Lista de Exercícios - Zeros Reais de Funções Reais PDF

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Lista de Exercícios - Zeros Reais de Funções Reais...

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LISTA DE EXERCICIOS No. 2 ˜ ZEROS REAIS DE FUNC ¸ OES REAIS - PARTE 1

1. a) Usando f´ormula de Taylor, obtenha as aproxima¸co˜es linear e quadr´atica para f (x) = cos(x), em torno de π/4; b) Em um mesmo gr´afico, esboce a curva y = cos(x) e as aproxima¸co˜es linear e quadr´atica obtidas em (a). Atrav´es do gr´afico analise o comportamento das aproxima¸co˜es, constatando que representam f (x) apenas localmente. Qual das curvas vocˆe escolheria para aproximar f (x) em torno de π/4? ( Os gr´aficos podem ser esbo¸cados a` m˜ao ou tra¸cados usando um software ou ainda na calculadora). 2. Localize graficamente os zeros das fun¸co˜es a seguir: a) f (x) = 4 cos(x) − exp(2x) b) f (x) = x/2 − tan(x) c) f (x) = 1 − ln(x) d) f (x) = 2x − 3x e) f (x) = x3 + x − 1000 3. Demonstre que: sob as hip´oteses do teorema do m´etodo do Ponto Fixo, se ϕ′ (x) < 0, ∀x ∈ I, ent˜ao a sequˆencia xk e´ oscilante em torno de x∗ . 4. A equa¸ca˜o: x − 2sen(x) = 0 possui duas ra´ızes n˜ao nulas. Aplique o m´etodo do Ponto Fixo para obter estas ra´ızes: localize as ra´ızes e em cada caso, analise a fun¸ca˜o de itera¸ca˜o: ϕ(x) = 2sen(x) com rela¸ca˜o a` condi¸ca˜o: ϕ′ (x) < 1, ∀x ∈ I . 5. Seja f (x) = x(x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2). Para que zero de f o m´etodo da Bissec¸ca˜o vai convergir quando for aplicado nos seguintes intervalos? a) [−1.5; 2.5] b) [−0.5; 2.4] c) [−0.5; 3] d) [−3; −0.5] 6. Utilize o m´etodo da Bissec¸ca˜o para encontrar uma solu¸ca˜o com precis˜ao de 10−5 para os seguintes problemas: a) x − 2−x = 0 para 0 ≤ x ≤ 1. b) x cos(x) − 2x2 + 3x − 1 = 0 para 0.2 ≤ x ≤ 0.3 e 1.2 ≤ x ≤ 1.3. 7. Encontre o n´ umero de itera¸co˜es necess´ario para obter, com uma aproxima¸ca˜o de precis˜ao −3 de 10 , a solu¸ca˜o de x3 + x − 4 = 0 que se encontra no intervalo [1; 2]. Encontre um valor aproximado para a raiz com esse grau de precis˜ao. 8. Os 4 m´etodos a seguir s˜ao propostos para se calcular 211/3 . Ordene-os, com base na velocidade aparente de convergˆencia, assumindo x0 = 1 :

1

2 20xn−1 21/xn−1 21 x3 − 21 b) xn = xn−1 − n−12 3xn−1 4 xn−1 − 21xn−1 c) xn = xn−1 − 2 − 21 x !1/2 n−1 Ã 21 d) xn = xn−1

a) xn =

9. No Exerc´ıcio anterior, calcule |ϕ′ (p)| em cada caso, onde p = 211/3 , e compare com os resultados obtidos. 10. Utilize o m´etodo de itera¸ca˜o de ponto fixo para determinar uma solu¸ca˜o com precis˜ao de 10−2 para x3 − x − 1 = 0 em [1; 2]. Utilize x0 = 1. 11. Para cada uma das equa¸co˜es a seguir, determine uma fun¸ca˜o de itera¸ca˜o ϕ e um intervalo [a; b] no qual as itera¸co˜es com ponto fixo convergir˜ao para uma solu¸ca˜o positiva da equa¸ca˜o: a) 3x2 − ex = 0 b) x − cos(x) = 0

Encontre as solu¸co˜es com precis˜ao de 10−5 . Desafio: Uma part´ıcula sai do respouso em um plano inclinado liso, cujo aˆngulo θ est´a mudando em uma taxa constante dθ/dt = ω. Ap´os t segundos, a posi¸ca˜o do objeto ´e dada por g x(t) = − 2 2ω

Ã

eωt − e−ωt − sin(t) . 2 !

Suponha que a part´ıcula tenha se movido por 1.7ft em 1s. Encontre, com uma precis˜ao de 10−5 , a taxa ω a` qual θ est´a mudando. Assuma que g = 32.17ft.

