, pues es continuo. Se dice que es continuo porque a cada punto de la recta numérica le corresponde un número real. Los números reales constituyen el conjunto ideal para representar variables continuas.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Las variables x, y, z, cambian en los intervalos siguientes, represente cada uno de ellos en la recta numérica: a) 0 < x ≤ 9, x ∈ ℜ b) – 3 ≤ y < 10, y ∈ ℜ c) – 1 ≤ z ≤ 1, z ∈ ℜ 2. Traduzca al lenguaje de las desigualdades los intervalos que aparecen en la figura 3.

Las variables 0

10 x

23 0

-5

3A

-5

x

3B

0

5

y

0

-1.5

3C

3

y

3D z

0

15

0

z

3E

3F

Figura 3 3. Traduzca al lenguaje matemático (es decir, utilizando las desigualdades) los intervalos de variación presentes en las siguientes situaciones: a) Las distancias s que recorremos cuando nos dirigimos a la escuela siempre son superiores a cero. b) El área A de un cuadrado crece de manera que siempre es mayor que 1 cm2 y menor que o igual a 10 cm 2. c) El volumen V del agua en un recipiente es siempre mayor que 0 y menor que o igual a 2 m3. d) En condiciones normales, el agua es líquida si su temperatura fluctúa entre 0°C y 100°C. 4. El intervalo de variación de la temperatura (T) del cuerpo humano de un hombre sano fluctúa desde 36.8°C hasta 37.1°C. Dibuje este intervalo y escríbalo en términos matemáticos. 5. Un autobús de pasajeros de 40 asientos sólo puede realizar viajes que sean costeables si el número de asientos

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6.

7.

8.

9.

cubiertos es superior a 20. El operador no admite pasajeros que realicen el viaje sin ir sentados. Represente el intervalo de variación costeable de pasajeros p y escríbalo en términos matemáticos. En la escala de calificaciones de 0 a 10, las aprobatorias son mayores que o iguales a 6 y menores que o iguales a 10, las reprobatorias son menores que 6, pero mayores o iguales a 0. Represente en una recta numérica y escriba en términos matemáticos: el intervalo global de calificaciones, el intervalo de calificaciones aprobatorias y el intervalo de las reprobatorias. Con el pH (potencial hidrógeno) los químicos miden acidez y alcalinidad de una sustancia; la escala que usan va de 0 a 14. Si el pH de cierta sustancia está en el intervalo de 0 a 7 es ácida. Si está en el intervalo de 7 a 14 es alcalina, y si es de 7 es neutra. Describa esto en términos de desigualdades y represente en una recta numérica los intervalos del pH correspondientes a la variación de la acidez y alcalinidad. El valor del pH de los líquidos del cuerpo humano debe mantenerse dentro de ciertos límites estrechos. Por ejemplo, si el pH de la sangre de una persona se vuelve menor de 7.0 o mayor de 7.8, la persona muere. Los valores de los alimentos que comemos varían en gran medida; sin embargo, tienen valores de entre 2 y 8. Represente en la recta numérica estos intervalos y descríbalos en términos de desigualdades. La gráfica de la figura 4 muestra la altura que alcanza una pelota al ser lanzada hacia arriba. Tomando en cuenta el gráfico, conteste las preguntas siguientes:

Las variables

Figura 4

25

a) ¿Qué es lo que cambia en la situación planteada? b) ¿Cuál es el intervalo de tiempo en que la pelota permanece en el aire? c) ¿Cuál es el intervalo de variación de la altura a la que sube la pelota? d) ¿Cuál es el intervalo de tiempo de ascenso y descenso de la misma?

La gráfica de la figura 5 muestra el comportamiento de la variable y en función de la variable x.

y

a) ¿Cuál es el intervalo de variación de y? 3 b) ¿Cuál es el intervalo de variación 2 x de x? 1 1.5 0 -1 c) ¿En qué caso de x la gráfica sube? Figura 5 ¿En qué caso de x la gráfica baja? d) Decida cuál de las proposiciones siguientes es cierta: “y > 0 para 0 < x < 1.5”, o bien, “y > 0 para 0 ≤ x ≤ 1.5 ”

2 LAS RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES

E

n la sección anterior caracterizamos a la variable como uno de los elementos básicos de la matemática utilizado para estudiar los procesos de variación, pero en los procesos de variación se involucran al menos dos variables que necesariamente se relacionan entre sí. Si esas relaciones son expresadas me...