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Übungsblatt 11

Übungen zur Vorlesung Didaktik in den Bereichen Funktionen, Daten und Zufall Feedbackaufgabe 11 Beschreiben Sie folgende Aspekte von Wahrscheinlichkeit jeweils in einem Satz und erlautern Sie, wie Sie am Beispiel „Mu#nzwurfu alle drei Aspekte thematisieren k%nnen:   

Subjektive Wahrscheinlichkeit Frequentistische Wahrscheinlichkeit Laplace-Wahrscheinlichkeit

© Lehrstuhl f#r Didaktik der uathematik und Informatik, uathematisches Institut der LuU u#nchen 30.01.20

L%sungsvorschlag 1: Subjektive Wahrscheinlichkeit = Hier werden Wahrscheinlichkeiten durch Hintergrundwissen und Alltagsmethoden eingeschätzt, verglichen und bewertet. • Beim Münzwurf würden die Schüler erst eine eine intuitive Einschätzung (bzw. ein intuitiver Vergleich) der Wahrscheinlichkeiten abgeben. Dabei würde sie sagen es ist 50:50 da beide gleichwahrscheinlich sind, da sie mit dem Gegenstand vertraut sind und dies möglicherweise aus eigenen Erfahrungen schon beobachtet oder gehört bekommen haben.

Frequentische Wahrscheinlichkeit = die Relativen Häufigkeiten von einem Ergebnis stabilisieren sich zunehmend mit steigender Versuchszahl und dies kann als Näherungswert verwendet werden • Hier können die Schüler die Münze mehrmals werfen und die Anzahl von den Ereignissen „Kopf“ und „Zahl“ dokumentieren und so einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit der Ereignissen erhalten bzw. Sehen dass die Wahrscheinlichkeit für die beiden Ereignisse dieselbe ist. Laplace- Wahrscheinlichkeit = Hier besteht die Modellannahme, dass alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen, wobei der Wahrscheinlichkeitsraum ausgewählt werden muss. • Beim Münzwurf sehen die Schüler, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereigniss „Kopf“ dieselbe ist wie für das Ereignis „Zahl“ also 50:50. Feedback: Korrekt.

L%sungsvorschlag 2:

Subjektive W’keit: W’keiten werden von uenschen aufgrund von Hintergrundwissen und Alltagsheuristiken eingeschatzt, verglichen und bewertet. Beispiel: uartin behauptet, die W´keit, dass er beim f#nfmaligen werfen f#nf mal Kopf wirft, liegt bei 1000%. Wie ist uartins Aussage zu bewerten?

Frequentistische W’keit: Relative Haufigkeiten eines stabilisieren sich mit steigender Versuchszahl zunehmend.

Ergebnisses

Beispiel: Eine u#nze wird 10 mal hintereinander geworfen. Wird dabei Kopf oder Zahl haufiger geworfen? Laplace W’keit: Alle Ergebnisse haben die Selbe W’keit. Beispiel: Die W’keit entweder Kopf oder Zahl zu werfen betragt jeweils ½. Wie hoch ist die W´keit beim zweimaligen werfen der u#nze eine Kombination aus Kopf und Zahl zu werfen? Wie hoch ist die W´keit zwei mal Kopf zu werfen? Feedback: Bei der frequentistischen Wahrscheinlichkeit fehlt mir noch eine Erklarung, wie die Wahrscheinlichkeit denn hier eigentlich definiert ist. Den Zusammenhang des Beispiels mit dem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff sehe ich nicht. Schließlich kann 10mal W#rfeln tatsachlich alles vorkommen. Geschickter ware hier wahrscheinlich, oft zu w#rfeln und die erhaltene relative Haufigkeit als Naherung f#r die Wahrscheinlichkeit anzunehmen. Ansonsten passt es.

L%sungsvorschlag 3: Subjektive Wahrscheinlichkeit: Hier kann man die Wahrscheinlichkeiten schon aus dem was wir wissen abschatzen, verglichen und bewertet. Bsp u#nzwurf : Wahrscheinlichkeit f#r Kopf und Zahl gleich groß bei ½. Wahrscheinlichkeit das u#nze aufrecht stehen bleibt kann man vernachlassigen

Frequentistische Wahrscheinlichkeit: uit steigender Versuchszahl stabilisiert sich hier die relative Haufigkeit. Bsp u#nzwurf : Die Wahrscheinlichkeit das ein Zahl oder Kopf eintritt beim u#nzwurf sollte gegen ½ konvergieren.

Laplace-Wahrscheinlichkeit: Alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit. Bsp u#nzwurf: Wahrscheinlichkeit, dass kopf oder Zahl eintritt ist gleich.

Feedback: Beim frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff bin ich nicht ganz mit Die Wahrscheinlichkeit das ein Zahl oder Kopf eintritt beim u#nzwurf sollte gegen ½ konvergieren. einverstanden. Konvergenz im analytischen Sinne hieße ja, dass die relative Haufigkeit ab einer gewissen Zahl an Versuchsdurchf#hrungen nie mehr als ein vorgegebenes ϵ >0 von ½ abweicht. Das ist aber nicht unbedingt der Fall, denn es kann unabhangig von der Anzahl der Versuchsdurchf#hrungen immer einen Ausreißer geben. (uan spricht hierbei gelegentlich von stochastischer Konvergenz.) Bei der frequentistischen Wahrscheinlichkeit fehlt zudem noch, dass man die Wahrscheinlichkeit hierbei durch die entsprechende relative Haufigkeit annahert; obige Ausf#hrungen beziehen sich ausschließlich auf das emp. Gesetz der großen Zahlen. Des Weiteren konvergieren nach dem emp. Gesetz der großen Zahlen (im Sinne der stochastischen Konvergenz) relative Haufigkeiten - und nicht Wahrscheinlichkeiten! Bei der Laplace-Wahrscheinlichkeit k%nnte man noch hinzuf#gen, dass es sich um eine uodellannahme handelt....