2

LISTA DE EXERCICIOS No. 2 ˜ ZEROS REAIS DE FUNC ¸ OES REAIS - PARTE II

1. Usando o m´etodo de Newton, obtenha um processo para obter b/a numa calculadora que soma, subtrai e multiplica. Obtenha uma aproxima¸ca˜o para o valor de 3/13. √ 2 2. A equa¸ c a ˜ o x − b = 0 tem como raiz exata b. Aplique o m´etodo de Newton para obter √ 3356 com precis˜ao 10−4 , se estiver usando um computador e precis˜ao 10−2 se estiver usando uma calculadora n˜ao program´avel. 3. A equa¸ca˜o x2 + t = 0 possui raiz real somente se t ≤ 0. Fa¸ca t = 0 e aplique os m´etodos: bissec¸ca˜o, Newton e secante com as seguintes aproxima¸co˜es iniciais (use ε = 10−4 ): i) Para o m´etodo da bissec¸ca˜o (usando o algoritmo dado em aula com crit´erio de parada (b − a) < ε): [a, b] = [−2, 2] e [a, b] = [−5, 2]. Justifique o que acontece em cada caso; para Newton, use x0 = −2 e para secante: x0 = −2 e x1 = 2; ii) Repita o exerc´ıcio para um valor de t estritamente positivo e usando as mesmas aproxima¸co˜es iniciais. Justifique o comportamento da sequˆencia gerada em cada caso, considerando as hip´oteses de convergˆencia de cada m´etodo. 4. Use os m´etodos de bissec¸ca˜o, do Ponto Fixo, Newton e Secante (programados para rodar em um software) para obter a menor raiz positiva das equa¸co˜es a seguir com precis˜ao 10−7 , (se usar apenas uma calculadora, fa¸ca precis˜ao igual a 10−3 ). a) x/2 − tg(x) = 0; b) 2cos(x) − exp(x)/2 = 0; c) x5 − 6 = 0; d) f (x) = xe−x − e−3 Fa¸ca uma tabela para apresentar uma compara¸ca˜o entre os m´etodos, mostrando para cada teste o n´ umero de itera¸co˜es, valor de f (x) no u ´ ltimo ponto. Para efeitos de compara¸ca˜o: se a aproxima¸ca˜o inicial para a bissec¸ca˜o for o intervalo [a, b] use a como chute inicial para o m´etodo de Newton e a e b como chutes iniciais para o m´etodo da secante. 5. Repita o exerc´ıcio 4 para o calculo da raiz c´ ubica de 4 com precis˜ao 10−6 . 6. Seja f (x) = x2 − 6. Com x0 = 3 e x1 = 2, ache x3 .

a) Use o m´etodo da Secante b) Use o m´etodo da Newton √ c) Que m´etodo d´a um resultado mais pr´oximo de 6?

7. O valor de π pode ser obtido atrav´es da resolu¸ca˜o das seguintes equa¸co˜es: sen(x) = 0 e cos(x) + 1 = 0. Aplique o m´etodo de Newton com x0 = 3 e precis˜ao 10−4 em cada caso e compare os resultados. 8. Considere a fun¸ca˜o: f (x) = x2 /2 + x(ln(x) − 1). Obtenha seus pontos cr´ıticos com o aux´ılio de um m´etodo para zeros de fun¸co˜es. 3

9. Seja f (x) = xe−x − e−3 . (a) verifique gr´afica e analiticamente que f (x) possui um zero no intervalo [0, 1]; (b) justifique teoricamente o comportamento da sequˆencia colocada a seguir, gerada pelo m´etodo de Newton para o c´alculo zero de f (x) em [0, 1], com x0 = 0.9 e precis˜ao ε = 5 × 10−6 . x0 = 0.9 x5 = −3.4962 x10 = −0.3041 x1 = −6.8754 x6 = −2.7182 x11 = 0.0427 x2 = −6.0024 x7 = −1.9863 x12 = 0.0440 x3 = −5.1452 x8 = −1.3189 x13 = 0.0480 x4 = −4.3079 x9 = −0.7444 10. A fun¸ca˜o f (x) = tan(πx) − 6 tem um zero em (1/π) arctan 6 ≈ 0.447431543. Considere x0 = 0 e x1 = 0.48, e use 10 itera¸co˜es para cada um dos seguintes m´etodos para calcular o valor aproximado dessa raiz. Que m´etodo ´e o mais bem-sucedido? Por quˆe? a) M´etodo da Bisse¸ca˜o b) M´etodo da Secante Desafio 1: Duas escadas se cruzam em um beco com largura W. Cada escada se estende da base de uma das paredes at´e um ponto na parede oposta. As escadas se cruzam em uma altura H acima do pavimento. Encontre W sendo dados os valores x1 = 20m e x2 = 30m. Seja H = 8m.

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